探索三角形三边关系（同步练习）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦三角形三边关系，通过基础巩固、变式应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三边关系基本计算|填空题1-2、8及判断题，直接应用两边和差求第三边范围| |变式应用|特殊三角形及分段问题|填空题3（等腰三角形）、5（吸管分段），选择题9-13（组合判断）| |综合拓展|实际情境与多步推理|解答题22（书签设计）、23（铁丝分段），融合周长计算与成本分析|

专项提升训练：探索三角形三边关系 一、填空题 1．一个三角形的两条边的长分别是5分米和9分米，第三条边最长是( )分米，最短是( )分米。（取整分米） 2．一个三角形两条边分别是4厘米、7厘米，第三条边最短是( )厘米。（取整厘米） 3．一个等腰三角形的周长是36厘米，其中两条边的长度比是2∶5，这个三角形的底边长是( )厘米。 4．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中两条边的长度分别为11厘米和20厘米，则第三条边的长度最短为( )厘米，最长为( )厘米。 5．把一根12厘米长的吸管剪成三段，每段都是整厘米数，且三段长度互不相等。用这三段围成一个三角形，其中最长的一段是( )厘米，这时另外两段的长度分别是( )厘米和( )厘米。 6．两根小棒的长分别是4厘米和9厘米，如果再选一根长度为整厘米数的小棒和这两根小棒拼成一个三角形，选择的这根小棒最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 7．奶奶准备用栅栏围出一块三角形菜地，每小段栅栏长1米，奶奶已经连接成8米和12米的栅栏作为菜地的两条边，那么第三条边（正好由若干小段栅栏连接而成）最长是( )米，最短是( )米。 8．有两根长度分别是5厘米，9厘米的小棒，能和这两根小棒围成一个三角形的第三根小棒，最长是( )厘米，最短是( )厘米（取整厘米数）。 二、选择题 9．聪聪要把一根小棒截成3段围成一个三角形，第一刀不能在（    ）处截开。 A．① B．② C．③ D．④ 10．下面三组小棒，不能围成三角形的一组是（    ）。 A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、2cm C．2cm、3cm、4cm D．5cm、5cm、6cm 11．乐乐想用木棒拼接一个三角形装饰相框，他手边有四根长度不同的木棒，长度分别为3cm、4cm、7cm、8cm。从中任选三根木棒，能成功拼成三角形相框的组合是（    ）。 A．3cm、4cm、7cm B．3cm、7cm、8cm C．3cm、4cm、8cm D．以上都不对 12．有长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的小棒各一根，可以围成（    ）个不同的三角形。 A．1 B．2 C．3 D．无数 13．两根分别长4厘米和8厘米的小棒，可以和下面长（    ）的小棒围成一个三角形。 A．4厘米 B．3厘米 C．11厘米 D．12厘米 三、判断题 14．用三根长度分别是5cm、5cm和11cm的小棒能围成一个等腰三角形。( ) 15．小明用三根长3cm、4cm、5cm小棒，他可以搭一个直角三角形。( ) 16．小明用三根长度分别为3cm、5cm、9cm的小棒，可以围成一个三角形。( ) 17．用2根长4cm和1根长8cm的铁丝刚好可以围成一个等腰三角形。( ) 18．用长3厘米，3厘米和6厘米的三条线段可以围成一个三角形。( ) 四、作图题 19．将如图18厘米细木棒剪两刀，使剪下的三根小棒首尾相连能围成一个三角形。用↓标注剪开的位置。 五、解答题 20．王老师用三根小棒（长度为整厘米数）摆三角形（如图），则被遮住的一条边的长可能是几厘米？ 21．一个等腰三角形的一条边是分米，另一条边的长度是这条边的。这个三角形的周长是多少分米？ 22．万寿宫历史文化街区新推出了一款“南昌记忆”系列金属书签。设计师将书签主体设计为一个等腰三角形，并提供了两种长度的金属边框方案：5.6厘米和11.2厘米。现要从中选择一种金属边框作为等腰三角形的腰，另一种作为底，制作书签。 (1)设计师发现，其中一种方案无法围成等腰三角形。请通过计算或画图说明是哪种方案不行，并写出理由。 (2)另一种方案可以围成等腰三角形，这个书签的周长是多少厘米？ (3)若每厘米金属边框的材料成本是2角，制作这样一个书签的材料费是多少元？ 23．把一根长10厘米的铁丝在整厘米处剪两次，分成3段，再首尾相连围成三角形。 (1)聪聪第一刀剪在5厘米处，明明判断无论聪聪第二刀剪在哪里，剪完后的三段铁丝一定不能围成一个三角形。明明的说法正确吗？请说明理由。 (2)如果妙妙第一刀剪在4厘米处，再在( )厘米处剪一刀得到的铁丝一定能围成三角形。 24．一根铁丝正好可以围成一个边长是26厘米的等边三角形，如果将这根铁丝改围成一个腰比底长3厘米的等腰三角形，那么围成的这个等腰三角形的底是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 13 5 【分析】任意两条边的长度之和一定大于第三条边，任意两条边的长度之差一定小于第三条边。 先算第三条边的上限：两条已知边的和是5＋9＝14分米，第三条边必须比14分米小，取整分米的话最大只能是13分米。 再算第三条边的下限：两条已知边的差是9－5＝4分米，第三条边必须比4分米大，取整分米的话最小只能是5分米。 【详解】5＋9＝14（分米） 14－1＝13（分米） 9－5＝4（分米） 4＋1＝5（分米） 2．4 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，用已知三角形的两边分别求和、求差，计算出第三条边的取值范围，即可知道第三条边最短是多少厘米。 【详解】4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 3厘米＜第三边＜11厘米 11－1＝10（厘米） 3＋1＝4（厘米） 这个三角形第三条边最短是4厘米。 3．6 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则这个等腰三角形三条边的长度比是5∶5∶2或是5∶2∶2。三角形任意两边之和大于第三边，2＋2＜5，可知三条边的长度比是5∶2∶2不能围成一个三角形。那么这个等腰三角形三条边的长度比是5∶5∶2。将比的各项看成份数，周长÷总份数，求出一份数，一份数×底的对应份数＝底边长，据此列式计算。 【详解】这个等腰三角形三条边的长度比是5∶5∶2或是5∶2∶2。三角形任意两边之和大于第三边，2＋2＜5，可知三条边的长度比是5∶2∶2不能围成一个三角形。 那么这个等腰三角形三条边的长度比是5∶5∶2 36÷（5＋5＋2） ＝36÷12 ＝3（厘米） 3×2＝6（厘米） 这个三角形的底边长是6厘米。 4． 10 30 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】两边之和：11＋20＝31（厘米） 两边之差：20－11＝9（厘米） 第三条边的长度大于9厘米小于31厘米，因为三条边的长度均为整厘米数，所以第三条边的长度最短是10厘米，最长是30厘米。 5． 【分析】根据三角形的特征，任意两边长度的和大于第三边，可知最长的一条边必须小于周长的一半。已知周长是12厘米，则最长边要小于6厘米。再结合三段长度都是整厘米数且互不相等这两个条件，通过列举法确定三条边的长度。 【详解】根据三角形三边关系可知，三角形中最长的一条边必须小于周长的一半：（厘米） 因为每段都是整厘米数，所以最长的一段长度最大只能是5厘米； 当最长的一段是5厘米时，另外两段的长度和为：（厘米） 将7拆分成两个不相等的整数，且这两个整数都要小于5； 若分成1和6，，不符合最长边是5的条件； 若分成2和5，，不符合三段长度互不相等的条件； 若分成3和4，，，且，符合条件； 验证三边关系：，能围成三角形。 所以，最长的一段是5厘米，另外两段分别是3厘米和4厘米。 6． 12 6 【分析】依据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。先求出第三边取值范围，再结合边长为整厘米数确定最长、最短长度。 【详解】9＋4＝13（厘米），第三边＜13厘米，最长整厘米数是12厘米； 9－4＝5（厘米），第三边＞5厘米，最短整厘米数是6厘米。 所以选择的这根小棒最长可以是12厘米，最短可以是6厘米。 7． 19 5 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。 【详解】12米－8米＜第三边＜12米＋8米 所以4米＜第三边＜20米 即第三边在4米至20米之间，不包括4米和20米， 即第三条边最短是4＋1＝5（米），最长是20－1＝19（米）。 奶奶准备用栅栏围出一块三角形菜地，每小段栅栏长1米，奶奶已经连接成8米和12米的栅栏作为菜地的两条边，那么第三条边（正好由若干小段栅栏连接而成）最长是19米，最短是5米。 8． 13 5 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；第三根小棒最长＝另外两条小棒的和－1厘米，第三根小棒最短＝另外两条小棒的差＋1厘米。 【详解】（厘米），（厘米）。 9．B 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。 【详解】由图可知，如果第一刀在中点②处截断，得到其中一段等于全长的一半，剩下两段相加刚好等于这一段，不满足两边之和大于第三边，无法围成三角形。 10．A 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。判断时只需比较较短两条边的长度和与最长边的大小，若和大于最长边就能围成三角形，若和小于或等于最长边则不能围成。 【详解】A．1＋2＝3（cm），3cm＝3cm，不符合三边关系，不能围成三角形； B．2＋2＝4（cm），4cm＞2cm，符合三边关系，能围成三角形； C．2＋3＝5（cm），5cm＞4cm，符合三边关系，能围成三角形； D．5＋5＝10（cm），10cm＞6cm，符合三边关系，能围成三角形。 11．B 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，验证时只需计算较短两根木棒的长度和是否大于最长木棒的长度即可判断。 【详解】A．较短两根长度和为，等于最长边长度7，不能组成三角形。 B．较短两根长度和为，，满足三边关系，可以组成三角形。 C．较短两根长度和为，，不能组成三角形。 D．以上都不对，不符合题意。 所以，能成功拼成三角形相框的组合是B选项的组合。 12．B 【分析】任意选择3根小棒，有以下几种情况： ①3厘米、4厘米、5厘米； ②3厘米、4厘米、8厘米； ③4厘米、5厘米、8厘米； ④3厘米、5厘米、8厘米； 再根据三角形的任意两边之和大于第三条边，判断能围成几种不同的三角形。 【详解】任意选择3根小棒： ①3厘米、4厘米、5厘米；3＋4＞5，能围成三角形 ②3厘米、4厘米、8厘米；3＋4＜8，不能围成三角形 ③4厘米、5厘米、8厘米；4＋5＞8，能围成三角形 ④3厘米、5厘米、8厘米；3＋5＝8，不能围成三角形 只有①③能围成三角形，所以围成2种不同形状的三角形。 13．C 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此分析每个选项，找出可以围成三角形的即可。 【详解】A．4厘米、4厘米和8厘米，4＋4＝8（厘米），两边之和等于第三边，不能围成三角形； B．3厘米、4厘米和8厘米，3＋4＝7（厘米），7＜8，两边之和小于第三边，不能围成三角形； C．4厘米、8厘米和11厘米，4＋8＝12（厘米），12＞11，8－4＝4（厘米），4＜11，能围成三角形； D．4厘米、8厘米和12厘米，4＋8＝12（厘米），两边之和等于第三边，不能围成三角形。 可以和长11厘米的小棒围成一个三角形。 14．× 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，计算较短两边的和与最长边比较即可判断。 【详解】5＋5＝10（） 10＜11 不符合三角形任意两边之和大于第三边的要求，因此这三根小棒不能围成三角形。 故答案为：× 15．√ 【分析】先根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，判断能否围成三角形，再画图用三角板比一比看能否搭出直角三角形。 【详解】3＋4＝7＞5，3＋5＝8＞4，4＋5＝9＞3所以这三根小棒能围成一个三角形。 如图：用三角板直角比较可得三根长3cm、4cm、5cm小棒可以搭一个直角三角形。原题表述正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】由三角形的三边关系可知，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，据此解答。 【详解】3＋5＝8，8＜9，不符合三角形任意两边之和大于第三边的要求，不能围成三角形。 故答案为：× 17．× 【分析】围成三角形的必要条件是任意两边之和大于第三边。本题中给出的三条线段长度分别为4cm、4cm、8cm，需验证两条较短边的和是否大于最长边。 【详解】 因为 ，即两边之和等于第三边，不满足大于第三边的条件，不能围成三角形。 故答案为：× 18．× 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需计算较短的两条线段长度之和，看是否大于最长的一条线段。 【详解】已知三条线段的长度分别为3厘米、3厘米和6厘米。 较短的两条线段长度之和为：（厘米）。 最长的一条线段长度为6厘米。 因为，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的条件。 所以用长3厘米，3厘米和6厘米的三条线段不可以围成一个三角形。 原题说法错误。 故答案为：× 19．（答案不唯一） 【分析】三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 【详解】三根小棒总长18厘米，最长边必须小于18÷2＝9（厘米）。 三边长为5厘米、6厘米、7厘米 第一刀标在5厘米处，第二刀标在5＋6＝11厘米处。 图略。 20．可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米、14厘米、15厘米、16厘米。 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，由此可推出：两边之差＜第三边＜两边之和。由题意可知两条边长度分别是7厘米、10厘米，第三条边是整厘米数，先算出两边和与两边差，再确定取值范围。 【详解】计算两边之和：7＋10＝17（厘米） 计算两边之差：10－7＝3（厘米） 根据三边关系：3＜第三边＜17 边长为整厘米数，所以第三条边可能是：4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米、14厘米、15厘米、16厘米。 答：则被遮住的一条边的长可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米、14厘米、15厘米、16厘米。 21． 分米 【分析】因为是等腰三角形，所以第三条边的长度可能与第一条边相等，也可能与第二条边相等，分两种情况讨论。 根据三角形任意两边之和大于第三边的性质，验证这两种情况是否能组成三角形。排除不能组成三角形的情况，将符合条件的三条边长度相加求出周长。 【详解】（分米） 情况一：当腰长为分米，底边长为分米时。 因为，，符合三角形三边关系。 周长： （分米） 情况二：当腰长为分米，底边长为分米时。 因为，，，两边之和小于第三边，不能组成三角形。 答：这个三角形的周长是分米。 22．(1)腰5.6厘米、底11.2厘米不行。5.6＋5.6＝11.2，两腰之和等于底，不能构成三角形（两边之和必须大于第三边）。 (2)28厘米 (3)5.6元 【分析】先列出两种等腰三角形的边长组合，根据三角形两边之和大于第三边的特征判断无法围成的方案，再计算可行方案的周长，最后结合单位成本计算总材料费并换算单位。1元＝10角。 【详解】（1）两种边长组合分别为： 第一种：腰长5.6厘米，底长11.2厘米 （厘米） 两腰之和等于底长，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法围成三角形。 第二种：腰长11.2厘米，底长5.6厘米 （厘米），，满足三边关系，可以围成。 因此腰长5.6厘米、底长11.2厘米的方案不行。 （2）可行方案的周长： （厘米） 答：这个书签的周长是28厘米。 （3）总材料费（以角为单位）： （角） 56角＝5.6元 答：制作这样一个书签的材料费是5.6元。 23．(1)明明的说法正确；一段已经是5厘米，剩下两段总和只有5厘米，不满足两边之和大于第三条边。（说法不唯一） (2)6/7/8 【分析】依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。第（1）题：一段已经是5厘米，剩下两段总和只有5厘米，不满足两边之和大于第三条边。第（2）题：现在已有一段是4厘米，那么另外两段（由6厘米剪开得到）的长度都必须小于5厘米，且它们的和是6厘米。 【详解】（1）明明的说法正确。第一刀剪出5厘米，剩下两段铁丝总长：10－5＝5（厘米）。三角形要求任意两边之和＞第三边，剩下两段加起来等于5厘米，做不到大于5厘米，所以一定围不成三角形。 （2）现在已有一段是4厘米，那么另外两段（由6厘米剪开得到）的长度都必须小于5厘米，且它们的和是6厘米。 在6厘米处剪：6厘米被分成2厘米（4到6）和4厘米（6到10）。三段为：4、2、4。因为4＋2＞4，4＋4＞2，可以围成三角形。 在7厘米处剪：6厘米被分成3厘米（4到7）和3厘米（7到10）。三段为：4、3、3。因为3＋3＞4，4＋3＞3，可以围成三角形。 在8厘米处剪：6厘米被分成4厘米（4到8）和2厘米（8到10）。三段为：4、4、2。可以围成三角形（与6厘米处剪的结果相同，只是顺序不同）。 24． 24厘米 【分析】首先根据等边三角形边长求出铁丝总长度；其次分析等腰三角形腰与底的关系，腰比底长3厘米，有两条腰，一共多出6厘米，如果把两条腰都缩短3厘米，三条边就全部和底边一样长，即底边长度（铁丝总长度），据此作答。 【详解】根据分析可知，铁丝总长度为：（厘米）； 等腰三角形的底长为： （厘米） 答：围成的这个等腰三角形的底是24厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $