专题04 整式的加减（竞赛培优专项训练）七年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦整式加减核心概念与竞赛考点，以题型分层训练构建从基础到拔高的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单项式的系数和次数|4题|定义辨析与参数计算|从单项式定义延伸至次数确定| |单项式规律题|4题|符号与指数变化归纳|结合观察猜想发展数学眼光| |整式的判断|4题|单项式与多项式分类|概念辨析强化数学思维严谨性| |多项式的项数和次数|4题|次数确定与参数求解|承接单项式拓展至多项式结构| |同类项|4题|定义应用与化简计算|为整式加减奠定运算基础| |加减括号|4题|符号法则与化简纠错|训练代数变形的数学语言表达| |整式的化简求值|4题|先化简再代入计算|综合考查运算能力与推理意识| |无关型问题|4题|参数消去与定值分析|体现数学建模思想与应用意识|

专题04 整式的加减 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01单项式的系数和次数 题型02单项式规律题 题型03整式的判断 题型04多项式的项数和次数 题型05同类项 题型06加减括号 题型07整式的化简求值 题型08整式加减中的无关型问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 单项式的系数和次数 1．如果单项式和都是五次单项式，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：两个单项式都是五次单项式， ， 解得． 故选：D ． 2．单项式 的系数是________，次数是________． 【答案】 4 【详解】解：单项式的系数是：，次数是：． 3．单项式的系数和次数分别为_______． 【答案】和 【详解】解： 故系数为，次数为． 4．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值小于或等于1的项称为“准同类项”．例如与是“准同类项”，则下列单项式中：①；②；③；④，与是“准同类项”的是________．（填序号） 【答案】①② 【详解】解：基准项为，字母为和． ①： 的指数差为 ， 的指数差为 ，满足条件． ②： 的指数差为 ， 的指数差为 ，满足条件． ③： 的指数差为 ，不满足条件． ④： 的指数差为 ，不满足条件． 故与基准项是“准同类项”的是①②． 故答案为：①②． 考点二 单项式规律题 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 2．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将第一个单项式变形为，分别观察各部分规律： ∵第个单项式中，的指数等于序号； 系数的分子依次为，第个单项式系数的分子为； 系数的分母依次为，是连续奇数，第个单项式系数的分母为； ∴第个单项式为． 3．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 4．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 考点三 整式的判断 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 2．下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【答案】A 【详解】∵单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和，多项式的次数是最高次项的次数 ∴对各选项分析如下： A．单项式的数字因数为，所有字母指数和为，故系数为，次数是4，该选项正确； B．多项式的最高次项次数为2，是二次三项式，不是四次三项式，该选项错误； C．单项式的系数为1，次数是1，不是系数0，该选项错误； D．可拆分为，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，该选项错误； 故选：A． 3．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析；(2)二；(3)4， 【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 4．把下列各代数式填在相应的横线上． ，，，，， (1)单项式________________________________； (2)多项式________________________________； (3)二次三项式________________________________． 【答案】(1)，；(2)，，；(3)． 【详解】（1）解：，中分母带字母， ∴不是整式， ∴单项式有，， 故答案为：，； （2）解：多项式有，，， 故答案为：，，； （3）解：二次三项式有， 故答案为：． 考点四 多项式的项数和次数 1．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 2．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 3．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 【答案】 【详解】解：根据题意，杨辉三角的第行为，，，，，， ∴， ∴含项的系数为． 4．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：∵，两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数， ∴当时，， ∵两个多项式最高次项的系数互为相反数， ∴这种情况不存在； 当时，，， 综上，，； （2）解：当，时， ． 考点五 同类项 1．与合并同类项后结果是，那么______ ． 【答案】 【详解】解：由于合并同类项后结果为， 因此两个单项式是同类项，即a的指数和b的指数分别相等， ，解得， ，解得， 则， 故答案为：． 2．下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：①∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴，故①正确； ② ∵运算结果中不含项， ∴， 解得，， 此时，常数项为，故②正确； ③∵， ∴，，， ∴ ；故③正确； ④∵，， ∴中至少有一个是负数， 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 综上，若，，则的结果只有一种． 故④正确， ∴正确的说法是①②③④． 3．已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2)21 【详解】（1）解与是同类项， 且 且； （2）解：原式， 将，代入得， 原式． 4．已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． ， ． （2）， ， ． 考点六 加减括号 1．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据添括号法则，可得 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意，而C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 【答案】(1)三，去括号时未正确变号；(2)，10 【详解】（1）解：这位同学从第三步开始出现错误，在去后面的括号时，去括号后，应该是，错误的原因是去括号时未正确变号， 故答案为：三，去括号时未正确变号； （2）解： 当，时， 原式 ． 考点七 整式的化简求值 1．若，则代数式___________． 【答案】4050 【详解】解： ， 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 3．先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【答案】， 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ， 当，时， 原式． 4．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为；(2)化简结果为，值为 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 考点八 整式加减中的无关型问题 1．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 2．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 3．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 4．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 1．（2025七年级下·浙江·竞赛）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 2．（九年级·江苏无锡·竞赛）有一列数：，，…，，从第2个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子的值为（    ） A．10 B． C．－11 D．－6 【答案】C 【详解】解：若， 则，，， …… 观察发现，按3、、的顺序循环，每3个数为一个循环周期， ， ， ． 3．（2024七年级上·福建宁德·竞赛）a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（     ） ①；②；③；④．    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：由数轴可得， 由点到原点的距离可得， ∴，，，，，故②正确； ∴，故①正确； ，故③正确； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 4．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）已知是有理数，且有无数个值可以使得代数式的值是同一个常数，则此常数为_______． 【答案】2023 【详解】解：当，，时，即时， ， 满足有无数个值可以使得该代数式的值是同一个常数， 故答案为：2023． 5．（2024七年级·湖南长沙·竞赛）若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，， 综上可知，，两数对应点的距离为或． 6．（七年级上·湖南张家界·竞赛）如图所示，圆圈中分别填入0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数与的和是________． 【答案】9 【详解】解：首先，0到9这10个数的总和是： ， 图中有3个正方形，每个正方形顶点上的四个数之和都是18，所以三个正方形的总和是： ， 注意到中间的A和B被重复计算了一次，其余的数都只计算了一次， ∴， 解得：． 7．（七年级上·福建宁德·竞赛）已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c为有理数，且，， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴． 8．（七年级上·重庆铜梁·竞赛）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（七年级·江苏盐城·竞赛） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 10．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）若 a、b、c为整数，且，求． 【答案】2 【详解】解： a、b、c为整数，且， ，，或，， ． 当，时，，， ； 当，，时，，， ； ， ． 11．（七年级下·安徽合肥·竞赛）设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？ 【答案】的最小值是 【详解】解： ∵，， ∴，，， ∴ ， ∵，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最小值，最小值为． 12．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，求没有覆盖的阴影部分的周长． 【答案】44 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为， 5号长方形的长为，宽为， 由图①中长方形的周长为36，可得，， 解得， 如图，图②中长方形的周长为53， ∴， ∴， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01单项式的系数和次数 题型02单项式规律题 题型03整式的判断 题型04多项式的项数和次数 题型05同类项 题型06加减括号 题型07整式的化简求值 题型08整式加减中的无关型问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 单项式的系数和次数 1．如果单项式和都是五次单项式，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．单项式 的系数是________，次数是________． 3．单项式的系数和次数分别为_______． 4．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值小于或等于1的项称为“准同类项”．例如与是“准同类项”，则下列单项式中：①；②；③；④，与是“准同类项”的是________．（填序号） 考点二 单项式规律题 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（    ）． A． B． C． D． 3．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 4．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 考点三 整式的判断 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 2．下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 3．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 4．把下列各代数式填在相应的横线上． ，，，，， (1)单项式________________________________； (2)多项式________________________________； (3)二次三项式________________________________． 考点四 多项式的项数和次数 1．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 2．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 3．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 4．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 考点五 同类项 1．与合并同类项后结果是，那么______ ． 2．下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 3．已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 4．已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值． (2)若，且，求的值． 考点六 加减括号 1．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 2．不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 3．计算： (1)． (2)． 4．阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 考点七 整式的化简求值 1．若，则代数式___________． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 4．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 考点八 整式加减中的无关型问题 1．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 2．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 3．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 4．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 1．（2025七年级下·浙江·竞赛）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（九年级·江苏无锡·竞赛）有一列数：，，…，，从第2个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子的值为（    ） A．10 B． C．－11 D．－6 3．（2024七年级上·福建宁德·竞赛）a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（     ） ①；②；③；④．    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）已知是有理数，且有无数个值可以使得代数式的值是同一个常数，则此常数为_______． 5．（2024七年级·湖南长沙·竞赛）若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 6．（七年级上·湖南张家界·竞赛）如图所示，圆圈中分别填入0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数与的和是________． 7．（七年级上·福建宁德·竞赛）已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 8．（七年级上·重庆铜梁·竞赛）计算或化简： (1)； (2)． 9．（七年级·江苏盐城·竞赛） 先化简，再求值：，其中，． 10．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）若 a、b、c为整数，且，求． 11．（七年级下·安徽合肥·竞赛）设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？ 12．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，求没有覆盖的阴影部分的周长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $