专题05 配方法应用、根的判别式和根与系数关系五大考点（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题05 配方法应用、根的判别式和根与系数关系五大考点 题型一：利用配方法求最值 题型二：利用配方法比较大小 题型三：动点问题 题型四：根的判别式 题型五：根与系数的关系 题型一：利用配方法求最值 1．小丽的思考：对于代数式，无论取何值，都大于等于，再加上，则代数式大于等于．根据小丽的思考解决下列问题： (1)试说明：代数式的最小值为． (2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值． 2．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 3．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 4．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 5．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 题型二：利用配方法比较大小 6．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 7．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 8．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 9．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 10．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 题型三：动点问题 11．（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 12．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 13．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 ①已知代数式，则的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小，值为多少？ 14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 题型四：根的判别式 15．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 16．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 17．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 18．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个实数根 19．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 20．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 21． 关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 22．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）． 23．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 24．为实数，关于的方程有三个不等的实数根．(1)求证：； (2)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值． 25．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 26．已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 28． 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 29．已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 30．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 31．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型五：根与系数的关系 32．下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（    ） A． B． C． D． 33．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 34.已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 35．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 36．若关于的一元二次方程的两根为，则（    ） A．7 B． C．3 D． 37．、是方程的两个根，则（   ） A．4 B．10 C． D． 38．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 39．已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A． B． C． D． 40．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．设方程的两根是，则方程的根为（    ） A． B． C． D． 42．关于的方程有一根，则该方程的两根积与两根和相乘的结果是 ． 43．已知不相等的实数a、b满足，则 ． 44．已知实数满足，，且，则的值为 ． 45．已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 46．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 47．关于x的一元二次方程有实数根 (1)求m的取值范围 (2)若两根为、且，求m的值 48．关于的方程有实根． (1)求的取值范围； (2)若两根为，，且，求． 49．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，是方程的两根，且时，求的值． 50．已知方程的两个根为，，不解方程，求下列各式的值． (1)； (2)． 51．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 52．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 配方法应用、根的判别式和根与系数关系五大考点 题型一：利用配方法求最值 题型二：利用配方法比较大小 题型三：动点问题 题型四：根的判别式 题型五：根与系数的关系 题型一：利用配方法求最值 1．小丽的思考：对于代数式，无论取何值，都大于等于，再加上，则代数式大于等于．根据小丽的思考解决下列问题： (1)试说明：代数式的最小值为． (2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)17 【分析】本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将利用完全平方公式配方后得，再利用平方结果为非负数求解即可； （2）将利用完全平方公式配方后得再利用平方结果为非负数求解即可． 【详解】（1）解： ． ． 故代数式的最小值为． （2）解：原式 无论取何值 故的最大值为． 2．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)最小值为， (3)4 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． （2）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． （3）解：， ，， ，，的最小值为4． 3．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 4．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键 （1）仿照范例即可解答； （2）①直接根据题意列代数式即可；②先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 5．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 题型二：利用配方法比较大小 6．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了用配方法解决问题． 首先把配方得到，根据平方的非负性可知，所以可知有最大值且最大值是； 首先把两个代数式相减得到，去括号和并同类项可得原式，配方可得原式，根据平方的非负性可知，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 有最大值，最大值是； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ． 7．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 8．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 9．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 10．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，结合，比较大小鄂大即可； （2）作差，，分类计算解答即可； （3）根据，， 两式相减，得，整理得，，比较解答即可． 本题考查了实数的作差法比较大小，实数的非负性，熟练掌握作差法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时． （3）解：∵，， 两式相减，得， 整理得，， ∵ ∴， ∴， ∴． 题型三：动点问题 11．（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 12．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 13．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 ①已知代数式，则的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小，值为多少？ 【答案】(1)①；②，24 (2)，理由见解析 (3)时，四边形的面积最小，且最小面积为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式： （1）①根据完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； ；②根据完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴， 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为． ② ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，因此 有最大值，最大值为24； （2）解：，理由如下： ∵，， ， ， ， ． （3）解：由题意得：， ， ∵， ∴， ∴ 当时，的面积最大，且最大面积为； ∵， ∴， ∴当最大时，最小， ∴时，四边形的面积最小，且最小面积为． 14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 【答案】(1)y的最大值是30 (2)，理由见解析 (3)①当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米；② 【分析】（1）利用配方法解答，即可求解； （2）把两式作差，然后利用配方法解答，即可求解； （3）①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意可得仓库的面积，然后利用配方法解答，即可求解；②证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）解：解：， ， ∴， ∴， ∴， 即y的最大值是30； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意得： 仓库的面积为 ， ∵， ∴， 即当时，仓库的面积最大，最大值为， 答：当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米； ②在正方形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 在中，， ， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要查了配方法的应用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，理解配方法是解题的关键． 题型四：根的判别式 15．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 16．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 17．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则 ， ∵a，b，c分别是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ∴原方程没有实数根， 故选：D． 18．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，当时，找出；当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而可得出结论． 【详解】解：A、当时，原方程为，解得，故选项A不符合题意； B、当时，， 当时，， 所以，方程有两个相等的实数根，故选项B不符合题意； C、当时，， 所以，方程有两个不相等的实数根，故选项C不符合题意； D、当时，，方程有两个实数根，故选项D正确； 故选：D． 19．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 20．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 21．关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握根的判别式是解答本题的关键； 求出根的判别式，判断根的判别式和0的关系，然后即可求解； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴关于x的一元二次方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根； 22．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根据根的判别式的情况确定根的情况的方法是解题的关键． 根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式与根的情况的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴该二次方程有实数根． 故答案为：有． 23．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 【答案】①②④ 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 24．为实数，关于的方程有三个不等的实数根．(1)求证：； (2)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查绝对值方程，一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系及判别式，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，由原方程有三个根，得到方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，根据，即可解答； （2）根据方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于，则，，，由勾股定理，得，继而推导出，将代入得到 ，求出，分类讨论，判断是否符合题意，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ， ， ∵原方程有三个根， ∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即或中必有一个大于0，一个等于0， ∵， ∴． （2）方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于， ∴， 设， 则， 即， 由勾股定理，得 ， 即， ∴ 整理得：， 由（1）有，代入上式得 ， ∴． 当时，，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾， ∴． 把代入中，得 ． 故． 25．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 26．已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以 ，求解即可． （2）该方程有一个根为2，代入方程可解出的值，将之代入原方程再求出另一个解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ； （2）方程有一个根为2，代入得： ， ， 解得， ∵， ． 当时，原方程为． 解得或． 原方程另一个根为． 28． 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 【答案】(1) (2)等腰三角形的周长为或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解； （2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵两根异号，且正根的绝对值较大， ∴， ∴整数的值为； （2）解：①当为底边长时，， ， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为； ②当为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为或． 29．已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 【答案】(1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【详解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 30．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)且； (2)是等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程以及等边三角形的定义； （1）根据根的判别式列出不等式即可求解； （2）先求出k的值，再求出一元二次方程的根，进而即可得到答案 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且； （2）解：把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴和的长分别是：2，2， ∴，即是等边三角形 31．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）由勾股定理得，则而，代入即可证明； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵是直角三角形，为斜边， ∴，则 而， ∴一元二次方程有两个相等的实数根； （3）解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义，等边三角形的性质，勾股定理等知识． 题型五：根与系数的关系 32．下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．利用一元二次方程的根与系数的关系对以下选项进行逐一验证并作出正确的选择． 【详解】解：A项：，故不符合题意； B项：，本方程无根，故不符合题意； C项：，故不符合题意； D项：，符合题意． 故选：D． 33．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 34.已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和一元二次方程的解． 利用一元二次方程根的定义得到，则，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：D． 35．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 36．若关于的一元二次方程的两根为，则（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 37．、是方程的两个根，则（   ） A．4 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 38．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 39．已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ ，． ∴ 故选：C． 40．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 41．设方程的两根是，则方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出方程的解．首先把变为，而方程的两根是、，利用根与系数可以得到、、、之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 而方程的两个根为、， ，① ，② 又方程可以变为，③ 把①②代入③中得 ， ， ，． 故选：A． 42．关于的方程有一根，则该方程的两根积与两根和相乘的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则，， 先根据求出方程的另一个根，再代入求解即可． 【详解】. 解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为． ∴， 解得：， ∴方程的两根积与两根和相乘的结果， 故答案为：． 43．已知不相等的实数a、b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意可得a、b可看作关于x的方程的两实数解，则由根与系数的关系可得，再把原式可变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵不相等的实数a、b，且满足， ∴a、b可看作关于x的方程的两实数解， ∴， ∴ ， 故答案为： 44．已知实数满足，，且，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据题意可知实数是方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：实数满足，，且， ∴实数是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：10 ． 45．已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 46．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 47．关于x的一元二次方程有实数根 (1)求m的取值范围 (2)若两根为、且，求m的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：∵方程的两个根为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 48．关于的方程有实根． (1)求的取值范围； (2)若两根为，，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求解不等式即可得出的取值范围； （2）将变形得，根据根与系数的关系得到和，代入得出关于的方程，求解方程再结合（1）中所求的取值范围判断得出结论即可． 【详解】（1） 解：关于的方程有实根， ， 解得， 实数的取值范围是； （2） 解：根据根与系数的关系得，， ，即， ，整理得， 解得，， 由（1）知， 舍去， ． 49．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，是方程的两根，且时，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合题意求出，即可得出，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是方程的两根， ∴，， 当时，即 ， ∴，满足题意， ∴， ∴． 50．已知方程的两个根为，，不解方程，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，完全平方公式的变形，因式分解的应用，灵活应用整体代入的方法计算是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到， ，再根据，然后整体代入计算即可； （2）由， ，根据，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ， ． 51．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）利用因式分解法解方程； （2）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式得到； （3）根据根与系数的关系得到，，而，易求得，，则． 【详解】（1）解：当时，方程变为， 即， ∴或， ，； （2）解：根据题意， 解得； （3）解：根据题意得，， 而， ， ， ． 52．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再计算，即可作答． （2）结合完全平方公式，得，然后计算，再代入化简，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $