精品解析：河南省郑州市河南省实验中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025（下）期末考试 八年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、从左到右的变形不是把多项式变成几个整式的乘积形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不是把多项式变成几个整式的乘积形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点 B. 三角形的三边垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高线的交点 D. 三角形的三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 4. 解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴写出不等式组的解集即可得． 【详解】由数轴图可知，不等式组的解集为， 则该不等式组是， 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 5. 如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的相关计算问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于E，根据角平分线的性质得，再根据求解即可． 【详解】解：过点作于， ，平分， ， ，， ， 点到的距离是， 故选：A． 6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被7整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 8. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形．故A不符合题意； ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形．故B不符合题意； C选项中由，不能得出， ∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形．故D不符合题意； 故选：C． 9. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 10. 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒． A. 2或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒个单位，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于的一元一次不等式，则的值为_____________________． 【答案】-2 【解析】 【分析】一元一次不等式即为含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，据此即可确定m的值. 【详解】解：由题意可得 解得 因为 解得 所以 故答案为-2 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，准确理解定义中“一元”与“一次”的含义是解题的关键. 12. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此， 故答案为：． 13. 若为完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．的首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的积的2倍． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得； 故答案为：． 14. 如图所示的网格是正方形网格，是网格线的交点，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，如图所示，令正方形网格的边长为1，先在网格中由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的判定与性质即可得到答案．熟练掌握网格中勾股定理求线段长及勾股定理的逆定理的运用是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 令正方形网格的边长为1， ， 即，， 是等腰直角三角形，则， 故答案为：． 15. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，______． 【答案】或##8或4 【解析】 【分析】先根据为直角三角形进行分类讨论：当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出，进而求出，长度即可；当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出，长度就解决了． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 如图，当时， ∵，是等边三角形，点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的基本规律，熟练掌握平移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）x 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的化简，熟记解不等式组的步骤与分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． （1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定其解集的公共部分即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得答案． 【详解】解：（1） 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集是：； （2） 17. 如图，已知，将平移得到，且中任意一点经过平移后的对应点为． （1）画出，并直接写出点、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），，，图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作图——平移变换，熟知图形平移性质是解答此题的关键． （1）由题意得是由向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度后得到的，即可得出答案； （2）利用割补法即可得出的面积，等于底分别为1、2，高为3的梯形面积减去两个直角边分别为1、2的直角三角形面积． 【小问1详解】 解：∵中任意一点经过平移后的对应点为， ∴向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 如图，即为所求． 由图可得，，，． 【小问2详解】 解：的面积． 故的面积为． 18. 已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，掌握等边对等角． （1）由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长； （2）由等腰三角形的性质推出， ， 即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 19. “字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； （1）请用此方法拆分________； （2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； （3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 【答案】（1） （2），见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的运算和乘法公式．正确得到等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． （3）根据题意画出图形即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 以此类推，可知第2024个等式： 【小问2详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， ∴成立． 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，则_____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，进而可证四边形是平行四边形． （2）根据勾股定理可得长，然后根据等积法求得，最后利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． （1）求直线的函数表达式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）若点在轴上，当的面积为9时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角形的面积，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键． （1）把代入确定点，把A，D坐标分别代入计算即可． （2）根据，利用数形结合思想计算即可． （3）设，结合点，，计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点，直线交轴于点． ∴，， ∴, ∴， 解得， 故直线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，当时，直线的图象在直线的上面， ∴当时，． 【小问3详解】 解：设， 把代入的解析式得：， 解得：， ∴， ∵点， ∴， ∴， 解得：或， 故点或． 22. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元 （2）①；②节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用480元购进A粽子的数是节后用200元购进的数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可； ②设获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，根据m的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． 【小问2详解】 解：①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：； ②获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 23. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． 【操作发现】（1）若交于点，求证：； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； 【拓展延伸】（3）在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 【答案】（）见解析；（）；；（）． 【解析】 【分析】（）连接，由中位线定理可得，则，然后证明即可； （）由中位线定理得，，进而求勾股定理得，再利用平行线及等腰三角形的判定可得，，进而求得在利用线段的和差求出即可得解； 先证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可； （）为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解． 【详解】证明: 如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）如图，记交于点， ∵，，为中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵，，三点共线, ∴， ∴， ∴， 设， 在中， 由勾股定理，得， 则， 解得， ∴； （）如图，过作于点， ∵为定值， ∴当上的高线最大时，则面积最大，即求出到的最大距离即可， ∵， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， ∵， ∴此时三点共线， 即， ∴， 即面积最大值为， 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（下）期末考试 八年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点 B. 三角形的三边垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高线的交点 D. 三角形的三条中线的交点 4. 解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被7整除 8. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 9. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 10. 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒． A. 2或 B. C. 或 D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于的一元一次不等式，则的值为_____________________． 12. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 13. 若为完全平方式，则______． 14. 如图所示的网格是正方形网格，是网格线的交点，则的度数为______． 15. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，______． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组； （2）化简：． 17. 如图，已知，将平移得到，且中任意一点经过平移后的对应点为． （1）画出，并直接写出点、、的坐标； （2）求的面积． 18. 已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 19. “字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； （1）请用此方法拆分________； （2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； （3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 20. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，则_____． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． （1）求直线的函数表达式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）若点在轴上，当的面积为9时，求点的坐标． 22. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． 【操作发现】（1）若交于点，求证：； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； 【拓展延伸】（3）在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $