专题29.1.1圆的有关概念（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦圆的有关概念核心知识点，先通过动态与静态定义构建圆的基础认知，再系统梳理弦、直径、弧、等圆、等弧等相关概念，最后结合点到圆心距离与半径的关系明确点与圆的位置关系，形成层层递进的学习支架。 资料突出易错点辨析（如直径与弦的区别）、技巧口诀（如“直径最长一条弦”）及分层题型设计，通过实例引导学生用数学眼光区分概念，以口诀强化数学语言表达，借助例题变式训练数学思维。课中助力教师高效授课，课后便于学生针对性复习，弥补知识盲点。

专题29.1.1圆的有关概念 【新人教版】 【题型1 圆的有关概念】.......................................................................................................................................2 【题型2 判断点与圆的位置关系】.......................................................................................................................3 【题型3 利用点与圆的位置关系求解】...............................................................................................................3 【题型4 点与圆上一点的最值问题】...................................................................................................................4 1.圆的定义 ①动态定义：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定端点为圆心，线段长为半径。 ②静态定义：圆心为O、半径为r的圆，是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。记作⊙O。 2.相关概念 · 弦：连接圆上任意两点的线段； · 直径：经过圆心的弦，直径是最长的弦，直径=2半径； · 弧：圆上任意两点间的部分； 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（可用两个字母表示）； 半圆：直径分圆所得的弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。 · 等圆：能够互相重合的圆，半径相等； · 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 3.点与圆的位置关系 设圆半径为r，点到圆心距离为d d>r⇒点在圆外；d=r⇒点在圆上；d<r⇒点在圆内。 易错1：直径与弦概念混淆 直径一定是弦，但弦不一定是直径。 易错2：对等弧理解错误 半径不等的两个圆中，弧长相等不能称为等弧，等弧前提：同圆或等圆。 易错3：半圆概念误区 半圆不是优弧，也不是劣弧。 易错4：忽略“平面内” 圆的定义缺少“平面内”，空间中形成球面，不是圆。 易错5：最长弦判断出错 同一个圆内最长弦是直径，不存在比直径更长的弦。 技巧1：速记口诀 定点定长围成圆，直径最长一条弦； 劣弧短，优弧长，半圆不属于两者； 等弧先要半径等，重合才叫等弧长。 技巧2：点和圆位置判断步骤 算出点到圆心距离d，与半径r比较大小。 技巧3：证明点在圆上通用思路 证明该点到圆心的距离等于半径。 技巧4：区分弧的书写规范 劣弧可用两点标注；优弧必须用三个字母标注，避免歧义。题型一 圆的有关概念 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【变式1-1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 题型二 判断点与圆的位置关系 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（   ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【变式2-1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【变式2-2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 题型三 利用点与圆的位置关系求解 【例3】（25-26九年级上·广西钦州·期末）已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 点与圆上一点的最值问题 【例4】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.1.1圆的有关概念 【新人教版】 【题型1 圆的有关概念】.......................................................................................................................................2 【题型2 判断点与圆的位置关系】.......................................................................................................................4 【题型3 利用点与圆的位置关系求解】...............................................................................................................5 【题型4 点与圆上一点的最值问题】...................................................................................................................7 1.圆的定义 ①动态定义：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定端点为圆心，线段长为半径。 ②静态定义：圆心为O、半径为r的圆，是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。记作⊙O。 2.相关概念 · 弦：连接圆上任意两点的线段； · 直径：经过圆心的弦，直径是最长的弦，直径=2半径； · 弧：圆上任意两点间的部分； 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（可用两个字母表示）； 半圆：直径分圆所得的弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。 · 等圆：能够互相重合的圆，半径相等； · 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 3.点与圆的位置关系 设圆半径为r，点到圆心距离为d d>r⇒点在圆外；d=r⇒点在圆上；d<r⇒点在圆内。 易错1：直径与弦概念混淆 直径一定是弦，但弦不一定是直径。 易错2：对等弧理解错误 半径不等的两个圆中，弧长相等不能称为等弧，等弧前提：同圆或等圆。 易错3：半圆概念误区 半圆不是优弧，也不是劣弧。 易错4：忽略“平面内” 圆的定义缺少“平面内”，空间中形成球面，不是圆。 易错5：最长弦判断出错 同一个圆内最长弦是直径，不存在比直径更长的弦。 技巧1：速记口诀 定点定长围成圆，直径最长一条弦； 劣弧短，优弧长，半圆不属于两者； 等弧先要半径等，重合才叫等弧长。 技巧2：点和圆位置判断步骤 算出点到圆心距离d，与半径r比较大小。 技巧3：证明点在圆上通用思路 证明该点到圆心的距离等于半径。 技巧4：区分弧的书写规范 劣弧可用两点标注；优弧必须用三个字母标注，避免歧义。题型一 圆的有关概念 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是做题的关键．根据弧，半圆和等弧的定义进行分析解答即可． 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 题型二 判断点与圆的位置关系 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（   ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，需根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵，， ∴， ∴点在上 故选：B． 【变式2-1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 题型三 利用点与圆的位置关系求解 【例3】（25-26九年级上·广西钦州·期末）已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离与半径相等，即可求解． 【详解】解：∵点在上，的半径为3， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径．掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】∵点P在内， ∴， ∵， ∴， ∴的半径可能为6． 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解：的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 题型四 点与圆上一点的最值问题 【例4】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】解：如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选D． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据得到点P的轨迹，从而得到最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵交于点P，且，则点P的轨迹为以为直径的半圆上，连接，交于点，此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∴CP的最小值， 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $