10.3.2 直线与平面垂直-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

适当拓展 典例注解 精炼实践 【学生版】 10.3.2 直线与平面垂直 【知识梳理与拓展】 1、直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直； 【说明】1、直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形；2、注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”； 2、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 【说明】判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直； 3、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行； 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 【说明】1、直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． 2、定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据； 4、推论 推论1、过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论2、过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 5、点到平面的距离 过平面外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直； 从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面的距离； 利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而就可以把直线上一点到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离； 【典例注解】 例1、已知：如图，已知直线，直线平面，求证：； 【提示】； 【证明】（方法1） 【提示】； 【证明】（方法2） 【说明】； 例2、已知：直线； 求证：直线上各点到平面的距离相等。 【证明】 【说明】； 例3、如图，PA⊥平面