第02讲 直线与直线间的位置关系（核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二上学期数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本讲义聚焦空间直线位置关系核心知识，系统梳理从平面到空间的扩展，涵盖相交、平行、异面三种位置关系，通过平行公理、等角定理构建逻辑联系，落实异面直线判定及所成角计算等应用，形成概念-定理-解题的完整学习支架。 资料亮点在于6大易错辨析精准破解认知误区，7类题型结合典例与变式，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理位置关系。课中助力教师分层教学，课后通过总结与作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第02讲 直线与直线间的位置关系 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】等角定理 【题型五】证明异面直线垂直 【题型二】平行公理 【题型六】求异面直线所成的角 【题型三】异面直线的概念及辨析 【题型七】由异面直线所成的角求其他量 【题型四】异面直线的判定 【知识点01】空间两直线的三种位置关系 空间中两条不重合直线，位置关系分为三类，以「是否共面、有无公共点」为判定标准： ① 相交直线：共面，有且仅有1个公共点； ② 平行直线：共面，无公共点； ③ 异面直线：不共面，无公共点，既不平行也不相交。 【知识点02】平行公理（公理4） 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行具有传递性）。 符号语言： 核心作用：用于空间任意位置直线的平行证明，不受平面限制。 【知识点03】空间等角定理 文字表述：空间中，若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。 判定规则：两边方向一致/均相反 ⇒ 角相等；一边同向、一边反向 ⇒ 角互补。 核心用途：推导空间角度关系、求解异面直线夹角 【知识点04】异面直线判定定理 平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线互为异面直线。 常用结论：异面直线无公共点、不共面、不平行、不相交。 【知识点05】异面直线所成角 定义：过空间任意一点作两条异面直线的平行线，所得锐角或直角，为异面直线所成角。 取值范围： 异面垂直定义：若异面直线所成角，则两直线异面垂直。 【知识点06】空间直线垂直两类形式 ① 共面垂直：相交成直角，有公共点； ② 异面垂直：夹角为直角，无公共点。 易错点1：平面、空间线线位置混淆 平面内两直线只有相交、平行两种；空间中无公共点的两直线不一定平行，还可以异面。 易错点2：垂直具有传递性（严重误区） 空间平行有传递性，垂直无传递性： 垂直同一直线的两条直线，可平行、可相交、可异面。 易错点3：等角定理只相等不互补 两边对应平行，角度相等或互补，做题必须判断方向，不可直接默认相等。 易错点4：异面直线所成角范围记错 范围为，不取0°、不取钝角；计算出钝角必须取补角作为最终夹角。 易错点5：异面直线误认为不垂直 异面直线可以垂直，异面垂直是空间垂直的重要形式，无需相交即可垂直。 易错点6：凭视觉判断共面/异面 空间图形视觉有欺骗性，不可看图判定，必须用判定定理严格证明。 【题型一】等角定理 【典例1-1】（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则____. 【变式1-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______. 【变式1-2】如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【变式1-3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【题型二】平行公理 【典例2-1】在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2-1】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·单元测试）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是________． 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，设E、F、G、H分别为AD、DB、AC、BC中点，试判定四边形EFHG的形状，并说明理由．    【题型三】异面直线的概念及辨析 【典例3-1】（24-25高二上·上海静安·期中）两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式3-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的_________条件．（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”或“既非充分又非必要”） 【变式3-3】（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【题型四】异面直线的判定 【典例4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知直线是异面直线，点，．求证：直线是异面直线． 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【变式4-2】如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【题型五】证明异面直线垂直 【典例5-1】如图，正方体，求证：． 【变式5-1】如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【变式5-2】空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【变式5-3】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【题型六】求异面直线所成的角 【典例6-1】如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为______． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 【变式6-2】（25-26高二上·上海·单元测试）已知空间四边形ABCD中，，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为．求的值． 【变式6-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【题型七】由异面直线所成的角求其他量 【典例7-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【变式7-1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【变式7-3】如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长． 1. 三大位置关系速记 共面：相交（1个公共点）、平行（无公共点）；不共面：异面（无公共点、不平行不相交）。 2. 两大核心定理 公理4：空间平行具有传递性 ； 等角定理：两边对应平行，角度相等或互补。 3. 异面直线核心考点 异面直线所成角范围：，钝角取补角；异面直线可垂直、可成锐角。 4. 考场避坑总结 空间垂直无传递性、无公共点未必平行、异面直线存在垂直情况、角度计算严格取舍钝角。 5. 解题模板 位置判断：先判共面，再看点的个数；角度计算：平移构造夹角，钝角转正，严格限定范围。 一、单选题 1．正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（    ） A．24对 B．30对 C．32对 D．64对 2．（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 5．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 三、解答题 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，正方体中，求与所成角的大小． 8．如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 9．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 10．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 直线与直线间的位置关系 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】等角定理 【题型五】证明异面直线垂直 【题型二】平行公理 【题型六】求异面直线所成的角 【题型三】异面直线的概念及辨析 【题型七】由异面直线所成的角求其他量 【题型四】异面直线的判定 【知识点01】空间两直线的三种位置关系 空间中两条不重合直线，位置关系分为三类，以「是否共面、有无公共点」为判定标准： ① 相交直线：共面，有且仅有1个公共点； ② 平行直线：共面，无公共点； ③ 异面直线：不共面，无公共点，既不平行也不相交。 【知识点02】平行公理（公理4） 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行具有传递性）。 符号语言： 核心作用：用于空间任意位置直线的平行证明，不受平面限制。 【知识点03】空间等角定理 文字表述：空间中，若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。 判定规则：两边方向一致/均相反 ⇒ 角相等；一边同向、一边反向 ⇒ 角互补。 核心用途：推导空间角度关系、求解异面直线夹角 【知识点04】异面直线判定定理 平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线互为异面直线。 常用结论：异面直线无公共点、不共面、不平行、不相交。 【知识点05】异面直线所成角 定义：过空间任意一点作两条异面直线的平行线，所得锐角或直角，为异面直线所成角。 取值范围： 异面垂直定义：若异面直线所成角，则两直线异面垂直。 【知识点06】空间直线垂直两类形式 ① 共面垂直：相交成直角，有公共点； ② 异面垂直：夹角为直角，无公共点。 易错点1：平面、空间线线位置混淆 平面内两直线只有相交、平行两种；空间中无公共点的两直线不一定平行，还可以异面。 易错点2：垂直具有传递性（严重误区） 空间平行有传递性，垂直无传递性： 垂直同一直线的两条直线，可平行、可相交、可异面。 易错点3：等角定理只相等不互补 两边对应平行，角度相等或互补，做题必须判断方向，不可直接默认相等。 易错点4：异面直线所成角范围记错 范围为，不取0°、不取钝角；计算出钝角必须取补角作为最终夹角。 易错点5：异面直线误认为不垂直 异面直线可以垂直，异面垂直是空间垂直的重要形式，无需相交即可垂直。 易错点6：凭视觉判断共面/异面 空间图形视觉有欺骗性，不可看图判定，必须用判定定理严格证明。 【题型一】等角定理 【典例1-1】（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等角定理求解即可. 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【分析】根据等角定理，两个角可以相等也可以互补，即可求解. 【详解】因为，，故或，如图： 【变式1-2】如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则 ，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则 ，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 【变式1-3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于，交于，连接即为所求； （2）证明四边形为平行四边形，得到，又根据正方体的性质得到，由等角定理即可证明． 【详解】（1）解：连接交于，交于，连接，即为所求交线，如下图； （2）解：， 四边形为平行四边形， ， 又，并且射线方向相同，根据等角定理， ． 【题型二】平行公理 【典例2-1】在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用可得四边形是矩形. 【详解】因为分别是边的中点，所以，所以； 同理可得，所以四边形是平行四边形； 又因为，所以，即四边形是矩形. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理及平行公理即可判断. 【详解】如图，连接，则在上且为中点， 因为为分别为中点， 所以由三角形的中位线定理可知，， 所以四点共面且，故B、D错误，C正确， 因为，所以，故A错误. 故选：C． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·单元测试）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据题意可以证明四点共面，进而可以知道和的位置关系 【详解】如图所示，因为分别为的中点 所以, 同理可证 所以 所以四边形为平行四边形 所以对角线和相交. 故答案为：相交. 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，设E、F、G、H分别为AD、DB、AC、BC中点，试判定四边形EFHG的形状，并说明理由．    【答案】菱形，理由如下： 连接， 由三角形中位线性质可知， 且， 且， ∴且， 所以四边形为平行四边形． 同理可知：且． ∵，， 所以四边形为菱形.    【分析】根据题意，利用三角形的中位线即可判断四边形的形状. 【详解】略 【题型三】异面直线的概念及辨析 【典例3-1】（24-25高二上·上海静安·期中）两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】两条直线为异面直线，则这两条直线没有公共点， 反之，两条直线没有公共点，这两条直线是平行直线或是异面直线， 所以两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件. 故选：B 【变式3-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的_________条件．（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”或“既非充分又非必要”） 【答案】必要非充分 【分析】，没有公共点，此时，平行，或，是异面直线，从而得到答案. 【详解】，没有公共点，故，平行，或，是异面直线， 故“，没有公共点”是“，是异面直线”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【变式3-3】（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系． 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 【题型四】异面直线的判定 【典例4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知直线是异面直线，点，．求证：直线是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法证明即可. 【详解】假设直线不是异面直线，即共面， 设，因为，由公理1得， 同理可得，即直线共面， 这与已知直线是异面直线矛盾，所以假设不成立， 即直线是异面直线. 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法结合分类讨论证明即可. 【详解】首先假设不是异面直线，即共面． 如果，因为，所以，这与已知矛盾； 如果直线a与b相交，设，因为，，所以， 同理可得，由公理3得，，得，这与已知矛盾． 综上，假设不成立，即是异面直线 【变式4-2】如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明：平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. (2)证明：假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 【题型五】证明异面直线垂直 【典例5-1】如图，正方体，求证：． 【答案】证明:如图,连接,交于,设的中点为,连接,则,所以与所成的角即为与所成的角． 连接,,因为正方体,所以. 又是的中点,所以,所以. 【分析】利用异面直线所成的角是即可证明异面直线垂直. 【详解】略. 【变式5-1】如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点为G，连接DG，AG，通过证明，结合可证明结论； 【详解】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 【变式5-2】空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 【变式5-3】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【题型六】求异面直线所成的角 【典例6-1】如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】构造异面直线所成的角，再利用解三角形求解. 【详解】如图： 连接，. 因为为正方体，所以， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 在中，因为，所以. 故答案为： 【变式6-1】（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·单元测试）已知空间四边形ABCD中，，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为．求的值． 【答案】 【分析】首先利用平行直线的转化，将异面直线转化为相交直线所成角，再利用余弦定理求解. 【详解】设O为MD的中点，连接，则， 或其补角为异面直线AM与CN所成的角． ∵，，． 在中，由余弦定理可得：，即. 【变式6-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【答案】(1)由平面，故平面， 而平面，，又平面， 故平面，故直线和为异面直线； (2). 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 【题型七】由异面直线所成的角求其他量 【典例7-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 【变式7-1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 【答案】4 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，    当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 【变式7-3】如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长． 【答案】或4. 【分析】将异面直线与所成的角转化成或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示： 取的中点E，连接．因为M，N分别是的中点， 所以且，且， 从而（或其补角）即为与所成的角． 又异面直线与所成的角为，所以或， 当时，由余弦定理可知 . 当时，由余弦定理可知 1. 三大位置关系速记 共面：相交（1个公共点）、平行（无公共点）；不共面：异面（无公共点、不平行不相交）。 2. 两大核心定理 公理4：空间平行具有传递性 ； 等角定理：两边对应平行，角度相等或互补。 3. 异面直线核心考点 异面直线所成角范围：，钝角取补角；异面直线可垂直、可成锐角。 4. 考场避坑总结 空间垂直无传递性、无公共点未必平行、异面直线存在垂直情况、角度计算严格取舍钝角。 5. 解题模板 位置判断：先判共面，再看点的个数；角度计算：平移构造夹角，钝角转正，严格限定范围。 一、单选题 1．正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（    ） A．24对 B．30对 C．32对 D．64对 【答案】B 【分析】由正方体的面对角线的性质结合异面直线的特征计算即可； 【详解】由正方体的特征可知每一条对角线与5条面对角线成异面直线， 所以共有对. 故选：B. 2．（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】对ABC选项可找到平行四边形，使得所要判断的两条直线为平行四边形的对角线，从而可判断为相交直线，对于D则根据异面直线判断方法可得. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 3．若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 5．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【答案】或. 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长. 【详解】取线段的中点，连接、，    在四面体中，，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，由余弦定理可得 . 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 三、解答题 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，正方体中，求与所成角的大小． 【答案】 【详解】如图，连接， 由正方体性质得，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与所成角为与所成角， 由正方形性质得，且设与所成角为， 所以. 8．如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1) 证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． (2)证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 【分析】（1）利用三角形中位线性质，结合平行公理即可求证． （2）利用反证法来证明． 【详解】（1）略． （2）略． 9．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值； （2）利用等角定理可证得结论成立. 【详解】（1）连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. （2）因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 10．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)证明：因为、分别是、的中点， 所以，且, 由正方体性质可得，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，但, 可知四边形是梯形； (2)证明：分别延长交于点，如下图所示： 因为平面，所以平面； 又因为是的中点，所以，所以是的中点， 连接， 又，所以与的交点即为线段的中点，即为； 所以可得、、三线共点； (3)证明：假设直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得； 易知，，因此， 又因为平面，且平面， 所以，在正方形中，显然不成立，故矛盾，假设不成立； 即直线和直线是异面直线. 【分析】（1）根据正方体性质可证明且不相等，可得结论； （2）利用点与线、线与面的位置关系并根据平行线性质以及相似比可得结论； （3）利用反证法假设直线和直线不是异面直线，找出矛盾即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $