第十九讲 磁场对运动电荷的作用 讲义--2027届高三一轮复习

该高中物理高考复习教案聚焦磁场对运动电荷的作用专题，涵盖洛伦兹力的特点及应用、带电粒子在匀强磁场中的运动、组合场与叠加场中的运动等核心考点，按概念规律→方法技巧→综合应用的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练，帮助学生突破轨迹分析、临界条件等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以科学思维培养为核心，创新采用“程序解题法”引导学生建构带电粒子圆周运动模型，通过几何关系分析圆心、半径，结合圆心角计算运动时间，提升科学推理能力。设置分层练习配合易错提醒，落实物理观念中的运动和相互作用观念，为教师提供清晰复习路径，助力学生高效掌握解题技巧，提升高考应考能力。

新高三暑假复习讲义 2027届高三一轮复习讲练测 第十九讲 磁场对运动电荷的作用 一、洛伦兹力的特点及应用 1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：左手定则： 掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向。 (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。 3．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°) (2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°) (3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。 4．洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力始终与速度方向垂直。 (2)洛伦兹力不做功，只改变速度方向。 易错提醒： 1只有运动电荷在磁场中才有可能受到洛伦兹力作用，静止电荷在磁场中不受洛伦兹力作用。 2有关洛伦兹力的方向的理解 ①由于电荷有正负之分，故四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。 ②洛伦兹力垂直于v和B所决定的平面。 ③洛伦兹力始终和粒子的运动方向垂直。 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。 2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。 3．半径和周期公式：(v⊥B) 4．带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝·T ②t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ＜180°，φ＝2α；φ＞180°，φ＝360°－2α 规律方法　(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法 考点一：对洛伦兹力的理解 例1.平面内存在垂直平面向外的匀强磁场，一电子垂直磁场射入，不计空气阻力。如图所示，则电子偏转的轨迹可能是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【详解】由于不计空气阻力，则电子做匀速圆周运动，且根据左手定则可知电子向左偏转，可知电子偏转的轨迹为圆弧的一部分。 故选A。 【变式训练1】地磁场是地球孕育生命的必要条件，它保护生物免受宇宙高能粒子射线的伤害，现有一束正电粒子正对于赤道表面射入，已知在赤道上空，地磁场的水平分量方向为从南往北，则在地磁场作用下粒子的偏转方向为（     ） A．向东 B．向西 C．向北 D．向南 【答案】A 【详解】首先明确各物理量方向：正对赤道表面射入的正粒子，速度方向为竖直向下（指向地心）；赤道上空地磁场水平分量方向为从南向北。 根据左手定则判断方向：伸开左手，让向北的磁感线从掌心穿入（掌心朝南），四指指向正电荷的运动方向（竖直向下），大拇指指向即为洛伦兹力方向，推导得该方向为向东，粒子将沿洛伦兹力方向向东偏转。 故选A。 【变式训练2】在如图所示的四幅图中，对通电直导线所受安培力F或带电粒子所受洛伦兹力F洛的方向判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．磁感应强度方向垂直纸面向里，电流方向向左，根据左手定则，安培力方向应向下，故A错误； B．磁感应强度方向垂直纸面向外，电流方向向右，根据左手定则，安培力方向向下，故B正确； C．正电荷向右运动，磁感应强度方向垂直纸面向里，根据左手定则，洛伦兹力方向应向上，故C错误； D．负电荷向右运动，磁感应强度方向垂直纸面向里，正电荷所受洛伦兹力方向向上，负电荷受力方向与之相反，故洛伦兹力方向应向下，故D错误。 故选B。 例2.如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的滑块从斜面的顶端由静止释放。重力加速度为，滑块滑到斜面某位置时，恰好不受斜面的弹力，则在该位置滑块的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由左手定则可知，滑块所受洛伦兹力垂直斜面向上，滑块滑至某位置时恰好不受弹力，则 解得 故选B。 【变式训练】如图，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带正电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点所受洛伦兹力的方向与导线垂直 B．小球在a、b之间做往复运动 C．小球所受洛伦兹力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 【答案】D 【详解】ACD．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，根据安培定则，结合磁感应强度的叠加原理可知，直线MON上靠近M处的磁场方向垂直于MN向里，靠近N处的磁场方向垂直于MN向外；小球从a点运动到b点的过程中，磁感应强度大小先减小，过O点后反向增大，根据左手定则可知，带正电的小球受到的洛伦兹力方向开始时竖直向上，大小逐渐减小，过O点后洛伦兹力的方向向下，大小逐渐增大，小球在竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力逐渐增大，根据牛顿第三定律可知，小球对桌面的压力一直在增大，故AC错误，D正确； B．由于桌面光滑，小球仅在竖直方向上受到重力、洛伦兹力与支持力作用，在沿初速度方向不受外力作用，小球所受外力的合力为零，则小球将做匀速直线运动，故B错误。 故选D。 例3.如图所示，MN表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿e→d→c→b→a方向运动 C．穿越金属板后，轨迹半径变大 D．穿越金属板后，所受洛伦兹力变大 【答案】B 【详解】ABC．带电粒子穿过金属板后速度减小，由洛伦兹力提供向心力可知 化简得 可知，轨迹半径应减小，故可知粒子运动方向是e→d→c→b→a；粒子所受的洛伦兹力均指向圆心，在e点洛伦兹力向右，则由左手定则可知，粒子应带负电，故AC错误，B正确； D．穿过金属板后速度减小，根据 可知，粒子所受洛伦兹力减小，故D错误。 故选B。 【变式训练】如图所示，带正电物体（视为点电荷）静置于光滑绝缘水平面（足够长）上，空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场。某时刻将水平向右的恒力作用在该物体上，之后该物体会（    ） A．先做加速度减小的加速运动后做匀加速直线运动 B．先做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动 C．先做加速度减小的加速运动后做减速运动直至静止 D．做匀加速直线运动 【答案】D 【详解】带正电物体在F作用下向右运动，磁场垂直纸面向外，根据左手定则，洛伦兹力为竖直向下，大小，随速度增大而增大，物体对水平面压力也越来越大，由于水平面是光滑的，不存在摩擦力，物体水平方向只受恒力，即为物体合力。根据牛顿第二定律，加速度，得加速度大小恒定，方向不变，因此物体做匀加速直线运动。 故选D。 考点二：带电粒子在磁场中的运动 例1.如图所示，在一个真空环境中，有一条载有恒定电流I的长直导线，电流方向竖直向下，初速度为的电子从直导线右侧竖直向上运动，不考虑地磁场的影响，电子重力忽略不计，电子将（　　） A．沿路径M运动，速度大小变大，远离导线过程中半径变大 B．沿路径M运动，速度大小变小，远离导线过程中半径变大 C．沿路径N运动，速度大小变大，靠近导线过程中半径变小 D．沿路径N运动，速度大小不变，靠近导线过程中半径变小 【答案】D 【详解】根据安培定则可判断在导线右侧磁场的方向垂直纸面向外，根据左手定则可知电子受向左的洛伦兹力，沿路径N运动，洛伦兹力不做功，速度大小不变，根据 可得 可知越靠近导线B越大，故半径R越小。 故选D。 例2.如图所示为圆柱形区域的横截面，在没有磁场的情况下带电粒子（不计重力）以初速度v0沿截面直径方向从左至右入射，穿过此区域的时间为t。在该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，根据上述条件下列说法正确的是（     ） A．该粒子带负电 B．带电粒子在磁场中运动的时间为 C．带电粒子在磁场中运动的半径为 D．带电粒子的比荷为 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可知该粒子带正电，故A错误； BCD．在没有磁场时，粒子做匀速直线运动，故有 加上磁场后，轨迹如图 根据几何关系，则有带电粒子在磁场中运动的半径为 根据几何关系可知粒子转过的圆心角，粒子在磁场中做圆周运动的运动时间 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得带电粒子的比荷为 故C正确，BD错误。 故选C。 例3.如图所示，一束电子（不计重力）以不同速率沿垂直PQ方向入射横截面为三角形的匀强磁场。下列判断正确的是（     ） A．轨迹不重合的电子，其在磁场中运动的时间可能相同 B．速率越小的电子，其在磁场中运动的时间一定越短 C．轨迹越长的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 D．轨迹所对应圆心角越大的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 【答案】AD 【详解】AB．电子进入匀强磁场后，速度方向与磁场方向垂直，洛伦兹力始终与速度方向垂直，因此电子做匀速圆周运动。电子所受洛伦兹力提供向心力 所以 电子做圆周运动的周期为 因此，电子在磁场中的运动时间只与轨迹对应的圆心角有关，与轨迹半径和速率没有直接关系。当电子的速率较小时，轨迹半径较小，电子可能在三角形区域内运动半周后从PQ边射出。此时轨迹对应的圆心角均为，即使两个电子的速率不同、轨迹半径不同，因而轨迹不重合，它们在磁场中运动的时间仍然相同，故A正确，B错误； C．对于做半圆运动的电子，轨迹长度可能因半径不同而不同，但对应圆心角都相同，所以在磁场中运动的时间一定相同，故C错误； D．在磁场中的运动时间 所以轨迹所对应圆心角越大的电子，其在磁场中运动的时间一定越长，故D正确。 故选AD。 例4.如图所示，一束质量均为m、电荷量为q的带负电粒子，从x轴上的P点以不同的速率射入第一象限内的匀强磁场中，速度方向均与x轴成60°角。已知其中一个速度大小为v的粒子甲恰好垂直于y轴射出第一象限，OP＝a，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子甲穿过第一象限所用的时间； (3)带电粒子在第一象限内运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子甲在磁场中做匀速圆周运动，恰好垂直于轴射出第一象限，由几何关系可知圆心位于轴上，设其轨道半径为，根据几何关系和牛顿第二定律分别有， 联立解得 （2）由几何关系可知，粒子甲在第一象限内绕圆心转过的角度为，根据圆周运动周期公式和运动时间与周期的关系分别有， 联立解得 （3）所有粒子在匀强磁场中运动的周期均相同，当粒子从轴重新射出第一象限时，其在第一象限内绕圆心转过的角度最大，最大角度为，此时粒子运动的时间最长，根据运动时间与周期的关系有 解得 例5.如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电的粒子垂直于磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直磁场边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间； (2)若粒子恰好未从EF边界射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若恰好能垂直边界EF射出磁场，其运动轨迹如图所示。 由数学知识可得，粒子运动半径 由洛伦兹力提供向心力得 解得 粒子运动周期 由图知粒子的偏转角为 又 联立解得粒子在磁场中的运动时间 （2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF相切，粒子运动的轨迹如图所示。 由几何关系得 所以 由洛伦兹力提供向心力得 所以 由图知粒子的偏转角为 故得粒子在磁场中的运动时间 考点三：带电粒子在组合场中的运动 1．分析思路 1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图． 2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． 3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理． 2．常见粒子的运动及解题方法 1）处于电场中 ①匀变速直线运动：利用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理求解 ②类平抛（斜抛）运动：利用运动的分解、功能关系求解 2）处于磁场中 ①匀速直线运动“运用运动学公式求解 ②匀速圆周运动：利用几何知识、圆周运动、牛顿第二定律求解 ③螺旋运动：分解成直线运动和匀速圆周运动求解 例1.如图所示，在第一、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；第二、三象限内存在沿着x轴正方向的匀强电场E（大小未知）。一质量为m、带电量为q（q>0）的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴负方向夹角，从N（0，y0）点射出磁场进入电场，又从M点返回磁场。忽略粒子重力及磁场边缘效应。求： (1)粒子射入磁场的速度大小v； (2)粒子在磁场中首次从M点运动到N点的时间t1； (3)粒子在电场中首次从N点运动到M点的时间t2和匀强电场的场强大小E。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）根据题意，粒子轨迹如图 由几何关系知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 对粒子，在磁场中有 联立解得 （2）粒子在磁场中运动的周期为 从运动到的时间为 解得 （3）对粒子在电场中沿轴方向有 解得 对粒子在电场中由牛顿第二定律有 对粒子在电场中沿轴方向有 联立解得 【变式训练】如图所示，一质量为m、电荷量为q的粒子，从x轴上的P（0，L）点以速度v0垂直y轴射入第一象限内的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。粒子恰好垂直于x轴进入第四象限内的匀强电场中，电场强度大小为E、方向沿y轴负方向。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)带电粒子在电场中速度第一次减为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过x轴所需要的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在第一象限内做匀速圆周运动，垂直y轴射入，垂直于x轴离开，可得半径为，如图所示。 洛伦兹力充当向心力得 解得 （2）根据粒子在磁场中的运动轨迹，由左手定则可得，粒子带负电荷。 带电粒子进入电场后，在电场力的作用下做匀减速直线运动，加速度 减为零时的位移 第一次进入电场时，x轴坐标为 进入电场后，x轴坐标不变，所以带电粒子在电场中速度第一次减为零时的坐标为 （3）第一段运动，粒子从P点射出后，在第一象限做匀速圆周运动，运动轨迹为圆，垂直于x轴离开第一象限，此为第一次经过x轴；在第四象限先做匀减速直线运动（第二段运动），再反向做匀加速直线运动（第三段运动），垂直x轴离开第四象限，由于对称性，离开时速度为，此为第二次经过x轴；第四段运动，粒子进入第一象限后做匀速圆周运动，运动轨迹为圆，垂直于x轴离开第一象限，此为第三次经过x轴，运动轨迹如图所示。 粒子在第一象限做匀速圆周运动，周期为 第一段运动时间 第四段运动时间 第二段运动，粒子在第四象限做匀减速直线运动，时间为 根据对称性，第三段运动时间为 所以，带电粒子从开始到第三次经过x轴所需要的时间 例2. 如图，在直角坐标系中，第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。一带正电的粒子，其比荷为k，从（，）点以沿x轴正方向、大小为v0的初速度开始运动，并恰好从坐标原点O进入第四象限。粒子在第四象限内运动至最低点Q（图中未画出）时，到x轴的距离为d、不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)粒子从P点运动到Q点的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P点运动至坐标原点，做类平抛运动，平行于x轴方向上有 平行于y轴方向上有 由牛顿第二定律得 其中，联立解得 （2）粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示 粒子到达O点时，竖直分速度大小为 速度偏角满足 合速度大小为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 由几何关系，最低点到x轴距离为 联立解得 （3）粒子在磁场中运动周期为 粒子从O到Q对应圆心角为30°，运动时间为 粒子从P点运动到Q点的时间为 其中 联立解得 【变式训练】如图所示，两平行金属板间距为，电势差为，板间电场可视为匀强电场；金属板上方有一磁感应强度为的匀强磁场。电荷量为、质量为的粒子，由静止开始从正极板出发，经电场加速后射出，从点进入磁场后做匀速圆周运动，从点离开磁场。忽略重力的影响。求： (1)粒子从电场射出时速度的大小； (2)、两点间距的大小； (3)粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中加速，根据动能定理有： 解得： （2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 、两点间的距离： 解得： （3）粒子在磁场中做圆周运动的周期： 粒子在磁场中运动半圆的时间： 考点四：带电粒子在叠加场中的运动 （1）带电粒子在复合场中做直线运动 ①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解.   ②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解. （2）带电粒子在复合场中做曲线运动   ①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解.   ②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解. 例1.空间存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度沿水平方向（未标明方向），磁场垂直纸面向外，一带电油滴从a点以某速度进入复合场中，正好沿ab做直线运动，其运动轨迹如图中虚线所示，则下列判断正确的是（　　） A．油滴带正电 B．电场力水平向右 C．电场方向水平向右 D．电势能减少 【答案】C 【详解】A．若油滴带正电，油滴受向下的重力，垂直ab斜向左下方的洛伦兹力，无论电场力是水平向左还是向右，油滴受的三个力都不能平衡，不可能沿直线ab运动。若油滴带负电，油滴受向下的重力，垂直ab斜向右上方的洛伦兹力，电场力水平向左，则油滴受的三个力能平衡，则可沿ab做直线运动，故油滴带负电，故A错误； BC．油滴带负电，电场力水平向左，电场方向水平向右，故B错误，C正确； D．电场力做负功电势能增加，故D错误。 故选C。 【变式训练】如图所示，空间中存在一水平向左的匀强电场和一垂直纸面水平向里的匀强磁场。在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成夹角且处于竖直平面内。一质量为、带电量为的小球套在绝缘杆上。给小球一沿杆向下的初速度，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。已知重力加速度为，磁感应强度大小为，电场强度大小为，则大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球受竖直向下的重力，水平向左的电场力，还有垂直于斜杆向上的洛伦兹力，重力与电场力合成的合力为 小球恰好做匀速运动，故 故解得 故选D。 例2.如图所示，空间存在着垂直于纸面向外的匀强磁场和水平向右的匀强电场，一质子从点由静止释放，沿图示轨迹依次经过三点。已知两点在同一等势面上，不计质子重力，下列说法正确的是（     ） A．质子从到，电场力做的是正功 B．点的电势低于点的电势 C．质子从到，洛伦兹力做正功 D．质子在点所受的合力大于在点所受的合力 【答案】A 【详解】A．质子从到，电场力方向与位移方向夹角小于，因此电场力做正功，故A正确； B．电场线方向水平向右，沿电场线方向电势逐渐降低，由于点和点水平位置相同，因此点的电势等于点的电势，故B错误； C．洛伦兹力始终与质子的运动方向垂直，因此洛伦兹力不做功，故C错误； D．质子在点和点处速度为零，洛伦兹力为零，只受电场力，因此质子在点所受的合力等于在点所受的合力，故D错误。 故选A。 【变式训练】如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。在a点由静止释放一带正电的微粒，释放后微粒沿曲线acb运动，到达b点时速度为零，c点是曲线上离MN板最远的点。已知微粒的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，不计微粒所受空气阻力，则下列说法中正确的是（     ） A．微粒在a点时加速度方向竖直向上 B．微粒在c点时具有最大速度 C．微粒运动过程中的最大速率为 D．微粒到达b点后将沿原路径返回a点 【答案】B 【详解】由上极板带正电、下极板带负电可知，电场方向竖直向下，正微粒受到的电场力qE与重力mg均竖直向下；根据微粒向右偏转的轨迹可知，磁场方向垂直纸面向外。 A．微粒在点由静止释放，此时速度为零，所受洛伦兹力为零，根据牛顿第二定律有 解得 微粒的加速度方向竖直向下，故A错误； B．微粒运动过程中，磁场力始终与速度方向垂直，不做功。设微粒相对点竖直向下的位移为，根据动能定理有 点离MN板最远，即最大，因此微粒在点的动能最大、速度最大，故B正确； C．令水平向右的速度满足其对应的磁场力恰好与重力和电场力的合力平衡，则有 解得 将微粒的实际速度分解为水平向右的恒定速度与速度，即，重力、电场力和对应的磁场力相互平衡，微粒所受合力等效为对应的磁场力，因此的大小保持不变。在点有，故。当与同向时，微粒速度最大，有 选项所给最大速度缺少系数，故C错误； D．微粒到达点时速度为零，洛伦兹力再次为零，重力和电场力的合力仍竖直向下，因此微粒将从点向下运动；随后向下的速度产生水平向右的洛伦兹力，微粒将在点右侧形成新的相同轨迹，不会沿原路径返回点，故D错误。 故选B。 例3.如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场强度为，方向竖直向下，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。一质量为的带电微粒，在该场区内沿竖直平面做半径为的匀速圆周运动，已知重力加速度为，则可判断该微粒（　　） A．一定沿逆时针方向运动 B．一定是带电量为的正电荷 C．运动的速率一定为 D．运动的周期为 【答案】D 【详解】AB．带电微粒在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，则有，解得，小球带负电，小球的洛伦兹力始终指向圆心，根据左手定则小球沿顺时针方向运动，AB错误； C．粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由，解得，C错误； D．小球的周期，解得，D正确。 故选D。 【变式训练】如图所示，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从x轴上M点进入电场和磁场，射入时速度方向与x轴正方向夹角为，进入电场和磁场后恰能做匀速圆周运动，然后从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，M、N之间的距离为L，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小和方向。 (2)小球从M点进入时速度的大小。 【答案】(1)，竖直向上 (2) 【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，即 解得电场强度大小 方向竖直向上 （2）小球做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 由几何知识可知，小球的轨道半径 小球做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得小球的速度大小 一、单选题 1．如图，在气泡室中观察到从点发出两个电子和一个正电子，正电子与电子质量相同，电性相反。已知气泡室处于垂直于纸面的匀强磁场中，不计粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．轨迹1对应的粒子为正电子 C．轨迹1对应的粒子的速度越来越小 D．洛伦兹力对轨迹3对应的粒子做正功 【答案】C 【详解】AB．带电粒子在磁场中受洛伦兹力做圆周运动，轨迹1和2偏转方向相同，则初始所受洛伦兹力方向相同，均带负电，则轨迹3为正电子运动轨迹，由左手定则可知磁场方向垂直纸面向外，故AB错误； C．洛伦兹力提供向心力，代入数据可得，由图可知轨迹半径逐渐变小，所以速度逐渐变小，故C正确； D．洛伦兹力始终垂直于粒子速度方向，不做功，不改变动能，故D错误。 故选C。 2．如图，真空中一带正电的小球用绝缘轻绳悬于点，处于竖直向下的匀强磁场中。将小球从点由静止释放，小球运动轨迹的俯视示意图可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球从点由静止释放，初始阶段速度方向大致向右（指向点）。根据左手定则可知，洛伦兹力方向垂直速度指向里（即俯视图中连线的上方），轨迹向洛伦兹力方向偏转（即俯视图中向上弯曲），当小球运动到右侧最高点（点）后返回，速度方向大致向左，根据左手定则可知，洛伦兹力方向垂直速度指向外（即俯视图中连线的下方），且轨迹依然向洛伦兹力方向偏转（即俯视图中向下弯曲），综上所述，B选项图符合题意。 故选B。 3．一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向向右，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动，下列说法正确的是（     ） A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大 B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小 C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大 D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小 【答案】A 【详解】根据右手螺旋定则，水平向右的电流，在导线下方产生的磁场方向为垂直纸面向里。电子带负电，向右运动时，根据左手定则，可得电子受到的洛伦兹力方向向下，因此电子向下偏转；洛伦兹力不做功，电子速度大小保持不变，由洛伦兹力提供向心力 可得轨迹半径 电子向下偏转，离通电直导线越远，磁感应强度大小越小，因此逐渐变大。综上，电子向下偏转，运动半径逐渐变大。 故选A。 4．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸里.一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场.若将磁场的磁感应强度变为原来的4倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（     ） A．在b、n之间某点 B．在n、a之间某点 C．就从a点射出 D．在a、m中点 【答案】D 【详解】氢核在磁场中受到洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，即 其中为氢核电荷量，为氢核速度，为磁感应强度，为氢核质量，为轨迹半径。由此可得 当磁感应强度变为原来的倍时，可得新的轨迹半径 即轨迹半径变为原来的四分之一。由于轨迹半径变为原来的四分之一，且氢核从边的中点射入，根据几何关系，氢核将从在a、m中点射出磁场。 故选D。 5．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知。下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电荷 B．粒子做圆周运动的半径为R C．粒子的比荷为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【答案】D 【详解】A．粒子向上偏转，在A点受洛伦兹力向上，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误； B．粒子的运动轨迹如图所示 粒子射出磁场时速度偏转角为，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可得 解得粒子做圆周运动的半径为，故B错误； C．由洛伦兹力提供向心力可得 可得粒子的比荷为，故C错误； D．由几何关系可知，粒子在磁场中的运动时间为，故D正确。 故选D。 6．如图所示，a、b为水平粗糙绝缘桌面上两点，一根长直导线经a点的小孔竖直穿过桌面，导线中通有方向向下的电流I。一带正电小物块沿桌面运动，在P点时的速度大小为，方向由a指向b，小物块运动过程中电荷量不变，则小物块（　　）    A．沿直线运动且加速度越来越小 B．沿直线运动且加速度越来越大 C．沿曲线运动且加速度越来越小 D．沿曲线运动且加速度越来越大 【答案】A 【详解】由右手螺旋定则可知通电直导线产生的磁场在P点是垂直ab向外，由左手定则可知带正电的物体所受的洛伦兹力竖直向下，则物块所受的滑动摩擦力为 滑动摩擦力的方向与初速度相反，则物块向右做减速直线运动，而磁感应强度逐渐减小，则物块的加速度逐渐减小。 故选A。 7．如图所示，光滑绝缘直杆倾角为，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（　　） A．机械能减小 B．最大上滑位移为 C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大 【答案】B 【详解】A．小球运动过程中，受到竖直向下的重力、与杆垂直的洛伦兹力和弹力的作用，由于洛伦兹力和弹力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误； BC．小球上滑时，根据牛顿第二定律有 小球下滑时，根据牛顿第二定律有 所以小球上滑和下滑的加速度相等，即 则根据对称性可知，小球上滑的时间和下滑的时间相等；根据运动学公式可知，小球向上滑动的最大位移为，故B正确，C错误； D．小球向下滑动时受到竖直向下的重力、垂直杆向上的洛伦兹力以及与杆垂直的弹力，根据可知，当小球向下加速时，其受到的洛伦兹力逐渐增大，若小球回到出发点时，其受到的洛伦兹力仍小于其重力垂直杆方向的分力，则根据平衡条件可知，杆对小球弹力的方向一直垂直杆斜向上，且大小一直减小；若小球回到出发点之前的某一瞬间，小球受到的洛伦兹力就增大到等于小球重力垂直杆方向的分力，则此时杆的弹力减小为0，之后根据平衡条件可知，杆对小球弹力的方向将由垂直杆斜向上变成垂直杆斜向下，且大小将随着速度的增大而增大，所以下滑时小球受到杆弹力的大小可能一直减小，也可能先减小后增大，故D错误。 故选B。 8．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。带正电粒子以方向垂直于轴、大小为的速度从轴上的点射入电场中，粒子从轴上的点进入磁场，恰好垂直于轴射出磁场。已知、点到坐标原点的距离分别为、。粒子在磁场中运动的轨迹半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】粒子在电场中做类平抛运动，y方向做匀速运动有 可得​ 方向做匀加速运动，位移 Q点 方向的速度 粒子进入磁场时，速度与 轴夹角满足 根据粒子垂直 轴射出磁场，则圆心在 轴上，由几何关系可得 解得 故选B。 二、多选题 9．如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是下列选项中的（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A．带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，选项A正确； D．当洛伦兹力大于重力时，圆环受到摩擦力的作用，并且随着速度的减小而减小，圆环将做加速度逐渐减小的减速运动，最后做匀速直线运动，选项D正确； BC．如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用，且摩擦力越来越大，圆环将做加速度逐渐增大的减速运动，故BC错误。 故选AD。 10．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 11．如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为、，虚线为理想边界。现有一个质量为、电荷量为的电子以垂直于边界的速度由点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是（     ） A．电子的运动轨迹为 B．电子运动一周回到点所用的时间 C． D．电子在磁感应强度为的区域受到的磁场力始终不变 【答案】AB 【详解】A．由左手定则可知，带负电的电子由点射入磁场时所受的洛伦兹力的方向向上，所以轨迹为，故A正确； BC．电子在磁场中做匀速圆周运动，有 运动的周期为 解得， 由题图知 所以， 所以电子运动一周回到点所用的时间为，故B正确，C错误； D．电子在磁场中所受洛伦兹力始终与速度垂直，方向时刻改变，故D错误。 故选AB。 12．在一根足够长的竖直绝缘杆上，套着一个质量为、带电量为的小球，球与杆之间的动摩擦因数为。场强为的匀强电场和磁感应强度为的匀强磁场方向如图所示，小球由静止开始下落。则以下说法正确的是（　　） A．小球先做加速运动后做减速运动，最大加速度为 B．小球开始下落时的加速度大小为 C．只将电场反向，小球运动的最大速度为 D．只将电场反向，小球运动的最大速度为 【答案】BC 【详解】A．小球向下，产生洛伦兹力，由左手定则可知，洛伦兹力向右，水平方向 竖直方向，根据牛顿第二定律 可得，速度增大，则加速度增大，小球做加速度增大的加速运动 当速度增大到一定程度时，洛伦兹力大于电场力，支持力反向 同理可得，速度增大，则加速度减小，小球做加速度减小的加速运动 当时，速度达到最大值，此后小球做匀速运动 综上，小球的运动为先加速后匀速，没有减速过程，故A错误； B．小球开始下落时，洛伦兹力为0，水平方向，竖直方向由牛顿第二定律 解得，故B正确； CD．仅将电场反向后，电场力方向变为水平向右，洛伦兹力也水平向右，因此水平方向杆的弹力向左，大小为。 当小球加速度减为0时，速度达到最大，此时竖直方向受力平衡 整理得最大速度，C正确，D错误。 故选BC 。 13．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量大小为q的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若该粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转，用时为t1；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转，用时为t2。不考虑重力。下列说法正确的是（　　） A．该粒子带正电荷 B．该匀强磁场的磁感应强度可以表示为 C． D． 【答案】ABC 【详解】A．由左手定则可知，粒子带正电，故A正确； BCD．作出粒子的运动轨迹，设磁场半径为r，如图所示 可知， 又因为洛伦兹力提供向心力，有 可得 所以 又有 所以， 则 由上述可知，故BC正确，D错误。 故选ABC。 14．如图所示，A为带正电的小物块，B是一不带电的很长的绝缘木板（A、B间无电荷转移），A、B叠放于光滑的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉木板B，使A、B一起由静止开始运动，起初A､B无相对滑动，则之后运动的过程中：（  ） A．A对B的压力一直减小直到为零 B．A的速度先增加再不变 C．B一直做匀加速直线运动 D．A的加速度先不变再减小到零 【答案】ABD 【详解】AB．由题意知A、B一起由静止开始运动，因为A带正电，由左手定则可判断A所受洛伦兹力竖直向上，所以设A、B之间弹力为N，则： A、B一起由静止开始运动过程中，随着速度增加洛伦兹力增加，A、B之间弹力减小，最后到零，此时摩擦力为零，加速度为零，A做匀速直线运动，故A正确，B正确. CD．当A、B相对静止时A、B一起做匀加速直线运动，加速度为： 当A、B发生相对运动后，B的受力发生变化，B的加速度发生变化最终匀加速运动 A的加速度逐渐减小，最后洛伦兹力与重力平衡，A做匀速运动。 故C错误，D正确. 故选ABD. 15．如图所示，空间中存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、 带电荷量为e的电子从原点O沿y 轴正方向以速度 射出，带电粒子恰好经过点A（L， ），不计粒子的重力及空气阻力。则下列说法正确的是（     ） A．磁感应强度的大小 B．磁感应强度的大小 C．电子从原点O运动到A的时间为 D．电子从原点O运动到A 的时间为 【答案】AC 【详解】AB．设轨迹半径为R，磁感应强度为B，根据洛伦兹力提供向心力有结合几何关系 解得，，故A正确,B错误； CD．几何关系易得电子运动轨迹的圆心角，根据，故C正确，D错误。 故选AC。 16．质量m=0.1g、带有5×10−4C的电荷，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向如图所示。物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面（设斜面足够长，g取10m/s2）（　　） A．物体带正电 B．物体离开斜面时的速度为 C．物体在斜面上滑行的最大距离是1.2m D．物体在离开斜面之前做加速度减小的加速运动 【答案】BC 【详解】A．根据题意可知，物体要离开斜面，所以受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可知，物体带负电，故A错误； B．物体离开斜面时，垂直斜面方向根据平衡条件可得 可得此时物体的速度为，故B正确； CD．由以上分析可知，物体沿斜面方向的合力由重力的分力提供，所以物体离开斜面前沿斜面做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 根据运动学公式可得 解得物体在斜面上滑行的最大距离为，故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 17．如图所示，速度选择器两板间电压为U，相距为d，板间有垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场；在紧靠速度选择器右侧的圆形区域内，分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B未知，圆形磁场区域半径为R。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子在速度选择器中做匀速直线运动，从M点沿圆形磁场半径方向进入磁场，然后从N点射出，O为圆心，，粒子重力可忽略不计。求： (1)粒子在速度选择器中运动的速度大小； (2)圆形磁场区域的磁感应强度B的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在速度选择器中做直线运动，由力的平衡条件得 解得粒子在速度选择器中运动的速度大小为 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得粒子的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力得 解得圆形磁场区域的磁感应强度的大小为 18．2026年1月，中核集团中国原子能科学院自主研制的首台高能氢离子注入机成功出束，实现我国芯片关键装备技术自主突破。芯片掺杂工序中，正离子束通过可控匀强磁场完成轨迹偏转与精准聚焦，注入硅晶圆指定区域。如图所示，平面直角坐标系第一象限内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。一段长为的均匀半导体靶材沿轴水平放置，正离子以相同速度从点垂直轴射入第一象限，经磁场偏转后恰好垂直打在靶材的最左端，已知间距为，正离子的电荷量为、质量为，不计离子重力和离子间相互作用，。求： (1)正离子的入射速度的大小； (2)调节磁场磁感应强度大小，使正离子打在靶材的最右端，正离子在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 垂直轴射入的离子，垂直打在靶材最左端，根据几何关系可知离子在磁场中做匀速圆周运动的半径 根据 可得： （2）调节磁场磁感应强度大小，离子打在靶材的最右端，设离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，则 解得 设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆弧所对圆心角为，则 根据，可得 离子在磁场中运动的时间 离子在磁场中运动的周期 代入相应值可得 19.如图所示，匀强磁场宽，磁感应强度大小B＝1.67×10-3 T，方向垂直纸面向里，一质子以水平速度v垂直磁场边界从小孔O射入磁场，打到照相底片上的A点。已知A点距入射线方向上的O′点的距离AO′＝0.5 m，质子的质量m＝1.67×10-27 kg，带电荷量e＝1.6×10-19 C，不计质子的重力，π取3.14。求：（计算结果均保留两位有效数字） (1)质子射入磁场的速度v的大小； (2)质子从小孔O射入到A点所需的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）质子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系可得 解得轨迹半径 联立解得 （2）由几何关系，轨迹对应的圆心角满足 得 运动时间 代入化简得 20．如图所示，直角坐标系中，第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限内有方向垂直于坐标平面向外的相同的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从轴上的点（0，）以初速度垂直于轴射入电场，经轴上的点（2L，0）进入第四象限磁场，并垂直于轴进入第三象限。粒子重力不计。求： (1)第一象限内电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小和粒子在第四象限内运动的时间； (3)若想让粒子一进入第三象限就能做匀速直线运动，只需在第三象限内再加一个匀强电场即可，求该匀强电场的场强大小及方向。 【答案】(1) (2)， (3)，方向沿轴负方向 【详解】（1）设粒子在第一象限的加速度为，运动时间为，有 ， 其中 可得 （2）设粒子进入磁场时，速度方向与轴的夹角为，粒子进入磁场时的速度为，有，可得     ，可得     粒子进入第四象限的磁场后做匀速圆周运动，如图，设圆周运动的半径为，有     根据几何关系有     可得     粒子在磁场中做圆周运动的周期为     由几何关系可知在第四象限磁场中转过的圆心角，所以在第四象限内运动的时间   （3）若要使粒子在第三象限内做匀速直线运动，要使静电力与洛伦兹力平衡，即     所以场强，方向沿轴负方向 。 21．如图所示，平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为、带电荷量为（）的带电粒子以初速度从轴上（，）点沿轴正方向开始运动，经过电场后从轴上的点（，）进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第2次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过轴的横坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中仅受电场力的作用做类平抛运动，由P到Q，由牛顿第二定律可得 竖直方向有     水平方向有 联立解得， （2）粒子在Q点沿方向的分速度大小为 则粒子在Q点的速度大小为 设粒子在Q点的速度与x轴正方向夹角为，则有 可得 在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得 粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限，根据几何关系可得 联立解得， （3）粒子第2次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限的轨迹如图所示 根据几何关系结合对称性可知，粒子第2次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过轴的横坐标为 解得 14 学科网（北京）股份有限公司 $新高三暑假复习讲义 2027届高三一轮复习讲练测 第十九讲 磁场对运动电荷的作用 一、洛伦兹力的特点及应用 1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：左手定则： 掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向。 (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。 3．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°) (2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°) (3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。 4．洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力始终与速度方向垂直。 (2)洛伦兹力不做功，只改变速度方向。 易错提醒： 1只有运动电荷在磁场中才有可能受到洛伦兹力作用，静止电荷在磁场中不受洛伦兹力作用。 2有关洛伦兹力的方向的理解 ①由于电荷有正负之分，故四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。 ②洛伦兹力垂直于v和B所决定的平面。 ③洛伦兹力始终和粒子的运动方向垂直。 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。 2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。 3．半径和周期公式：(v⊥B) 4．带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝·T ②t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ＜180°，φ＝2α；φ＞180°，φ＝360°－2α 规律方法　(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法 考点一：对洛伦兹力的理解 例1.平面内存在垂直平面向外的匀强磁场，一电子垂直磁场射入，不计空气阻力。如图所示，则电子偏转的轨迹可能是（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式训练1】地磁场是地球孕育生命的必要条件，它保护生物免受宇宙高能粒子射线的伤害，现有一束正电粒子正对于赤道表面射入，已知在赤道上空，地磁场的水平分量方向为从南往北，则在地磁场作用下粒子的偏转方向为（     ） A．向东 B．向西 C．向北 D．向南 【变式训练2】在如图所示的四幅图中，对通电直导线所受安培力F或带电粒子所受洛伦兹力F洛的方向判断正确的是（     ） A． B． C． D． 例2.如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的滑块从斜面的顶端由静止释放。重力加速度为，滑块滑到斜面某位置时，恰好不受斜面的弹力，则在该位置滑块的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】如图，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带正电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点所受洛伦兹力的方向与导线垂直 B．小球在a、b之间做往复运动 C．小球所受洛伦兹力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 例3.如图所示，MN表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿e→d→c→b→a方向运动 C．穿越金属板后，轨迹半径变大 D．穿越金属板后，所受洛伦兹力变大 【变式训练】如图所示，带正电物体（视为点电荷）静置于光滑绝缘水平面（足够长）上，空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场。某时刻将水平向右的恒力作用在该物体上，之后该物体会（    ） A．先做加速度减小的加速运动后做匀加速直线运动 B．先做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动 C．先做加速度减小的加速运动后做减速运动直至静止 D．做匀加速直线运动 考点二：带电粒子在磁场中的运动 例1.如图所示，在一个真空环境中，有一条载有恒定电流I的长直导线，电流方向竖直向下，初速度为的电子从直导线右侧竖直向上运动，不考虑地磁场的影响，电子重力忽略不计，电子将（　　） A．沿路径M运动，速度大小变大，远离导线过程中半径变大 B．沿路径M运动，速度大小变小，远离导线过程中半径变大 C．沿路径N运动，速度大小变大，靠近导线过程中半径变小 D．沿路径N运动，速度大小不变，靠近导线过程中半径变小 例2.如图所示为圆柱形区域的横截面，在没有磁场的情况下带电粒子（不计重力）以初速度v0沿截面直径方向从左至右入射，穿过此区域的时间为t。在该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，根据上述条件下列说法正确的是（     ） A．该粒子带负电 B．带电粒子在磁场中运动的时间为 C．带电粒子在磁场中运动的半径为 D．带电粒子的比荷为 例3.如图所示，一束电子（不计重力）以不同速率沿垂直PQ方向入射横截面为三角形的匀强磁场。下列判断正确的是（     ） A．轨迹不重合的电子，其在磁场中运动的时间可能相同 B．速率越小的电子，其在磁场中运动的时间一定越短 C．轨迹越长的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 D．轨迹所对应圆心角越大的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 例4.如图所示，一束质量均为m、电荷量为q的带负电粒子，从x轴上的P点以不同的速率射入第一象限内的匀强磁场中，速度方向均与x轴成60°角。已知其中一个速度大小为v的粒子甲恰好垂直于y轴射出第一象限，OP＝a，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子甲穿过第一象限所用的时间； (3)带电粒子在第一象限内运动的最长时间。 例5.如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电的粒子垂直于磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直磁场边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间； (2)若粒子恰好未从EF边界射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间。 考点三：带电粒子在组合场中的运动 1．分析思路 1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图． 2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． 3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理． 2．常见粒子的运动及解题方法 1）处于电场中 ①匀变速直线运动：利用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理求解 ②类平抛（斜抛）运动：利用运动的分解、功能关系求解 2）处于磁场中 ①匀速直线运动“运用运动学公式求解 ②匀速圆周运动：利用几何知识、圆周运动、牛顿第二定律求解 ③螺旋运动：分解成直线运动和匀速圆周运动求解 例1.如图所示，在第一、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；第二、三象限内存在沿着x轴正方向的匀强电场E（大小未知）。一质量为m、带电量为q（q>0）的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴负方向夹角，从N（0，y0）点射出磁场进入电场，又从M点返回磁场。忽略粒子重力及磁场边缘效应。求： (1)粒子射入磁场的速度大小v； (2)粒子在磁场中首次从M点运动到N点的时间t1； (3)粒子在电场中首次从N点运动到M点的时间t2和匀强电场的场强大小E。 【变式训练】如图所示，一质量为m、电荷量为q的粒子，从x轴上的P（0，L）点以速度v0垂直y轴射入第一象限内的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。粒子恰好垂直于x轴进入第四象限内的匀强电场中，电场强度大小为E、方向沿y轴负方向。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)带电粒子在电场中速度第一次减为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过x轴所需要的时间t。 例2. 如图，在直角坐标系中，第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。一带正电的粒子，其比荷为k，从（，）点以沿x轴正方向、大小为v0的初速度开始运动，并恰好从坐标原点O进入第四象限。粒子在第四象限内运动至最低点Q（图中未画出）时，到x轴的距离为d、不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)粒子从P点运动到Q点的时间t。 【变式训练】如图所示，两平行金属板间距为，电势差为，板间电场可视为匀强电场；金属板上方有一磁感应强度为的匀强磁场。电荷量为、质量为的粒子，由静止开始从正极板出发，经电场加速后射出，从点进入磁场后做匀速圆周运动，从点离开磁场。忽略重力的影响。求： (1)粒子从电场射出时速度的大小； (2)、两点间距的大小； (3)粒子在磁场中运动的时间。 考点四：带电粒子在叠加场中的运动 （1）带电粒子在复合场中做直线运动 ①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解.   ②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解. （2）带电粒子在复合场中做曲线运动   ①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解.   ②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解. 例1.空间存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度沿水平方向（未标明方向），磁场垂直纸面向外，一带电油滴从a点以某速度进入复合场中，正好沿ab做直线运动，其运动轨迹如图中虚线所示，则下列判断正确的是（　　） A．油滴带正电 B．电场力水平向右 C．电场方向水平向右 D．电势能减少 【变式训练】如图所示，空间中存在一水平向左的匀强电场和一垂直纸面水平向里的匀强磁场。在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成夹角且处于竖直平面内。一质量为、带电量为的小球套在绝缘杆上。给小球一沿杆向下的初速度，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。已知重力加速度为，磁感应强度大小为，电场强度大小为，则大小为（　　） A． B． C． D． 例2.如图所示，空间存在着垂直于纸面向外的匀强磁场和水平向右的匀强电场，一质子从点由静止释放，沿图示轨迹依次经过三点。已知两点在同一等势面上，不计质子重力，下列说法正确的是（     ） A．质子从到，电场力做的是正功 B．点的电势低于点的电势 C．质子从到，洛伦兹力做正功 D．质子在点所受的合力大于在点所受的合力 【变式训练】如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。在a点由静止释放一带正电的微粒，释放后微粒沿曲线acb运动，到达b点时速度为零，c点是曲线上离MN板最远的点。已知微粒的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，不计微粒所受空气阻力，则下列说法中正确的是（     ） A．微粒在a点时加速度方向竖直向上 B．微粒在c点时具有最大速度 C．微粒运动过程中的最大速率为 D．微粒到达b点后将沿原路径返回a点 例3.如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场强度为，方向竖直向下，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。一质量为的带电微粒，在该场区内沿竖直平面做半径为的匀速圆周运动，已知重力加速度为，则可判断该微粒（　　） A．一定沿逆时针方向运动 B．一定是带电量为的正电荷 C．运动的速率一定为 D．运动的周期为 【变式训练】如图所示，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从x轴上M点进入电场和磁场，射入时速度方向与x轴正方向夹角为，进入电场和磁场后恰能做匀速圆周运动，然后从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，M、N之间的距离为L，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小和方向。 (2)小球从M点进入时速度的大小。 一、单选题 1．如图，在气泡室中观察到从点发出两个电子和一个正电子，正电子与电子质量相同，电性相反。已知气泡室处于垂直于纸面的匀强磁场中，不计粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．轨迹1对应的粒子为正电子 C．轨迹1对应的粒子的速度越来越小 D．洛伦兹力对轨迹3对应的粒子做正功 2．如图，真空中一带正电的小球用绝缘轻绳悬于点，处于竖直向下的匀强磁场中。将小球从点由静止释放，小球运动轨迹的俯视示意图可能是（     ） A． B． C． D． 3．一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向向右，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动，下列说法正确的是（     ） A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大 B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小 C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大 D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小 4．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸里.一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场.若将磁场的磁感应强度变为原来的4倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（     ） A．在b、n之间某点 B．在n、a之间某点 C．就从a点射出 D．在a、m中点 5．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知。下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电荷 B．粒子做圆周运动的半径为R C．粒子的比荷为 D．粒子在磁场中的运动时间为 6．如图所示，a、b为水平粗糙绝缘桌面上两点，一根长直导线经a点的小孔竖直穿过桌面，导线中通有方向向下的电流I。一带正电小物块沿桌面运动，在P点时的速度大小为，方向由a指向b，小物块运动过程中电荷量不变，则小物块（　　）    A．沿直线运动且加速度越来越小 B．沿直线运动且加速度越来越大 C．沿曲线运动且加速度越来越小 D．沿曲线运动且加速度越来越大 7．如图所示，光滑绝缘直杆倾角为，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（　　） A．机械能减小 B．最大上滑位移为 C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大 8．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。带正电粒子以方向垂直于轴、大小为的速度从轴上的点射入电场中，粒子从轴上的点进入磁场，恰好垂直于轴射出磁场。已知、点到坐标原点的距离分别为、。粒子在磁场中运动的轨迹半径为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是下列选项中的（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 11．如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为、，虚线为理想边界。现有一个质量为、电荷量为的电子以垂直于边界的速度由点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是（     ） A．电子的运动轨迹为 B．电子运动一周回到点所用的时间 C． D．电子在磁感应强度为的区域受到的磁场力始终不变 12．在一根足够长的竖直绝缘杆上，套着一个质量为、带电量为的小球，球与杆之间的动摩擦因数为。场强为的匀强电场和磁感应强度为的匀强磁场方向如图所示，小球由静止开始下落。则以下说法正确的是（　　） A．小球先做加速运动后做减速运动，最大加速度为 B．小球开始下落时的加速度大小为 C．只将电场反向，小球运动的最大速度为 D．只将电场反向，小球运动的最大速度为 13．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量大小为q的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若该粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转，用时为t1；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转，用时为t2。不考虑重力。下列说法正确的是（　　） A．该粒子带正电荷 B．该匀强磁场的磁感应强度可以表示为 C． D． 14．如图所示，A为带正电的小物块，B是一不带电的很长的绝缘木板（A、B间无电荷转移），A、B叠放于光滑的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉木板B，使A、B一起由静止开始运动，起初A､B无相对滑动，则之后运动的过程中：（  ） A．A对B的压力一直减小直到为零 B．A的速度先增加再不变 C．B一直做匀加速直线运动 D．A的加速度先不变再减小到零 15．如图所示，空间中存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、 带电荷量为e的电子从原点O沿y 轴正方向以速度 射出，带电粒子恰好经过点A（L， ），不计粒子的重力及空气阻力。则下列说法正确的是（     ） A．磁感应强度的大小 B．磁感应强度的大小 C．电子从原点O运动到A的时间为 D．电子从原点O运动到A 的时间为 16．质量m=0.1g、带有5×10−4C的电荷，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向如图所示。物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面（设斜面足够长，g取10m/s2）（　　） A．物体带正电 B．物体离开斜面时的速度为 C．物体在斜面上滑行的最大距离是1.2m D．物体在离开斜面之前做加速度减小的加速运动 三、解答题 17．如图所示，速度选择器两板间电压为U，相距为d，板间有垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场；在紧靠速度选择器右侧的圆形区域内，分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B未知，圆形磁场区域半径为R。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子在速度选择器中做匀速直线运动，从M点沿圆形磁场半径方向进入磁场，然后从N点射出，O为圆心，，粒子重力可忽略不计。求： (1)粒子在速度选择器中运动的速度大小； (2)圆形磁场区域的磁感应强度B的大小。 18．2026年1月，中核集团中国原子能科学院自主研制的首台高能氢离子注入机成功出束，实现我国芯片关键装备技术自主突破。芯片掺杂工序中，正离子束通过可控匀强磁场完成轨迹偏转与精准聚焦，注入硅晶圆指定区域。如图所示，平面直角坐标系第一象限内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。一段长为的均匀半导体靶材沿轴水平放置，正离子以相同速度从点垂直轴射入第一象限，经磁场偏转后恰好垂直打在靶材的最左端，已知间距为，正离子的电荷量为、质量为，不计离子重力和离子间相互作用，。求： (1)正离子的入射速度的大小； (2)调节磁场磁感应强度大小，使正离子打在靶材的最右端，正离子在磁场中运动的时间。 19.如图所示，匀强磁场宽，磁感应强度大小B＝1.67×10-3 T，方向垂直纸面向里，一质子以水平速度v垂直磁场边界从小孔O射入磁场，打到照相底片上的A点。已知A点距入射线方向上的O′点的距离AO′＝0.5 m，质子的质量m＝1.67×10-27 kg，带电荷量e＝1.6×10-19 C，不计质子的重力，π取3.14。求：（计算结果均保留两位有效数字） (1)质子射入磁场的速度v的大小； (2)质子从小孔O射入到A点所需的时间。 20．如图所示，直角坐标系中，第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限内有方向垂直于坐标平面向外的相同的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从轴上的点（0，）以初速度垂直于轴射入电场，经轴上的点（2L，0）进入第四象限磁场，并垂直于轴进入第三象限。粒子重力不计。求： (1)第一象限内电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小和粒子在第四象限内运动的时间； (3)若想让粒子一进入第三象限就能做匀速直线运动，只需在第三象限内再加一个匀强电场即可，求该匀强电场的场强大小及方向。 21．如图所示，平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为、带电荷量为（）的带电粒子以初速度从轴上（，）点沿轴正方向开始运动，经过电场后从轴上的点（，）进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第2次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过轴的横坐标。 14 学科网（北京）股份有限公司 $