探索三角形内角和（同步练习）-2026-2027学年数学五年级上册北师大版

**基本信息** 聚焦三角形内角和，通过基础巩固、综合应用、拓展推理三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的进阶，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|内角和概念及简单计算|直接问答巩固认知（如判断两个直角能否构成三角形）| |发展层|等腰三角形与角度比综合应用|分类讨论培养思维严谨性（如等腰三角形一角为72°的多解问题）| |提升层|三角形外角性质推理|推理证明发展逻辑思维（如外角等于不相邻内角和的推导）|

专项提升训练：探索三角形内角和 一、填空题 1．一个三角形有两条边都是5厘米，其中一个内角是110°，其他两个内角各是( )°。 2．临临在探究三角形内角和时把三角形纸片撕成三个角，不小心和同桌平平的一个角混在了一起，那么图中( )°的角是平平的。 3．一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。 4．一个等腰三角形的顶角和其中一个底角的度数比是2∶1，这个三角形的顶角是( )°；按角分，这是一个( )三角形。 5．一个三角形的三个角的度数比是 ，那么这一定是( )三角形，其中最小的锐角是( ) 。 6．一个等腰三角形，其中两个内角的度数比是1∶4，这个等腰三角形较大的内角是( )度或( )度。 7．一个等腰三角形的底角和顶角的比是 ，它的一个底角是( ) ，顶角是( ) ；如果按角分，那么它是( )三角形。 8．等腰三角形一个角是72°，另外两个角的度数分别是( )。 二、选择题 9．三角形的三个内角中不可能有（    ）。 A．两个30°的角 B．两个60°的角 C．两个90°的角 D．都不对 10．悦悦将一个三角形的内角撕下来（下图），可以拼成一个（    ）。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 11．下面（    ）组是同一个三角形的三个内角。 A．90°    50°    41° B．57°    50°    63° C．95°    25°    60° D．100°    50°    50° 12．一个等腰三角形的一个底角是50°，那么另外两个内角分别是（     ）。 A．50°和50° B．65°和65° C．50°和80° D．40°和90° 13．在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是（    ）。 A．54° B．44° C．64° D．36° 三、判断题 14．在一个直角三角形中，一个锐角是48°，则另一个锐角是52°。( ) 15．钝角三角形的内角和大于180°。( ) 16．一个三角形中最少有两个锐角。( ) 17．一个三角形三个内角的度数比是1∶4∶5，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 18．一个等腰三角形的最小内角是48°，那么这个三角形一定是锐角三角形。( ) 四、计算题 19．一个等腰三角形的一个底角是48度，它的顶角是多少度？ 五、解答题 20．公园有一块三角形草地，草地的最大角是120°，是最小角的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三角形？ 21．张老师制作了一个直角三角形的学具，这个学具的一个锐角是35度，则这个学具的另一个锐角是多少度？ 22．思维拓展。 (1)如图，把三角形的边延长到点，就可以得到三角形的一个外角。我们可以用推理说明：。你能看懂下面的推理过程吗？在括号内填写推理的依据。 因为：( ) ( ) 所以： 所以：（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） (2)如图，两条直线相交形成四个角，请你仿照上面的形式用推理说明：。 23．学校要举办体育节，需要剪一些等腰三角形来制作彩旗，这些等腰三角形的一个角是40°，另外两个角是多少度？ 24．聪聪围了一个三角形，根据他告诉大家的信息，你能判断出聪聪围的是什么三角形吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．35 【分析】由题意可知，两条边相等可判断此三角形为等腰三角形，两个底角度数相等，110°是钝角，不可能作为底角（两个钝角和会超过180°），因此只能是顶角；三角形内角和固定为180°。 【详解】180°－110°＝70° 70°÷2＝35° 所以，其他两个内角各是35°。 2．60 【分析】三角形的内角和是180°，找出三个和是180度的角，剩下的就是平平的角。 【详解】因为53°＋50°＋77°＝180°，所以60°的角是平平的。 3．180° 【分析】任意三角形的内角和都是固定的，和三角形的大小、形状无关。 【详解】分割得到的每个小三角形仍然是三角形，因此内角和是。 4． 90 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角和其中一个底角的度数比是2∶1，把底角看作1份，则顶角是2份，三角形的三个角总共是1＋1＋2＝4（份），三角形的内角和等于180°，180°除以4求出1份的度数，1份的度数乘2求出顶角的度数，再根据最大角的度数判断三角形的形状。 【详解】因为是等腰三角形，所以两个底角相等。 顶角与底角的度数比是2∶1，则三个内角的度数比为2∶1∶1。 180°÷（2＋1＋1） ＝180°÷4 ＝45° 45°×2＝90° 90°的角是直角，这个三角形是直角三角形。 5． 直角 36 【分析】三角形3个角的比是2∶3∶5，那么各个角分别为2份、3份、5份，一共是2加3加5等于10份，所以最大角是三角形内角和的，求得最大的角，判断三角形的形状；最小的角是三角形内角和的，三角形的内角和是180°，用180°×即可求得最小角的度数。 【详解】（1）2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10 5÷10＝ 180°× ＝18°×5 ＝90° 所以这个三角形一定是直角三角形。 （2）2÷10＝ 180°× ＝18°×2 ＝36° 所以最小的角是36°。 6． 120 80 【分析】因为等腰三角形两个底角相等，已知两个内角比是1∶4，所以要分两种情况： 一是三个角的比为1∶1∶4，此时较大角占内角和的，用180°乘这个占比，求出对应的较大内角； 二是三个角的比为1∶4∶4，此时较大角占内角和的，同样用180°乘这个占比，求出另一种情况的较大内角。 【详解】（1）三个角的比为1∶1∶4时 180°× ＝180°× ＝120° （2）三个角的比为1∶4∶4时 180°× ＝180°× ＝80° 所以这个等腰三角形较大的内角是120度或80度。 7． 30 120 钝角 【分析】先根据等腰三角形两底角相等的性质，结合底角和顶角的比是1∶4，得出三个内角的比为1∶1∶4；再算出总份数，用三角形内角和180°除以总份数，得到每份的度数；接着用每份的度数分别乘底角、顶角对应的份数，算出底角和顶角的度数；最后根据顶角的度数与90°的大小关系，判断该三角形按角分类的类型。 【详解】总份数：1＋1＋4＝6 每份度数：180°÷6＝30° 底角：1×30°＝30° 顶角：4×30°＝120° 因为顶角大于90°，所以是钝角三角形。 8．54°、54° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，本题中提到一个角是72°，但没说明这个角是顶角还是底角，分情况讨论。 【详解】当72°是等腰三角形的顶角时，另外两个角是： （180°－72°）÷2 ＝108°÷2 ＝54° 当72°是等腰三角形的底角时，顶角是： 180°－72°－72° ＝108°－72° ＝36° 等腰三角形一个角是72°，另外两个角的度数分别是54°、54°或72°、36°。 9．C 【分析】三角形内角和为，如果存在两个的角，两角之和已经等于，不存在第三个角，无法构成三角形。 【详解】A．，第三个角为，可以构成三角形； B．，第三个角为，可以构成等边三角形； C．，剩余第三个角为，无法构成三角形。 D．A选项和B选项可以构成三角形，该结论不成立。 10．C 【分析】根据三角形的内角和及平角的含义：三角形的内角和是180°，等于180°的角是平角；由此解答。 【详解】把三角形的三个内角撕下来拼在一起，可以拼成一个平角。 11．C 【分析】三角形的内角和为180°，将各个选项的三个角分别相加，看结果是否是180°，是180°的就可以组成一个三角形。据此解答。 【详解】A．90°＋50°＋41°＝140°＋41°＝181°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 B．57°＋50°＋63°＝107°＋63°＝170°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 C．95°＋25°＋60°＝120°＋60°＝180°，即这三个角可以是一个三角形的三个内角。 D．100°＋50°＋50°＝150°＋50°＝200°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 所以，95°、25°、60°是同一个三角形的三个内角。 12．C 【分析】等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为，已知一个底角的度数，先确定另一个底角的度数，再计算顶角的度数即可。 【详解】另一个底角度数等于已知底角度数，为， 顶角度数： 所以另外两个内角分别是和。 13．A 【分析】直角三角形有一个角是直角为，三角形内角和是，所以两个锐角的和是，用减去已知锐角的度数就能得到另一个锐角的度数。 【详解】 在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是。 14． × 【分析】三角形内角和是，直角三角形有一个角是，用内角和减去直角的度数，再减去已知锐角的度数，就能得到另一个锐角的度数，据此判断即可。 【详解】 所以另一个锐角是，原题说法错误。 故答案为：× 15． × 【分析】任意三角形的内角和都是，钝角三角形属于三角形，内角和同样为。 【详解】所有三角形的内角和均为，钝角三角形是三角形的一种，其内角和等于，题干说法错误。 故答案为：× 16． √ 【分析】三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的内角和是180°。需考虑所有类型的三角形，分析每种情况下锐角的数量，从而判断最少有几个锐角。 【详解】三角形按角的大小分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；锐角三角形：三个角都是锐角，锐角的个数是3个；直角三角形：有一个角是直角，等于90°，另外两个角的度数之和为180°－90°＝90°，所以另外两个角必然都是锐角，锐角的个数是2个；钝角三角形：有一个角是钝角，大于90°，另外两个角的度数之和小于90°，所以另外两个角必然都是锐角，锐角的个数是2个。综上所述，一个三角形中最少有2个锐角。 故原题说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】三角形内角和是180°，根据题意，把三角形内角和分成了（1＋4＋5）份，用三角形内角和÷总份数，求出1份是多少，进而求出最大的角，再进行判断。 【详解】1＋4＋5＝10（份） 180÷10×5 ＝18×5 ＝90° 这个三角形是直角三角形。 一个三角形三个内角的度数比是1∶4∶5，这个三角形一定是直角三角形。 故答案为：× 18．√ 【分析】三角形内角和是180°；等腰三角形两个底角度数相等；锐角三角形三个内角都小于90°。分两种情况讨论最小内角48°的位置，再计算剩余内角度数。 【详解】情况1：48°是等腰三角形的底角 顶角＝180°－48°×2 ＝180°－96° ＝84° 三个内角：48°、48°、84°，全部小于90°。 情况2：48°是等腰三角形的顶角 底角＝（180°－48°）÷2 ＝132°÷2 ＝66° 三个内角：48°、66°、66°，全部小于90°。 两种情况所有内角都小于90°，所以这个三角形一定是锐角三角形，这句话正确。 故答案为：√ 19．84度 【分析】三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角度数相等，用内角和减去两个底角的度数，即为顶角的度数。 【详解】180－48－48 ＝132－48 ＝84（度） 答：它的顶角是84度。 20．36°；钝角三角形 【分析】先用草地的最大角除以5，即可计算出最小角的度数，三角形的内角和为180°，因此用180°减最大角的度数后，再减最小角的度数即可得到第三个角的度数，然后再根据三角形按角的分类标准进行解答即可。 【详解】 答：这块三角形草地的第三个角是36°，按角分类，这块草地是钝角三角形。 21．55度 【分析】三角形内角和是180度，直角三角形有一个角是直角90度，已知另一个角是35度，利用减法求出第三个角。 【详解】180－90－35 ＝90－35 ＝55（度） 答：这个学具的另一个锐角是55度。 22．(1) 三角形的内角和是180° 平角等于180° (2) 见详解 【分析】（1）利用三角形内角和定理：三角形内角之和是180°，平角的特征：平角等于180°，填空即可；（2）利用平角等于180°的性质，即可推导。 【详解】（1）∠1＋∠2＋∠3＝180°，依据：三角形的内角和是180°； ∠3＋∠4＝180°，依据：平角等于180°。 （2）因为：∠1＋∠2＝180°（平角等于180°） ∠1＋∠4＝180°（平角等于180°） 所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4 所以：∠2＝∠4 23．当顶角是40°时，另外两个角分别是70°；70°； 当底角是40°时；另外两个角分别是40°；100° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°。题目中只给出一个角是40°，没有说明这个角是顶角还是底角，因此存在两种可能性：第一种情况，40°是顶角，则两个底角相等；第二种情况，40°是底角，则另一个底角也是40°，需计算顶角。 【详解】当顶角是40°时 （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 当底角是40°时 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 答：当顶角是40°时，另外两个角分别是70°，70°； 当底角是40°时；另外两个角分别是40°，100°。 24．直角三角形 【分析】把最小角的度数看作1份，最大角的度数是最小角的3倍，所以最大角的度数为3份，又因为另一个角的度数是最小角的2倍，所以这个角的度数为2份。可知这三个角一共的份数。再根据三角形内角和是180°，用180°除以一共的份数，就是一份是多少度，分别求出2份和3份是多少度，最后判断是什么三角形。三角形按角的大小，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。 【详解】180°÷（1＋2＋3） ＝180°÷（3＋3） ＝180°÷6 ＝30° 30°×2＝60° 30×3＝90° 答：聪聪围的是直角三角形。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $