3.1勾股定理的探究(第2课时 勾股定理的证明) 课件-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理，通过复习勾股定理引入，借助拼图实验（如4张直角三角形纸片拼大正方形）和面积关系推导，构建“性质-判定”知识支架，衔接前后知识点。 其亮点是融合赵爽弦图、总统证法等多种证明方法，通过动手操作和逻辑推理，培养学生几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维），结合勾股数应用及实例分析，用数学语言精准表达。学生提升探究能力，教师可依托丰富案例优化教学。

3.1勾股定理的探究 (第1课时 勾股定理的证明) 第3章 勾股定理 学习目标 1、会阐述直角三角形的判定条件 （勾股定理的逆定理）。 2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形 是直角三角形。 3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程， 体会“形”与“数”的内在联系。 学习重点：勾股定理的逆定理及应用。 学习难点：勾股定理的逆定理的证明。 新课引入 复习回顾: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 . 勾股定理的概念 如果Rt△ABC的两条直角边分别为a,b,斜边为c(如图), 那么a,b,c之间满足 a2+b2=c2. 尝试 1. 用4张如图所示的直角三角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a b a b a b a 证明：∵S大正方形＝(a＋b)2， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2 a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2 ∴ a2＋b2＝c2． 2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理. b c a b a b a b a b c a b a ∟ ∟ ∟ c 证明：∵S梯形＝(a＋b)2， S梯形＝ab＋ ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝ab＋ ab＋c2 a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2 ∴ a²＋b²＝c². “总统”证法 1、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别是a、b、c， 且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 （1）条件是“三角形两边的平方和等于第三边的平方”， 结论是“直角三角形”，即由“边”的关系判定“角”， 是直角三角形的判定定理. 勾股定理逆定理 （2）勾股定理与勾股定理逆定理的异同： 勾股定理 归纳： 直角三角形的性质 直角三角形的判定 a2+b2=c2 数 形 2、勾股数的定义. 满足a2＋b2＝c2的三个正整数a、b、c、称为勾股数. 熟记一些常用的勾股数组，如： 3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 8，15，17；9，40，41； 11，60,61 等等. 注意： 1、勾股数必须同时满足两个条件： 、 。 2、勾股数的整数倍还是勾股数。 3、判断勾股数一般方法. （1）先把三个正整数从小到大排列，找出最大数； （2）计算较小的两数平方和及最大数的平方； （3）判断确定。 构造勾股数方法的口诀： 奇数平方写连续，偶数半方加减一。 新课探究 问题:根据 “弦图”的思路,用4张如左图所示的直角三角形纸片构成一个边长为c的大正方形(右图).你能用这个图形证明勾股定理吗? 如图,大正方形的边长为c,则S正方形ABCD=c2. 因为大正方形是由4个直角三角形和1个边长为b-a的小正方 形组成的, 所以,大正方形的面积是4个直角三角形面积与小正方形面积的和 . 新课探究 问题:根据 “弦图”的思路,用4张如左图所示的直角三角形纸片构成一个边长为c的大正方形(右图).你能用这个图形证明勾股定理吗? 即S正方形ABCD=4×ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2. 所以a2+b2=c2. 定义与概念 勾股定理的证明 利用面积相等证明 赵爽弦图 图形不同的切割(或拼接)方法计算面积 经典例题 例 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法. 如图3.1-3，火柴盒的一个侧面ABCD倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c. 请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2. 证明：由题意得C′D′＝CD＝AB＝a，D′A＝DA＝CB＝b， AC′＝AC＝c，Rt△ABC≌ Rt△AB′C′，四边形BCC′D′为直角梯形， ∴∠BAC＝∠B′AC′，S梯形BCC′D′＝(BC＋C′D′)·BD′＝. ∴∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. ∴ S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ab＋c2＋ab＝. ∴＝，即a2＋b2＝c2. 详解 Rt△AB′C′是火柴盒侧面ABCD中的Rt△ABC倒下后得到的，Rt△ABC的形状、大小未改变，只是位置由Rt△ABC改变为Rt△AB′C′，所以Rt△AB′C′≌Rt△ABC. 新课探究 尝试:1.用4张如左图所示的直角三角形纸片构成如右图所示的大正方形,你能用这个图形证明勾股定理吗? 整体：正方形 等量关系： 部分：四个三角形 + 一个正方形 毕达哥拉斯拼图 新课探究 尝试:2. 连接左图中小正方形的对角线,可以得到右图.试利用右图中的面积关系证明勾股定理 . 整体：梯形 部分：三个直角三角形的和 等量关系： 加菲尔德总统拼图 如图所示,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA、PB、 PC,以BP为边作∠PBQ＝60°,且BQ＝BP,连接CQ. （1）观察并猜想AP=CQ？并证明你的结论. （2）若PA：PB：PC＝3：4：5,连接PQ,试判断△PQC 的形状，并说明理由. 解：（1）猜想：AP=CQ， 证明：∵△ABC是等边三角形， 且∠PBQ＝60° ∴AB=BC，BP=BQ，∠ABC=60°， ∠1+∠3=60°，∠2+∠3=60°， ∴∠1=∠2． 四、拓展延伸 总结归纳 解题秘方：紧扣“总面积等于各部分面积之和”进行验证. 整个图形的面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和. 新课探究 刘徽“青 朱出入图” 证明： 设大正方形的面积为，则 . 根据“出入相补，以盈补虚”的原理， 得,所以 . 五、总结反思： 1、直角三角形的判定有两种思路： （1）用角的关系；（2）用边的关系. 2、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两边的平方和与最长边的平方。 若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角为直角；若两者不能相等，则不是直角三角形； 也可以先分别计算出三边的平方，再验证是否有两边的 平方和等于第三边的平方. 3、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数 必须都是正整数. 课堂练习 基础巩固 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载， 勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商 高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 2.［2024江苏南京期末］如图，在中，于，点 为上一点，连接，，的 延长线交于 ，已知， . （1）求证： ； 【证明】， ，， .在 与中， ， ， ， ， ， . （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明:已知：如图，在 中， ， ，，，求证： . 【解】, ， ， . 19 课堂练习 基础巩固 3.如图所示为一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别为 2，5，1，2，则最大的正方形E的面积为 .　 10　 知识点2 勾股定理与弦图 4. 传统文化［2023江苏扬州中考］我国汉代数学家赵爽 证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵 爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成. 如图，直角三角形的直角边长为,，斜边长为 ，若 ， ，则每个直角三角形的面积为____. 96 【解析】由题图可得，， ， , ,， 每个直角三角形的面 积为 ，故答案为96. 21 课堂练习 基础巩固 5.如图，在中， ， ，，的垂直 平分线交于点，交 于点，交的延长线于点，连接. 求 的长. 解：是线段 的垂直平分线， ， . ， ， ， ，，故的长为 . 五、总结反思： 1、直角三角形的判定有两种思路： （1）用角的关系；（2）用边的关系. 2、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两边的平方和与最长边的平方。 若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角为直角；若两者不能相等，则不是直角三角形； 也可以先分别计算出三边的平方，再验证是否有两边的 平方和等于第三边的平方. 3、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数 必须都是正整数. 课堂总结 通过今天的学习有什么收获？还有什么疑问？ 24 谢谢大家聆听 $