专题3.1 圆的相关概念（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦圆的相关概念这一核心知识点，系统梳理圆的定义（描述性与集合性）、弦与直径、弧（半圆、劣弧、优弧）、圆心角、等圆与等弧、同心圆等内容，通过8类题型构建从概念理解到应用的学习支架。 资料以题型归纳为特色，结合生活实例（如马戏围圆）培养几何直观（数学眼光），通过证明题（矩形四点共圆）发展推理意识（数学思维），变式练习强化运算能力，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题3.1 圆的相关概念（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 圆的定义判断】 2 【题型2 与圆的定义相关的证明】 3 【题型3 与圆的定义相关的求值】 5 【题型4 弧、弦、直径的概念辨析】 9 【题型5 等圆与等弧】 11 【题型6 识别圆心角】 14 【题型7 同心圆中的计算】 16 【题型8 同心圆中的证明】 20 考点1 圆的定义 【知识点1 圆的定义及表示方法】 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【题型1 圆的定义判断】 【例1】在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等．人们围成圆形是为了使每个人到舞台（圆心）的距离相等，从而获得相同的观看体验，这利用了同圆中所有半径相等的性质． 【详解】解：∵ 在同圆中，所有半径都相等， ∴ 当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等， ∴ 这是应用了同圆中半径都相等的特征． 故选：C． 【变式1-1】到定点的距离等于定长的点的集合是(　　) A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【答案】C 【分析】根据圆的定义解答即可. 【详解】圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．圆也可以看作是到定点距离等于定长的点的集合. 【变式1-2】早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【答案】 圆心 半径 【分析】根据圆的集合定义直接回答即可． 【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：圆心，半径． 【点睛】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的集合定义． 【变式1-3】能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【答案】A 【分析】根据圆的定义解答即可． 【详解】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心. 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆的定义：圆是指到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．圆心在哪，圆的位置就在哪．理解圆的定义是解题的关键． 【题型2 与圆的定义相关的证明】 【例2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等． 由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到 【变式2-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD， ∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．. 【分析】先根据题意画出图形，然后再根据矩形的性质得到AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，进而说明OA=OB=OC=OD即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形、矩形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等，圆的半径相等． 【变式2-2】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式2-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    【答案】见解析 【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论． 【详解】证明：连接，，    ∵，AB的中点为O， ∴， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 【题型3 与圆的定义相关的求值】 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，求∠2的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接，由等边对等角得，， 进而得．再根据直角三角形的两锐角互余即可得解。 ，从而得到答案． 【详解】解：连接． ， ． ， ． ． ， ． ，即． ． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【详解】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的有关概念．连接，由圆的有关概念知，，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点2 弦、弧、圆心角 【知识点2 弦、弧、圆心角】 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，其度数等于所对弧的度数． 4. 等圆、同心圆与等弧 （1）能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆． （2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （3） 能够互相重合的弧叫做等弧． （4） 同圆或等圆的半径相等. 【题型4 弧、弦、直径的概念辨析】 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【答案】 ，， ，，   ， 【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 【详解】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 【变式4-2】如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有___条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【题型5 等圆与等弧】 【例5】下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据圆有关定义：等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，圆上任意两点的连线段是弦等知识分别判断得出答案即可． 【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，由等圆的定义可知，半径相等的两个圆也周长相等，所以为等圆，故此选项正确，符合题意； ②过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，不符合题意； ③长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，不符合题意； ④圆上任意两点的连线段是弦，半径只有一个端点在圆上，所以半径不是弦，此项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键． 【变式5-1】下列判断正确的个数有（    ） ①直径是圆中最大的弦； ②长度相等的两条弧一定是等弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④弧分优弧和劣弧； ⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确， ②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确 ③半径相等的两个圆是等圆；故③正确 ④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确 ⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确． 综上所述，正确的有①③ 故选B 【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的正方形，边长为，若分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，正确画出图形是解题的关键． 如图：连接相较于O，以分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，再根据勾股定理以及正方形性质求解即可． 【详解】解：如图：连接相较于O，以分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，且半径为正方形对角线的一半，即． 故选C． 【变式5-3】（2026·江苏盐城·三模）在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 【题型6 识别圆心角】 【例6】（25-26六年级下·山东·课后作业）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式6-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【变式6-2】（2025·广东深圳·一模）在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积和圆心角的关系，掌握每部分占整个部分的分率等于这部分的圆心角占的分率，是解题的关键． 扇形面积占整个圆形的，用乘以进行计算即可． 【详解】解：根据题意，扇形的圆心角为：， 故选：D． 【变式6-3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 【题型7 同心圆中的计算】 【例7】如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，证，利用全等的性质可得结果． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的半径相等，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 【变式7-1】（2024·广西贵港·二模）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为_____． 【答案】 【分析】设与小圆的切点为C，连接、，有垂径定理求出，由勾股定理可得，由即可求得答案． 【详解】解：如图，设与小圆的切点为C，连接、， ∵为小圆的切线， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理、勾股定理等知识，掌握整体代入思想方法是解题的关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． (1)长为______ (2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，进而得出，再根据“角角边”证明，得到，则此题可解； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，接下来求出，然后根据勾股定理得即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． （2）解：如图，过点O作，交于点E， 则， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴小圆的半径为． 【变式7-3】如图所示：两个同心圆，半径分别是与，矩形边分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，矩形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查矩形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作于P，于M，于N．根据矩形的性质得出矩形的面积是三角形的面积的4倍，再由题意得出当时，三角形的面积最大，利用勾股定理得出，再由等面积法确定，结合图形即可求解． 【详解】解：连接，作于P，于M，于N． ∴四边形为矩形，， ∴， ∴，， ∴矩形的面积是三角形的面积的4倍． ∵的长是定值， ∴当时，三角形的面积最大， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴矩形的周长是， 故选：D． 【题型8 同心圆中的证明】 【例8】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，圆的性质，先证明，由全等三角形的性质得出，再根据圆的性质可知，，从而得出， 再利用证明． 【详解】证明∶在和中， ∴； ∴． ∵，， ∴， 即， 在和中， ∴ 【变式8-1】在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长． 【答案】(1)与相等， 理由如下： 如图，过点O作于点E， ∵点O为两个同心圆的圆心， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据垂径定理可得，即可； （2）连接，则，分别在和中，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，则，    由（1）得：，， 在中，， 在中， ， ∴． 【变式8-2】如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． （1）过作，由等腰三角形的性质可知，，由此可得出结论； （2）根据垂径定理得到，，从而得到． 【详解】（1）证明：过作， 与均为等腰三角形， ，， ，即； （2）证明：， ，， ，即． 【变式8-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1) 解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． (2) 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 圆的相关概念（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 圆的定义判断】 2 【题型2 与圆的定义相关的证明】 2 【题型3 与圆的定义相关的求值】 3 【题型4 弧、弦、直径的概念辨析】 5 【题型5 等圆与等弧】 5 【题型6 识别圆心角】 6 【题型7 同心圆中的计算】 7 【题型8 同心圆中的证明】 8 考点1 圆的定义 【知识点1 圆的定义及表示方法】 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【题型1 圆的定义判断】 【例1】在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【变式1-1】到定点的距离等于定长的点的集合是(　　) A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【变式1-2】早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【变式1-3】能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【题型2 与圆的定义相关的证明】 【例2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【变式2-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【变式2-2】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【变式2-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    【题型3 与圆的定义相关的求值】 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，求∠2的度数． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点在上，，求的度数． 考点2 弦、弧、圆心角 【知识点2 弦、弧、圆心角】 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，其度数等于所对弧的度数． 4. 等圆、同心圆与等弧 （1）能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆． （2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （3） 能够互相重合的弧叫做等弧． （4） 同圆或等圆的半径相等. 【题型4 弧、弦、直径的概念辨析】 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【变式4-2】如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有___条． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【题型5 等圆与等弧】 【例5】下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式5-1】下列判断正确的个数有（    ） ①直径是圆中最大的弦； ②长度相等的两条弧一定是等弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④弧分优弧和劣弧； ⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的正方形，边长为，若分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·江苏盐城·三模）在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型6 识别圆心角】 【例6】（25-26六年级下·山东·课后作业）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东深圳·一模）在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【题型7 同心圆中的计算】 【例7】如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·广西贵港·二模）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为_____． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． (1)长为______ (2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【变式7-3】如图所示：两个同心圆，半径分别是与，矩形边分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，矩形的周长是（　　） A． B． C． D． 【题型8 同心圆中的证明】 【例8】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 【变式8-1】在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长． 【变式8-2】如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 【变式8-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $