河南省郑州市第七初级中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年八年级期末数学试卷，通过选择（10题30分）、填空（5题15分）、解答（7题55分）覆盖几何与代数核心知识，以跷跷板、游泳方案等现实情境及图形旋转、平移等动态问题，考查数学眼光、思维与语言，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|中心对称图形、不等式性质、因式分解、多边形内角和|结合云梯（直角三角形中点）、函数图像交点等情境，考查几何直观与抽象能力| |填空题|5题15分|分式增根、因式分解应用、反证法、平行四边形计算、旋转动态问题|设置旋转角度探究、反证法假设等，体现推理意识| |解答题|7题55分|分式化简、图形变换、平面镶嵌、等腰三角形证明、方案优化、动态几何操作|综合题如平面镶嵌（正多边形组合）、游泳方案（模型意识）、旋转重叠等腰三角形（创新意识），覆盖基础到创新应用|

2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若m＞n，则下列各式中错误的是（　　） A．m﹣5＞n﹣5 B．6m＞6n C． D．m3＞n3 3．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x 5．（3分）一个凸多边形的内角和等于外角和的2.5倍，则这个多边形的边数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（3分）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E，F分别为AC，AB的中点）．若支撑杆EF＝36cm，则点C距离地面的最大高度BC为（　　） A．84cm B．72cm C．60cm D．55cm 7．（3分）如图，一架施工云梯AB靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根O的距离为7米，云梯顶端B到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台M，连接OM，现将云梯的底端A向外移动到A'处，则OM的长将（　　） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 8．（3分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点B的坐标为（﹣1，﹣2），点C的坐标为（﹣4，﹣1）．将Rt△ABC平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（　　） A．（0，3） B．（1，2） C．（1，3） D．（4，3） 10．（3分）已知max{a，b}定义为：．例如max{2，3}＝3，若关于x的函数y＝max{﹣x+5，x+1}，则y的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）关于x的方程有增根，则m的值为 　 　 ． 12．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2＝　 　 ． 13．（3分）用反证法证明“x＜3”时，首先应假设 　 　 ． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝135°，，AC为对角线，若∠BAC＝30°，则AB的长度为　 　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝60°，将边AC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段CD，CD的垂直平分线m交直线BC于点E，在旋转过程中，当A，D，E三点共线时，α的度数为　 　 ． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（7分）小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是　 　 ，小红解法的依据是　 　 ． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“﹣2，1，2”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 17．（7分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）画出△ABC平移后的△A1B1C1，使得C点的对应点是C1点． （2）画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2． （3）点E、F是直线l上的动点，连接EF，若，当C1E+EF+FA2最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出C1E+EF+FA2的最小值． 18．（7分）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． （1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由． （2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由． （3）请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含一个正五边形）镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 19．（8分）如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 20．（8分）某水果店购进两个品种的西瓜，其中A品种皮薄味甜，B品种个大沙瓤，每箱A品种西瓜的价格是B品种的1.5倍．用900元购进A品种的箱数比购进B品种的箱数少3箱． （1）求A、B两种西瓜每箱的价格． （2）若该水果店计划购进这两种西瓜共50箱，且A品种西瓜的箱数不少于B品种的一半，选择哪种购买方案，使得总花费最少，最少花费为多少元？ 21．（8分）【问题情境】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＝0，则x＝y；若x﹣y＜0，则x＜y． 例：已知m＝a2+ab，n＝3ab﹣b2，其中a≠b．求证：m＞n． 证明：m﹣n＝a2+ab﹣3ab+b2＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2． ∵a≠b， ∴（a﹣b）2＞0． ∴m＞n． （1）比较大小：x2+1 　 　 2x． 【问题探究】 （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为S1、S2．试比较S1、S2的大小关系． 【深入研究】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打六五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 22．（10分）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示． ①求证：四边形AMDN是平行四边形； ②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为　 　 ． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 河南省郑州市第七初级中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 1、 选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C B C D C D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．1． 12．6． 13．x≥3． 14．． 15．40°或160°． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．解：（1）观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：A，D； （2）选择小红解法， 原式•• ； 当x为2，﹣2时，原式无意义， 当x＝1时，原式2． 17．（1）由C点的对应点是C1点可知：将△ABC向右移动一个单位、再向上平移两个单位得到△A1B1C1，据此作图，如图：△A1B1C1即为所求． （2）先利用中心对称的性质求得A、B、C的对应点，然后顺次连接，如图：△A2B2C2即为所求． （3）如图：将点C1向右移动一个单位、向上移动一个单位得到C3，则，连接C3A2与直线l的交点F即为所求， ∴C1E+FA2的最小值是， ∴C1E+EF+FA2的最小值为，即． 18．解：（1）正六边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： ∵正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°， ∴正六边形的每一个内角为：720°÷6＝120°， ∵360°÷120°＝3， ∴正六边形能镶嵌成一个平面图形； （2）同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： ∵正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°， ∴正八边形的每一个内角为：1080°÷8＝135°， ∵135°×2+90°＝360°， ∴同时用1块正方形和2块正八边形能镶嵌成一个平面图形； （3）存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含一个正五边形） 镶嵌成的平面图形， 理由如下： 正方形的每个内角为90°， ∵正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°， ∴正五边形的每一个内角为：540°÷5＝108°， ∵正二十边形的内角和为：（20﹣2）×180°＝3240°， ∴正二十边形的每一个内角为：3240°÷20＝162°， ∵162°+108°+90°＝360°， ∴存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含一个正五边形） 镶嵌成的平面图形，此时该平面图形由1块正二十边形、1块正五边形、1块正方形构成． 19．（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， 在△BCE和△CBD中， ， ∴△BCE≌△CBD（AAS）， ∴∠DBC＝∠ECB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：点O在∠BAC的平分线上．理由如下： 如图，连接AO， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴点O在∠BAC的平分线上． 20．解：（1）设B品种西瓜每箱的价格为x元，则A品种西瓜每箱的价格为1.5x元， 由题意可得，3， 解得x＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解， ∴1.5x＝150， 答：A品种西瓜每箱的价格为150元，B品种西瓜每箱的价格为100元； （2）设购买A品种西瓜a箱，则购买B品种西瓜（50﹣a）箱，总花费w元， 由题意可得，w＝150a+100（50﹣a）＝50a+5000， ∴w随a的增大而增大， ∵A品种西瓜的箱数不少于B品种的一半， ∴a（50﹣a）， 解得a≥16， ∵a为整数， ∴当a＝17时，w取得最小值，此时w＝5850，50﹣a＝43， 答：选择购买A品种西瓜17箱，购买B品种西瓜43箱，使得总花费最少，最少花费为5850元． 21．解：（1）∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0， ∴x2+1≥2x， 故答案为：≥； （2）S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7， S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8， S1﹣S2 ＝m2+8m+7﹣（m2+6m+8） ＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8 ＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴m≥1， ∴2m≥2， ∴2m﹣1≥1＞0， ∴S1＞S2； （3）设原价为a（a＞0）元，游泳x次， 则A方案的费用＝ax•65%＝0.65ax； B方案的费用＝a+a（x﹣1）•60%＝0.6ax+0.4a； ∵0.65ax﹣（0.6ax+0.4a）＝0.05ax﹣0.4a， ∴当0.05ax﹣0.4a＞0时，即x＞8时，0.65ax＞0.6ax+0.4a； 当0.05ax﹣0.4a＝0时，即x＝8时，0.65ax＝0.6ax+0.4a； 当0.05ax﹣0.4a＜0时，即x＜8时，0.65ax＜0.6ax+0.4a； ∴当游泳次数多于8次时，选择B方案； 当游泳次数等于8次时，选择A，B方案都可以； 当游泳次数少于8次时，选择A方案． 22．解：（1）根据题意，由30°锐角直角三角形的性质可得： AB＝DE＝2×3＝6，BC＝EF＝33． ∴四边形ABCE的周长为：AB+DE+BC+EF＝2（6+3）＝12+6.． （2）①证明：∵平移前，∠EFD＝∠ACB＝90°，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴EF∥BC， ∴∠B＝∠FAB， ∵∠B＝∠E， ∴AB∥DE， 根据平移的性质，AC∥DF， ∴四边形AMDN为平行四边形． ②根据题意可得AN和AM是△EFD的中位线，则DF＝2AN，DE＝2AM， 由平行线四边形的性质，四边形AMDN的周长为：2AN+2AM＝DF+DE＝3+6＝9． 故答案为：9． （3）如图，当△DEF顺时针旋转60°时位于△D1E1F；当△DEF顺时针旋转240°时位于△D2E2F． 当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重叠部分为△AD1G． ∵AB∥DF， ∴∠AD1F＝∠D1FD＝60°． ∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AD1G为等边三角形，符合题意． 当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重叠部分为△PQC． ∵∠PQC＝∠AQE1＝∠BAC﹣∠D1E1F＝30°＝∠PCQ， ∴△PQC为等腰三角形，符合题意． 故旋转角的度数为60°或240°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $