3.1 圆的相关概念（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦弦、弧、圆心角等概念及“同圆或等圆半径相等”公理，通过“做—议—悟”画弦、数弦活动导入，衔接第一课时圆的基本概念，构建“线段—弧—角”知识支架。 特色为“概念建模—符号表达—公理应用”三阶教学，弧的分类与符号书写培养几何直观和数学语言，例题用半径相等证全等发展推理意识，作图活动提升空间观念，助力学生夯实基础，教师高效推进教学。

3.1 圆的相关概念（2） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册第三章《圆》3.1　圆的相关概念（2）。核心知识点：（1）弦、直径、圆弧（劣弧、优弧、半圆）的定义与符号表示；（2）圆心角、同心圆、等圆的概念；（3）公理“同圆或等圆的半径相等”的应用。 2.内容解析 本节课在第一课时已掌握“圆”及其半径、直径等基本概念的基础上，进一步引入由“线段—弧—角”三类几何要素刻画圆的结构特征。先通过“任取两点得弦、弦对弧而生”揭示弦与弧的对应关系，再借助“圆心位置”区分圆弧类型和圆心角；最后扩展到同心圆、等圆的横向比较，归纳出最基本的公理：同圆或等圆的半径相等。该公理既是后续研究圆周角定理、弦切角定理等的重要基石，也是解决计算、作图、证明问题的出发点和工具。教学重点为弦、弧、圆心角的定义及弧的符号表示，同圆（等圆）半径相等的性质与简单应用；难点在于学生对“优弧、劣弧”符号的正确书写、阅读及利用半径相等进行全等三角形证明的思路建立。 1.教学目标 •理解弦、弧（优弧、劣弧、半圆）、圆心角、同心圆、等圆的概念。 •掌握用符号语言表示弧的方法，能正确读出弧的符号表达。 •能运用“同圆或等圆的半径相等”这一基本性质，进行简单的几何推理与计算。 2.目标解析 •学生能准确口述并在图中判定弦、圆弧、圆心角，同心圆、等圆，判定正确率≥90% •能区分优弧、劣弧、半圆 •在典型题中（如半径计算、线段或角度证明）能够主动列出“（同圆）”或“（等圆）”并完成推理，正确率≥80% 3.重点难点 • 教学重点： 弦、圆弧（含三类弧）、圆心角的概念与符号表示。 • 教学难点：优弧、劣弧三字母、二字母符号的准确判读与书写。 学生已掌握线段、角的度量及三角形全等、勾股定理、矩形性质等知识，对圆的半径、直径有直观认识，具备使用尺规作图的基本技能。对“弦”“圆周”已有感性体验，但对“弧的分类”“圆心角”和“同心圆”“等圆”较少正式接触；符号“”使用不熟练。 可能困难： 将“任意两点连接成弦—弦所对曲线即弧”这一对应关系建模； 理解优弧、劣弧的判定标准及三字母表示法； 在证明题中提取“半径相等→全等三角形→结论”的思路链； 利用建立直角三角形，灵活运用勾股定理求边长。 学习需求：需要通过动手画弧、量角、数弦等活动建立直观表象；通过典型例题与变式强化“半径相等”公理的应用；通过小组合作探究（作图正方形、等腰三角形）培养迁移与综合运用能力。 创设情景，引入新课 问题情景： 教师提问：圆是曲线，我们如何研究它？画圆过程中，哪些几何元素在变化？ 学生思考：∠AOB的大小在变化；线段AB的长度也在变化 我们可以通过线段与角来研究圆的几何性质． 【设计意图】以动手画弦—数弦—推广规律的“做—议—悟”过程，培养学生的观察与归纳能力，奠定后续对弧、圆心角的理解基础。 探究点1：弦与直径 1.概念讲解： 弦的定义： 连接圆上任意两点的线段叫作弦(chord)． 如图，AC是⊙O的弦． 经过圆心的弦叫作直径(diameter)． 如图，AB是⊙O的直径． 圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径． 2.新知巩固 如图,点A,B,C,D在⊙O上．在图中画出以这四点中的两点为端点的弦． 解：有6条弦，分别为线段AB，AC，AD，BC，BD，CD． 延伸：若圆上有n个点，以其中的两点为端点的弦共有多少条？ 解：1＋2＋3＋4＋⋯＋n－1＝ 【设计意图】讲解弦、直径定义，厘清两者关系；借助画图实例认识弦，由四点计数拓展到n个点的一般情况，渗透由特殊到一般的思想，培养归纳能力。 探究点 2　弧与圆心角的定义 1.概念归纳 ◎弧的定义： 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧， 简称弧(arc)，用符号“⌒”表示． 如图，以A，C为端点的弧，记作“”， 读作“弧AC”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆． 大于半圆的弧叫作优弧 (major arc)， 小于半圆的弧叫作劣弧 (minor arc)． 如图，是优弧， 是劣弧． 劣弧通常用两个大写字母表示，优弧通常用三个大写字母表示.弧分为3类. ◎圆心角的定义： 顶点在圆心的角叫作圆心角(central angle)． 如图，∠AOB是圆心角． 辨析：如图，∠PMN是不是圆心角？为什么？ 解：不是，角的顶点不在圆心． 2.知识巩固 ①如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是 ( ) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB 解：B ②图中共有___条弧，其中劣弧是__________，优弧是____________ 解：6，，，;,, 注：一条弦对的弧有两条. 【设计意图】通过“弧符号书写—读法—分类”三步走，帮助学生形成符号语言表达能力，并解决学习中易混淆的“优弧、劣弧”记号问题。 探究点 3　同心圆、等圆的定义 1.概念讲解 同心圆、等圆的定义 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆 (concentric circles)． 半径相等的两个圆叫作等圆 (equal circle)． 同一个圆中，所有半径长度相等，等圆的所有半径也相等．由此，我们得到如下结论： 同圆或等圆的半径相等． 这是圆的几何性质中最基础的公理，也是圆中相关证明与计算的根本依据． 2.例题讲解 例2 如图，点A，B和点C，D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，∠AOB＝∠COD．∠C与∠D相等吗？为什么？ 解：∠C与∠D相等．理由如下： ∵ ∠AOB＝∠COD， ∴ ∠BOC＝∠AOD． ∵ OB＝OA，OC＝OD（同圆的半径相等）， ∴ △BOC≌△AOD． ∴ ∠C＝∠D． 3.练一练 ①如图，OA，OB是⊙O的半径，C，D分别是OA，OB的中点．AD与BC相等吗？为什么？ 解：AD与BC相等．理由如下： ∵ C，D分别是OA，OB的中点， ∴ OC＝OA， OD＝OB， ∵ OA＝OB（同圆的半径相等）， ∴ OC＝OD． 在△AOD和△BOC中，OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OD＝OC， ∴ △AOD≌△BOC (SAS)， ∴ AD＝BC． ②如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD＝4，OD＝3．求AB的长． 解：连接OC． ∵ CD⊥AB， ∴ ∠ODC＝90° 在Rt△ODC中，由勾股定理，得 ＝＋＝＋＝25． 解得 OC＝5． ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AB＝OA＋OB＝2OC（同圆的半径相等） ∴ AB＝2×5＝10． 答：AB的长为10． 4.新知探究 如图，用直尺和圆规分别作顶点都在⊙O上的等腰三角形和正方形． 解：等腰三角形的作法： 1．在圆周上任意取一点 A ； 2．以 A 为圆心、小于直径的任意长为半径画弧， 交⊙O于两点 B、C ； 3．连接线段 AB、AC、BC ； △ABC 即为所求的等腰三角形． 正方形的作法： 1．作直径 AB ； 2．过 O 作AB的垂线，交⊙O于C，D两点； 3．依次连接 A，C，B，D ； 四边形 ACBD 即为所求的正方形． 【设计意图】通过同心圆靶纸情境使学生直观感知“同心”之意；例题 2 体现“同圆半径相等＋全等三角形”解决角相等等典型思路；数值计算题引导学生将性质与勾股定理结合，培养综合运用能力。 1．在图中，画出⊙O的两条直径，依次连接这两条直径的端点得到一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由． 解：矩形．理由如下： 如图，AC、BD是⊙O的两条直径，顺次连接 AB、BC、CD、DA． ∵ OA＝OC，OB＝OD（同圆的半径相等）， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． ∵ AC＝BD， ∴ 四边形ABCD为矩形． 2.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA，OF分别交小圆于点C，D．AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥CD．理由如下： 在△OAB中， ∵ OA＝OB， ∴∠A＝∠B． ∵ ∠A＋∠B＋∠O＝180°， ∴ ∠A＝． 同理，∠OCD＝． ∴ ∠A＝∠OCD， ∴ AB∥CD． 3．如图，⊙O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在 上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别是E，F．求EF的长． 解：连接OD， ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°， ∴四边形OFDE为矩形， ∴EF＝OD＝AB＝×4＝2． 【设计意图】严格复现教材中“新知巩固”全部试题，保证课堂学练一致；练习次序由浅入深，便于分层推进。 主板书 3.1 圆的相关概念（2） 探究点1 弦与直径 探究点 2　弧与圆心角的定义 探究点 3　同心圆、等圆的定义 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $