29.1.2 过三点的圆 5大题型 一题三变 专项讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“过三点的圆”核心知识点，从过一点、两点的圆的基本结论出发，延伸至不在同一直线上三点确定一个圆的关键原理，系统梳理三角形外接圆、外心的概念及外心为三边垂直平分线交点的性质，明确外心位置与三角形类型的关系，同步融入反证法步骤，构建完整知识脉络。 资料亮点在于精准提炼易错点（如“三点确定圆”遗漏前提）、实用技巧（如直角三角形外接圆半径秒杀）和分类题型（概念辨析、坐标计算等），通过口诀强化记忆，例题变式巩固应用，培养学生几何直观与推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题29.1.2过三点的圆 【新人教版】 【题型1 三角形外接圆的概念辨析】....................................................................................................................2 【题型2 求三角形外心坐标】................................................................................................................................3 【题型3 求特殊三角形外接圆的半径】................................................................................................................4 【题型4 判断确定圆的条件】................................................................................................................................5 【题型5 反证法】....................................................................................................................................................6 1.基本结论 · 过一点可以作无数个圆； · 过两点可以作无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； · 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆、外心 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点；外心到三角形三个顶点的距离相等（距离等于外接圆半径）。 3.外心位置规律 · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 4.反证法 步骤：假设结论反面成立→推理得出矛盾→否定假设，证明原结论成立。 易错1：遗漏前提条件 说成“三点确定一个圆”，正确表述：不在同一直线上的三点确定一个圆；共线三点无法作出外接圆。 易错2：混淆外心、内心 外心：三边垂直平分线交点，到顶点距离相等；内心：角平分线交点，到三边距离相等。 易错3：直角三角形外接半径记错 不会利用斜边中点快速求半径，不会直接使用R=斜边/2。 易错4：外心位置判断出错 误认为外心永远在三角形内部，钝角三角形外心在外部。 技巧1：速记口诀 一点无数圆，两点圆心中垂线上；不共线三点定一圆，外心中垂交点上；锐角内，直角斜边中点，钝角在外旁。 技巧2：确定外接圆圆心作图法 作两条边的垂直平分线，交点即为外心。 技巧3：直角三角形外接圆秒杀 看到直角三角形，直接取斜边中点为圆心，斜边一半为半径。 技巧4：证明四点共圆思路 找到一点，证明该点到四个点距离相等，则四点在同一个圆上。题型一 三角形外接圆的概念辨析 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【变式1-1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 题型二 求三角形外心坐标 【例2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 【例3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【变式3-2】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 题型四 判断确定圆的条件 【例4】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式4-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【变式4-2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【变式4-3】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 题型五 反证法 【例5】（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【变式5-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【变式5-3】（25-26八年级下·福建宁德·期中）用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.1.2过三点的圆 【新人教版】 【题型1 三角形外接圆的概念辨析】....................................................................................................................2 【题型2 求三角形外心坐标】................................................................................................................................5 【题型3 求特殊三角形外接圆的半径】................................................................................................................9 【题型4 判断确定圆的条件】..............................................................................................................................11 【题型5 反证法】..................................................................................................................................................13 1.基本结论 · 过一点可以作无数个圆； · 过两点可以作无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； · 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆、外心 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点；外心到三角形三个顶点的距离相等（距离等于外接圆半径）。 3.外心位置规律 · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 4.反证法 步骤：假设结论反面成立→推理得出矛盾→否定假设，证明原结论成立。 易错1：遗漏前提条件 说成“三点确定一个圆”，正确表述：不在同一直线上的三点确定一个圆；共线三点无法作出外接圆。 易错2：混淆外心、内心 外心：三边垂直平分线交点，到顶点距离相等；内心：角平分线交点，到三边距离相等。 易错3：直角三角形外接半径记错 不会利用斜边中点快速求半径，不会直接使用R=斜边/2。 易错4：外心位置判断出错 误认为外心永远在三角形内部，钝角三角形外心在外部。 技巧1：速记口诀 一点无数圆，两点圆心中垂线上；不共线三点定一圆，外心中垂交点上；锐角内，直角斜边中点，钝角在外旁。 技巧2：确定外接圆圆心作图法 作两条边的垂直平分线，交点即为外心。 技巧3：直角三角形外接圆秒杀 看到直角三角形，直接取斜边中点为圆心，斜边一半为半径。 技巧4：证明四点共圆思路 找到一点，证明该点到四个点距离相等，则四点在同一个圆上。题型一 三角形外接圆的概念辨析 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 根据三角形外心的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接 ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 题型二 求三角形外心坐标 【例2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 【例3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 题型四 判断确定圆的条件 【例4】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式4-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式4-3】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 题型五 反证法 【例5】（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需要假设原命题结论不成立，原命题结论为“是负数”，即， ∴假设结论不成立，即为不是负数，可得． 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【答案】C 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 【变式5-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 【变式5-3】（25-26八年级下·福建宁德·期中）用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反证法先假设原结论不成立，经过推导推出矛盾，即可证明原结论成立． 【详解】解：∵假设，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得， ∴该结论与原命题已知条件相矛盾， 因此矛盾对应的选项为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $