精品解析：陕西延安中学2025-2026学年第二学期八年级数学第一次阶段性作业

延安中学2025-2026学年度第二学期第一次阶段性作业 初二数学 （全卷120分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．作答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ）     A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（　　） A. B. 4 C. D. 无法确定 6. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A. 36 B. 76 C. 66 D. 12 7. 已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（   ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 10或2 8. 若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（ ） A. 它一定是三角形 B. 它可能是四边形 C. 它一定是四边形 D. 它不可能是三角形和四边形 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 10. 如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 11. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 12. 如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 13. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为____________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 已知，．求的值． 16. 在数轴上作出表示的点． 17. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 18. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长． 19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，满足，求证：四边形AECD是平行四边形； 20. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 21. 我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． （1）求长方形空闲地块的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的证明，新的证法不断出现．其中，美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程： 如图： 利用整体法，梯形的面积为 利用分割法，梯形的面积为 …… （1）按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分． （2）如图，在中，，，于，，求的长． 23. 如图． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 24. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积． 25. 综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：______； （2）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______，并证明你的猜想； （3）应用运算规律． 化简：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a、b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点分别从点同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）求两点的坐标． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时两点的坐标． （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出两点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学2025-2026学年度第二学期第一次阶段性作业 初二数学 （全卷120分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．作答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质、完全平方公式、二次根式加减运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：、被开方数为负数，无意义，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意． 3. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案． 【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25， ∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方， ∴两个小正方形的面积和为25， ∴阴影部分的面积为：25+25=50． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 4. 如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（　　） A. B. 4 C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作x轴的垂线于点A，则△AOP是直角三角形，且已知两直角边，由勾股定理即可求得PO的长． 【详解】如图，过点P作x轴的垂线于点A 则△AOP是直角三角形 ∵ ∴OA=1，AP=3 由勾股定理得： 即P点到原点的距离为 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，方法是构造直角三角形，利用勾股定理解决． 6. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A. 36 B. 76 C. 66 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169， 所以x＝13， 所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 7. 已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（   ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 10或2 【答案】D 【解析】 【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当8是斜边时，第三边长==2； 当6和8是直角边时，第三边长==10； ∴第三边的长为：10或2， 故选D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 8. 若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（ ） A. 它一定是三角形 B. 它可能是四边形 C. 它一定是四边形 D. 它不可能是三角形和四边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式，结合凸多边形每个内角小于的性质，求解多边形边数，即可判断选项． 【详解】解：设该凸多边形为n边形，题中满足条件的内角为， ∵n边形内角和为，等于其余内角的和 ∴， 整理得， 即， ∵凸多边形的内角满足， ∴， 不等式两边同除以得 ，即， ∵n是不小于3的正整数， ∴ ∴它一定是三角形． 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个多边形的边数是． 10. 如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解． 【详解】解：过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5，，， ∴， ∴． 11. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 【答案】45° 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°． 【详解】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10． ∴AB2=AC2+BC2，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键． 12. 如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及勾股定理，折叠的性质．首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，且；由中点的定义求出的长；根据折叠的性质可得；设，则，在 中利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ，  是直角三角形，且． 点是边的中点， ． 由折叠的性质可知，． 设， 则， ． 在中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 ，  ． 13. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】如图， 将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长，过点作于D点， 则，，， 由题意得，， 由勾股定理得． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 15. 已知，．求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先计算出与的值，再通分和利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ，， ． 16. 在数轴上作出表示的点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据勾股定理可知，作直角边分别为1，4的直角三角形，斜边长即为，以点O为圆心，斜边长为半径画弧与正半轴的交点即为所求，据此作图即可． 【详解】解：如图，取，且，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示，点C即为所求． 17. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 18. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长． 【答案】绳索长为10尺 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得： ， 解得：， 答：绳索长为10尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，满足，求证：四边形AECD是平行四边形； 【答案】见详解 【解析】 【分析】证，得，再由，即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， （ASA）， ， 又， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解此题的关键． 20. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 21. 我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． （1）求长方形空闲地块的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形的周长为米 （2）要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解：∵长方形的空闲地块，长为米，宽为米， ∴（米）， ∴长方形的周长为米； 【小问2详解】 解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元． 22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的证明，新的证法不断出现．其中，美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程： 如图： 利用整体法，梯形的面积为 利用分割法，梯形的面积为 …… （1）按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分． （2）如图，在中，，，于，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两种方法得出的梯形的面积相等，即可得出等式 （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，根据已知得出，则，进而勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵利用整体法，梯形的面积为 利用分割法，梯形的面积为 ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 在中，． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23. 如图． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，在中，勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积 24. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）12 【解析】 【分析】（1）证明、互相平分，只要证四边形是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明； （2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，得到，过点作于点，根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又，分别是，的平分线， ． ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：，AB//CD， ， ∵DE是∠ADC的角平分线， ， 为等边三角形， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中 ， ， ， ， 在中，，， ， ， 平行四边形的面积． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得是等边三角形是解题的关键． 25. 综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：______； （2）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______，并证明你的猜想； （3）应用运算规律． 化简：． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 左边．右边， 所以猜想成立． （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行列式即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4： 故答案为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算、数字的变化规律等知识点，由所给的式子总结出存在的规律是解答的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a、b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点分别从点同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）求两点的坐标． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时两点的坐标． （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出两点的坐标． 【答案】（1）， （2）当时，四边形是平行四边形；， （3）或；，，或， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质得出，的值进而得出答案； （2）由题意得：，，根据平行四边形性质可得，进而得到关于t的方程，解方程即可得出答案； （3）①当时，，解方程得到的值，再求点坐标；②当时，由题意得：，，进而得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ， ，，， ， 点坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得：，， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：是以为腰的等腰三角形， 分两种情况：或． ①当时，如图，过作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 中：， ， ，即， 解得：， ，； ②当时，过作轴于， ， 由题意得：，， 则， 解得：， ， 故，， 综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形； ，，或，． 【点睛】此题主要考查了二次根式性质、解不等式组、平行四边形的判定，矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $