精品解析：陕西延安中学初中部创新部创新部2025-2026学年第二学期八年级数学期末试题

延安中学2025-2026学年度第二学期期末自主性作业 创新部初二数学 （全卷120分时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第一部分（选择题共24分） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数与l的和为0的是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 中医药在世界传统医学中占据重要地位，具有广泛的国际影响力．下列中医药企业的标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 6. 每年的3月14日为国际数学日（简称），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下3个数学元素：①（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则（圆周率）和勾股定理被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，以的长为半径画弧；再以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接与相交于点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格 1 2 3 8 13.5 19 则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 10. 剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 11. 春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为______转/分钟． 12. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 14. 如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分） 15. 计算： 16. 解不等式组：． 17. 先化简：，再从，1，2中选一个合适的数代入求值． 18. 如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 19. 如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点．求证：． 20. 在STAM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是_____． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 21. 某校综合与实践活动中，小杰计划测量自家小区居民楼附近一小型加压泵房的高度．如图，由于泵房旁边还有绿化带无法直接到达泵房下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的顶端到地面高度为24米，接着在居民楼的顶端处测得泵房的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，泵房顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得米，米，已知泵房和居民楼均垂直于地面，且B，E，D，F在一条直线上，求泵房的高度．（参考数据：，） 22. 盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： （1）当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． （2）某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 23. 【项目背景】科学是探索未知的钥匙，创新是时代发展的动力、成长的阶梯，科技创新能力关系到国家综合实力提升、社会进步与人才培养长远发展．某校组织开展主题为“智能生活”的发明创造竞赛活动，学生们积极参与，上交了大量作品．学校从科学性、创新性、实用性三个方面对参赛作品进行评比，并给出每件作品的最终评分（百分制，最低分为60分）．为全面了解学生的创新实践情况，学校对作品征集与评比结果展开统计分析． 【数据收集与整理】学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：，统计出如下信息： 信息1：将抽取的参赛学生成绩绘制成如下两幅统计图： 信息2：B组的数据（单位：分）如下： 89，89，89，88，88，88，87，87，86，85，84，84，83，83，83，82，82，81． 【数据处理和应用】请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取成绩的学生人数为_____人；所抽取的学生成绩的中位数为_____分； （2）补全条形统计图1； （3）若全校参赛学生有350人，请估计学生的成绩不低于80分的人数． 24. 如图，已知是的外接圆，为的直径，为边上一点，，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若，的半径为，，求的长． 25. 某社区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头D安装在距离地面2.8米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米．以为原点，地面所在的水平线为轴，墙面所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱所在抛物线的表达式； （2）已知车棚的宽度为7.6米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面0.8米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上再安装一个与消防喷淋头D相同型号的消防喷淋头G，请通过计算，确定在满足所需条件时，点D与点G之间的距离的取值范围． 26. 问题探究 （1）如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； （2）如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学2025-2026学年度第二学期期末自主性作业 创新部初二数学 （全卷120分时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第一部分（选择题共24分） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数与l的和为0的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，化简双重符合，有理数的加法运算，分别计算各选项数据与的和即可得到答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 2. 中医药在世界传统医学中占据重要地位，具有广泛的国际影响力．下列中医药企业的标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A，不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形； C，能找到一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形； B，不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形； D，不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂的乘除计算，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的乘除，完全平方公式计算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C 5. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 每年的3月14日为国际数学日（简称），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下3个数学元素：①（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则（圆周率）和勾股定理被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及（圆周率）和勾股定理被同时选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将圆周率，黄金分割比，勾股定理分别记为A，B，C，用表格列出所有可能的结果： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中2种符合题意． （两人抽到相同卡片）． 故选：B 7. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，以的长为半径画弧；再以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接与相交于点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，由圆周角定理可得，由作图可得，则，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知，， ∴， 故选：B． 8. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格 1 2 3 8 13.5 19 则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察表格可知，与之间呈一次函数关系，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：观察可知，与之间呈一次函数关系， 设， 把代入，得，解得， ∴. 当时，，符合题意. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 10. 剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点与点对称，，， ∴对称轴为直线， ∵点与点对称，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11. 春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为______转/分钟． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的应用，根据一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，且， ∴， ∴， 当时， ∴， 故答案为： 12. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作于点M，过点D作，交的延长线于点N，证明四边形是正方形，再利用，勾股定理列式解答即可． 【详解】解：连接，过点D作于点M，过点D作，交的延长线于点N，由， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握性质，函数的应用和定理是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集是． 17. 先化简：，再从，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代入一个使分式有意义的值进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 由于， ， 当时，原式． 18. 如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】如图所示，如图所示， 点D即为所求点的位置． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线与的角平分线的交点即可． 【详解】解：，则点在线段的垂直平分线上， 点到、的距离相等，则点在的角平分线上， 19. 如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点．求证：． 【答案】 解：∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 【解析】 【详解】略 20. 在STAM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是_____． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：不公平，理由如下： 根据题意，列表如下： 乙 甲 A B C D E 由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种， 其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有1种，两次抽出的卡片均为化学变化的情况有2种， ∴小远分享对应的科学知识的概率，小智分享对应的科学知识的概率． ∵， ∴不公平． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）利用表格列举所有情况，根据概率公式求出小远和小智分享对应的科学知识的概率，比较即可． 【小问1详解】 解：乙口袋有三张卡片，其中属于化学变化的有D、E共两种， ∴抽到的是化学变化的概率是； 【小问2详解】 略 21. 某校综合与实践活动中，小杰计划测量自家小区居民楼附近一小型加压泵房的高度．如图，由于泵房旁边还有绿化带无法直接到达泵房下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的顶端到地面高度为24米，接着在居民楼的顶端处测得泵房的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，泵房顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得米，米，已知泵房和居民楼均垂直于地面，且B，E，D，F在一条直线上，求泵房的高度．（参考数据：，） 【答案】泵房的高度为米 【解析】 【分析】过点C作于点G，则，四边形是矩形，设米，则米，证明，得米，在中，根据解直角三角形的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，，米，，米， ∴， 如图所示，过点C作于点G，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设米，则米， 根据题意，， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴米， ∴米， ∴泵房的高度为米． 22. 盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： （1）当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． （2）某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【答案】（1） （2）千克 【解析】 【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式； （2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． 【小问2详解】 把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 23. 【项目背景】科学是探索未知的钥匙，创新是时代发展的动力、成长的阶梯，科技创新能力关系到国家综合实力提升、社会进步与人才培养长远发展．某校组织开展主题为“智能生活”的发明创造竞赛活动，学生们积极参与，上交了大量作品．学校从科学性、创新性、实用性三个方面对参赛作品进行评比，并给出每件作品的最终评分（百分制，最低分为60分）．为全面了解学生的创新实践情况，学校对作品征集与评比结果展开统计分析． 【数据收集与整理】学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：，统计出如下信息： 信息1：将抽取的参赛学生成绩绘制成如下两幅统计图： 信息2：B组的数据（单位：分）如下： 89，89，89，88，88，88，87，87，86，85，84，84，83，83，83，82，82，81． 【数据处理和应用】请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取成绩的学生人数为_____人；所抽取的学生成绩的中位数为_____分； （2）补全条形统计图1； （3）若全校参赛学生有350人，请估计学生的成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图为： （3）182人 【解析】 【分析】（1）用A组人数除以占比即可求解抽取的人数，再由中位数的定义求解即可； （2）先求出D组的人数，即可补全条形统计图； （3）先求出成绩不低于80分的占比，再乘以即可． 【小问1详解】 解：抽取成绩的学生人数：， 则中位数为第和人的成绩的平均数， 由于A组有8人， 则由B组数据可得第和人的成绩为82，81， 所以中位数为； 【小问2详解】 解：B组数据有18个，则D组有； 【小问3详解】 解：（人） 答：学生的成绩不低于80分的人数有人． 24. 如图，已知是的外接圆，为的直径，为边上一点，，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若，的半径为，，求的长． 【答案】（1） 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径得到，推出，然后结合，得到，然后由切线的性质得到，等量代换证明即可； （2）推出，设，，利用勾股定理求出，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴． 25. 某社区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头D安装在距离地面2.8米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米．以为原点，地面所在的水平线为轴，墙面所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱所在抛物线的表达式； （2）已知车棚的宽度为7.6米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面0.8米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上再安装一个与消防喷淋头D相同型号的消防喷淋头G，请通过计算，确定在满足所需条件时，点D与点G之间的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：顶点D的坐标为，点E的坐标为，然后运用顶点式结合待定系数法求解即可； （2）设抛物线上横坐标为4的点为P，则．由题意可设消防喷淋头G的最外层水柱所在抛物线的表达式为，易得，即，由线段的和差可得；当抛物线经过点时，易得，此时米，即米即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：顶点D的坐标为，点E的坐标为， 设最外层水柱所在抛物线的表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴最外层水柱所在抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 解得或． 设抛物线上横坐标为4的点为P，则,如图： 由题意可设消防喷淋头G的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当此抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， ∴米； 当抛物线经过点时， 有， 解得（舍去）或， 此时米，米． 综上所述，在满足所需条件时，点G与点D之间的距离的取值范围为． 26. 问题探究 （1）如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； （2）如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形的面积不会变化，面积的最小值为平方米 （3）存在，四边形的周长的最小值为米 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到，，当时，的值最小，由等面积法即可求解； （2）根据题意，是等腰直角三角形，证明，得到，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，可算出（平方米），如图所示，过点E作于点K，设米，米，得到，则最小即可，点重合，点重合，此时的值最小，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，平分， ∴，， ∴在中，， 为上一动点，连接， ∴当时，的值最小， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积不会变化，面积为16平方米，理由如下， 如图所示，连接， ∵已知中，，，为中点， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不会发生变化， ∵， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：存在，四边形的周长的最小值为米，理由如下， ∵米，，， ∴四边形是等腰梯形，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则米， 在中，米，， ∴米，米， ∵米， 同理，米，米 ∴米， ∴（平方米）， ∵四边形的面积为平方米， ∴（平方米）， 如图所示，过点E作于点K，设米，米， ∴，则， ∴米，米， ∴（平方米），（平方米）， ∴， 化简得，， ∴米，则米， ∴当值最小时，四边形的周长存在最小值， 把绕点逆时针旋转，得到，作点关于射线的对称点，交于点，连接，如图所示， 由旋转可得，， ∵， ∴共线，米， ∵米， ∴米， ∵， 当共线时，取得最小值，最小值为的长，即米， ∴四边形的周长的最小值为（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $