精品解析：河南省郑州市第七初级中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷

2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（ ） A. 小于12.5米 B. 大于12.5米 C. 等于12.5米 D. 大于等于12.5米 8. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程有增根，则a的值是________． 12. 若，，则______． 13. 用反证法证明“”时，首先应假设__________． 14. 如图，在平行四边形中，，，为对角线，若，则的长度为_____． 15. 如图，在中，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）画出平移后的，使得C点的对应点是点． （2）画出关于点O成中心对称的． （3）点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 18. 在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题． （1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； （2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； （3）请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 19. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 20. 某水果店购进两个品种的西瓜，其中A品种皮薄味甜，B品种个大沙瓤，每箱A品种西瓜的价格是B品种的倍．用900元购进A品种的箱数比购进B品种的箱数少3箱． （1）求A、B两种西瓜每箱的价格． （2）若该水果店计划购进这两种西瓜共50箱，且A品种西瓜的箱数不少于B品种的一半，选择哪种购买方案，使得总花费最少，最少花费为多少元？ 21. 【问题情境】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：． 证明： ，． （1）比较大小： ． 【问题探究】 （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【深入研究】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 22. 综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】A. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 若，则下列各式中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次分析各项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据最简分式的定义，即分子分母不含公因式的分式，对各选项化简判断即可得到结果． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式是最简分式， 对A选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对B选项：分子为，分母为，分子分母没有公因式，是最简分式； 对C选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对D选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式. 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意； B、，属于因式分解，故B符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，属于整式乘法，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 5. 一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 6. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 7. 如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（ ） A. 小于12.5米 B. 大于12.5米 C. 等于12.5米 D. 大于等于12.5米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 8. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 9. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将平移，使点与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 10. 已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的定义，求出两个一次函数相等时的的值，再分情况得到的表达式，结合一次函数的增减性得到的取值范围，即可求出最小值． 【详解】解：由题意，令，解得， ， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而增大， 当时，此时， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而减小， 当时，此时， 综上，，因此的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程有增根，则a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将方程转化为整式方程，根据方程有增根得到，进而求出的值，代入整式方程，求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入整式方程，得：， ∴； 故答案为：1． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 又，， 原式． 13. 用反证法证明“”时，首先应假设__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法证明“”，则与相反的全部结果就为，据此即可作答． 【详解】解：∵与相反的全部结果就为 ∴用反证法证明“”时，首先应假设 故答案为： 14. 如图，在平行四边形中，，，为对角线，若，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点E，由平行四边形的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交的延长线于点E，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先由中算出，分点在上方、下方两种情况，均先由旋转得求出，再由的垂直平分线得推出，接着结合图形用角的和差表示出，列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在旋转过程中，当，，三点共线时，分两种情况讨论： ①当点在上方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得； ②当点在下方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； 综上，当，，三点共线时，的度数为或． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）， （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）画出平移后的，使得C点的对应点是点． （2）画出关于点O成中心对称的． （3）点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）如图：即为所求． （2）如图：即为所求． （3）如图：点F即为所求，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由C点的对应点是点可知：将向右移动一个单位、再向上平移两个单位得到，据此作图即可； （2）先利用中心对称的性质求得的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求；然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求， ∴的最小值是， ∴的最小值为，即． 18. 在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题． （1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； （2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； （3）请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 【答案】（1） 正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由如下： 正六边形的内角和为：， 正六边形的每一个内角为：， ， 正六边形能镶嵌成一个平面图形； （2） 同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，理由如下： 正八边形的内角和为：， 正八边形的每一个内角为：， ， 同时用块正方形和块正八边形能镶嵌成一个平面图形； （3） 存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，验证： 正方形的每个内角为， 正五边形的内角和为：， 正五边形的每一个内角为：， 正二十边形的内角和为：， 正二十边形的每一个内角为：， ， 存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，此时该平面图形由块正二十边形、块正五边形、块正方形构成． 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的内角和为是解此题的关键． （1）先求出正六边形的内角和，再求出每一个内角的度数，用除以内角的度数，看是否能够除尽，由此即可得出答案； （2）正方形的每个内角为，求出正八边形的每一个内角为，再结合，即可得出答案； （3）求出正方形的每个内角为，正五边形的每一个内角为，正二十变形的每一个内角为，由，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 【答案】 （1）证明：是的高， ， ， 又是公共边， 即是等腰三角形． （2）解：点在的角平分线上． 理由如下： ， ， ， ， 又， 点在的角平分线上． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题． （2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到 20. 某水果店购进两个品种的西瓜，其中A品种皮薄味甜，B品种个大沙瓤，每箱A品种西瓜的价格是B品种的倍．用900元购进A品种的箱数比购进B品种的箱数少3箱． （1）求A、B两种西瓜每箱的价格． （2）若该水果店计划购进这两种西瓜共50箱，且A品种西瓜的箱数不少于B品种的一半，选择哪种购买方案，使得总花费最少，最少花费为多少元？ 【答案】（1）A品种西瓜每箱的价格为150元，B品种西瓜每箱的价格为100元 （2）选择购买A品种西瓜17箱，购买B品种西瓜33箱，使得总花费最少，最少花费为5850元． 【解析】 【分析】（1）设B品种西瓜每箱的价格为x元，则A品种西瓜每箱的价格为元，由题意可得， ，解方程即可； （2）设购买A品种西瓜a箱，则购买B品种西瓜箱，总花费w元，由题意可得， ，求出a的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设B品种西瓜每箱的价格为x元，则A品种西瓜每箱的价格为元， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A品种西瓜每箱的价格为150元，B品种西瓜每箱的价格为100元； 【小问2详解】 解：设购买A品种西瓜a箱，则购买B品种西瓜箱，总花费w元， 由题意可得， ， ∴w随a的增大而增大， 根据题意，a应满足据∵ ， 解得， ∵a为整数， ∴当时，w取得最小值，最小值， 此时． 答：选择购买A品种西瓜17箱，购买B品种西瓜33箱，使得总花费最少，最少花费为5850元． 21. 【问题情境】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：． 证明： ，． （1）比较大小： ． 【问题探究】 （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【深入研究】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【答案】（1）≥；（2）；（3）当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同． 【解析】 【分析】（1）计算，问题得解； （2）分别用含m式子表示出、，再用得到含m的式子，根据m为正整数，即可判断出＞0，问题得解； （3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，分别表示出A、B两种方案费用，用A方案费用减去B方案费用，根据题意分别得到m取值不同，两方案费用的差的符号，即可确定如何选择方案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：≥； （2）∵，， ∴， ∵为正整数， ∴＞0， ∴＞0， ∴； （3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，则A方案游泳总费用为0.65xm元；B方案游泳总费用为x+0.6x（m-1）=0.6xm+0.4x（元）， 0.65xm-（0.6xm+0.4x）=0.05xm-0.4x， 由题意得x＞0， ∴当0.05xm-0.4x＞0时，即m＞8，此时应选择B方案； 当0.05xm-0.4x＜0时，即m＜8，此时应选择A方案； 当0.05xm-0.4x=0时，即m=8，两种方案费用相同． 答：当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同． 【点睛】本题为创新型题目，考查了因式分解，整式的计算，解不等式等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，并理解“作差法”依据是解题关键． 22. 综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）； （2）①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②； （3）或 【解析】 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①略 ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $