第10讲 随机现象与样本空间（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第10讲 随机现象与样本空间（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：随机试验的概念和特点 知识点02：样本点和样本空间 知识点03：随机事件 知识点04：必然事件 知识点05：不可能事件 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：随机现象 题型02：判断事件是否是随机事件 题型03：确定性事件与随机事件的概率 题型04：判断事件是否为基本事件 题型05：写出样本空间 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 【例1】判断下列事件对应的试验是否为随机试验，并说明理由。 ① 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数；② 在标准大气压下，将纯水加热至100℃观察是否沸腾；③ 观察未来某一天的最高气温。 解：① 是随机试验：可重复抛掷、结果为1-6点（预先已知）、每次点数不确定，满足三大特点； ② 不是随机试验：标准大气压下100℃水必然沸腾，结果唯一确定，无随机性； ③ 不是随机试验：无法在相同条件下重复试验，不满足可重复性。 总结：随机试验必须同时满足：可重复、结果已知、单次结果随机。 【知识点02】样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 【例2】写出“抛掷一枚均匀硬币一次”的样本点与样本空间。 解：1. 确定最简基本结果：该试验只有两种不可拆分的结果：正面朝上、反面朝上； 2. 定义样本点：设={正面朝上}，={反面朝上}； 3. 写出样本空间： 答案：样本点为正面朝上、反面朝上；样本空间。 【知识点03】随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 【例3】写出“抛掷一枚均匀硬币一次”的样本点与样本空间。 解：1. 确定最简基本结果：该试验只有两种不可拆分的结果：正面朝上、反面朝上； 2. 定义样本点：设={正面朝上}，={反面朝上}； 3. 写出样本空间： 答案：样本点为正面朝上、反面朝上；样本空间。 【知识点04】必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 【例4】抛掷一枚骰子一次，写出一个该试验下的必然事件，并说明理由。 解：1. 选取事件：设事件={出现的点数不大于6}； 2. 分析样本点：骰子所有点数为1、2、3、4、5、6，均满足“点数不大于6”； 3. 判定：该事件包含样本空间全部样本点，每次试验必然发生； 结论：事件为必然事件， 【知识点05】不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 【例5】抛掷一枚骰子一次，写出一个该试验下的不可能事件，并说明理由。 解：1. 选取事件：设事件={出现点数为7}； 2. 分析样本点：该试验样本空间为，无点数7对应的样本点，即； 3. 判定：每次试验都不可能出现点数7，事件一定不发生； 结论：事件为不可能事件，。 【题型01】随机现象 【典例1-1】“从长度分别为15、20、30、40的4根小木条中，任取3根为边拼成一个三角形”是______现象． 【答案】随机 【分析】根据随机现象的概念判断． 【详解】15、20、40不能拼成三角形，而20、30、40能拼成三角形，所以是随机现象． 故答案为：随机． 【变式1-1】下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 【变式1-2】下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据随机现象的概念逐项判断即可得解. 【详解】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象. 故选：B. 【点睛】本题考查了随机现象的概念，属于基础题. 【变式1-3】（25-26高二上·上海普陀·期末）以下论述，描述正确的为__________.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的： ②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小： ③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的. 【答案】② 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【详解】对于①：随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故①错误； 对于②：概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，故②正确； 对于③：比如抛一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故③错误. 故答案为：② 【题型02】判断事件是否是随机事件 【典例2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件的意义逐项分析即可求解. 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为________． 【答案】④⑦ 【分析】根据不确定事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，四边形的内角和为， 所以度量四边形的内角和为为不可能事件； 对于②，抛掷一块石子，下落，是必然事件； 对于③，由题意，随机摸出一个球是红球是不可能事件； 对于④，抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，为不确定事件； 对于⑤，若为实数，则为必然事件； 对于⑥，若，则是不可能事件； 对于⑦，从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签为不确定事件. 故答案为：④⑦. 【变式2-3】判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 【答案】(1)确定事件 (2)不确定事件 (3)不确定事件 【分析】（1）由确定事件的定义判断即可； （2）由不确定事件的定义判断即可； （3）由不确定事件的定义判断即可. 【详解】（1）在空地上抛一石块，由于引力作用，石块一定会下落，故该事件是必然事件，即该事件也是确定事件； （2）明天上午八时到九时之间，你可能会接到一个推销电话，也可能不会接到一个推销电话，即该事件是不确定事件； （3）买一张福利彩票，可能会中奖，有可能不会中将，即该事件是不确定事件. 【题型03】确定性事件与随机事件的概率 【典例3-1】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机事件每次发生的概率是相等的，即可得出第99次抛掷出现反面的概率. 【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的， ∴无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为. ∴第99次抛掷出现反面的概率是. 故选：D. 【变式3-1】从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形可得答案． 【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形， 所以事件是必然事件． 故选：D．    【变式3-2】试解释下面情况中概率的意义： (1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 【答案】(1)购买其商品的顾客中奖的可能性是 (2)该厂生产的产品合格的可能性是 【分析】利用概率的意义即可得解. 【详解】（1）根据题意，可知购买其商品的顾客中奖的概率为0.20的意义为 购买其商品的顾客中奖的可能性是. （2）根据题意，可知生产的产品合格的概率是0.98的意义为 该厂生产的产品合格的可能性是 【变式3-3】班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生． (1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围； (2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据必然事件的定义得解； （2）根据随机事件的定义得解. 【详解】（1）解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件， 所以. （2）解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件， 所以，. 【题型04】判断事件是否为基本事件 【典例4-1】袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为　(　　) A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} 【答案】D 【详解】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D 【变式4-1】在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 【答案】A 【分析】利用基本事件是不可能同时发生的定义，即可得到答案； 【详解】在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确; 在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误; 在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误; 在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误． 故选：A 【变式4-2】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是___的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的 ___． 【答案】 互斥 和 【分析】根据基本事件的特点即可得到答案． 【详解】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 故答案为：互斥；和． 【变式4-3】事件与基本事件的概念相同吗？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】（1）必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理， 将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形． 这样，每个事件都是样本空间的一个子集． （2）基本事件的概念可类比集合中元素的概念， 试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件， 基本事件不能分解，不能同时发生（相当于集合中元素的互异性）． （3）事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件， 只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． 【题型05】写出样本空间 【典例5-1】一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果. 【详解】因为事件为“从箱中任取个小球观察其编号”， 则事件包含的样本点有， 共种. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【变式5-2】（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）} (2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）} 【分析】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，然后利用列举法求解即可； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果， 则试验的样本空间为：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反）， （反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}； （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 {（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）写出下列试验的样本空间： (1)从班上抽出一人，观察其生日月份； (2)从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数； (3)袋中有编号为1~5的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）（2）（3）根据样本空间的定义一一列举即可. 【详解】（1）从班上抽出一人，观察其生日月份， 则样本空间； （2）从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数， 则样本空间； （3）袋中有编号为的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和， 则样本空间. 知识点01 随机试验的概念和特点 1. 定义：在相同条件下可重复进行，所有可能结果已知，但单次试验结果无法提前确定的试验，记作。 2. 三大必备特征（缺一不可） ① 可重复性：相同条件下可多次重复开展； ② 确定性（可知性）：试验所有可能结果是明确、有限/可列的； ③ 随机性：单次试验的具体结果无法预先判定。 3. 易错点：不可重复、结果未知、结果唯一的试验均不是随机试验。 4. 典型例题 题目：判断下列是否为随机试验：（1）投掷一枚骰子；（2）标准大气压下0℃纯水结冰；（3）预测明日天气。 解析： （1）是随机试验：可重复、结果为{1,2,3,4,5,6}、单次结果随机； （2）不是随机试验：结果唯一确定，无随机性； （3）不是随机试验：无法在相同条件下重复试验。 知识点02 样本点和样本空间 1. 核心定义 样本点：随机试验中不可再分的最简基本结果； 样本空间：该试验所有样本点构成的集合。 2. 标准微软公式 3. 典型例题 题目：连续抛掷两枚硬币，写出该试验的样本点与样本空间。 解析： 设正面为正、反面为反，所有基本结果： (正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反) 样本空间： 知识点03 随机事件 1. 定义：由样本空间中部分样本点构成的事件，是样本空间的真子集，单次试验中可能发生、也可能不发生。 2. 集合与概率公式 3. 典型例题 题目：抛掷一枚骰子，设事件“点数大于2且小于5”，判断事件类型并写出样本点。 解析： 样本空间，事件。 是的真子集，非空、不等于全集，故为随机事件。 知识点04 必然事件 1. 定义：在随机试验中一定发生的事件，包含样本空间全部样本点。 2. 集合与概率公式 3. 典型例题 题目：抛掷一枚骰子，写出一个必然事件。 解析： 事件“出现点数不小于1且不大于6”。 该事件包含样本空间所有结果，每次试验必然发生，为必然事件，。 知识点05 不可能事件 1. 定义：在随机试验中一定不发生的事件，不含任何样本点。 2. 集合与概率公式 3. 典型例题 题目：抛掷一枚骰子，写出一个不可能事件。 解析： 事件“出现点数为8”。 样本空间无对应样本点，，一定不发生，为不可能事件，。 知识点06本节高频易错总结 1. 概率为1不一定是必然事件，概率为0不一定是不可能事件（初学只需牢记：必然事件概率必为1，不可能事件概率必为0）； 2. 样本点是最简基本结果，不可拆分，事件是样本点的集合； 3. 判断随机试验必须同时满足三个条件，缺一不可； 4. 随机事件、必然事件、不可能事件的从属关系：必然事件与不可能事件是极端情况，日常研究的事件大多为随机事件。 一、填空题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）三角形内角和为180°________随机事件．（选用“是”或“否”填空） 【答案】否 【分析】由事件的定义判断． 【详解】这是个必然事件，故不是随机事件， 故答案为：否 2．（24-25高二·上海·随堂练习）小明在校学生会主席竞选中获胜是否为随机事件，________．（选用“是”或“否”填空） 【答案】是 【分析】根据随机事件定义判定. 【详解】因为事件小明在校学生会主席竞选中获胜可能发生，有可能不发生， 故答案为：是. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）一个家庭中两个孩子性别的样本空间________（年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）． 【答案】{男男，男女，女男，女女} 【分析】利用样本空间的定义求解即可. 【详解】依据题意，共有男男，男女，女男，女女4种基本事件，构成全部样本空间. 故答案为：{男男，男女，女男，女女} 4．（24-25高二·上海·随堂练习）标准大气压下，把水加热至100℃沸腾是否为随机事件，________．（选用“是”或“否”填空） 【答案】否 【分析】由事件的定义判断． 【详解】这是个必然事件，它不是随机事件， 故答案为：否 5．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事______发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果. 【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 6．（24-25高二·上海·课堂例题）从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 【答案】 【分析】根据题意直接列举即可. 【详解】若取出的两个球标号为1，2，则标号和为3， 若取出的两个球标号为1，3，则标号和为4， 若取出的两个球标号为2，3，则标号和为5， 所以此随机现象的样本空间是. 故答案为： 7．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有________个样本点． 【答案】36 【分析】利用古典概型和样本空间的性质求解即可. 【详解】由题意得，一个骰子有6个面，抛两次，基本事件有种， 故这个试验的样本空间共有36个样本点. 故答案为：36 8．掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点：__________，事件所包含的样本点：__________． 【答案】 【分析】先求出各个事件的样本点，再利用交事件和并事件的性质求解即可. 【详解】由题得，，， 则，． 故答案为：； 9．以下论述描述正确的是______.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 【答案】③ 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【详解】对于①，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误， 对于②, 比如抛一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误， 对于③, 概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，正确， 故答案为：③ 10．下列事件中，属于随机现象的序号是______. ①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边． 【答案】①③ 【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断. 【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象； 对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件； 对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件； 综上：属于随机现象的序号是①③. 故答案为：①③. 11．（24-25高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有________． 【答案】⑤⑥ 【分析】根据随机现象的定义逐个分析判断 【详解】对于①，在标准大气压下水加热到100℃，沸腾，是必然现象， 对于②，导体通电，发热，是必然现象， 对于③，异性电荷，相互排斥，是不可能现象， 对于④，实心铁块丢入水中，铁块浮起，是不可能现象， 对于⑤，买一张福利彩票，中奖，是随机现象， 对于⑥掷一枚硬币，反面朝上，是随机现象， 故答案为：⑤⑥ 12．（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中，________是不确定事件，________是必然事件，________是不可能事件．（填写序号） 【答案】 ①③⑤ ②⑥ ④ 【分析】根据随机事件、必然事件与不可能事件发生的概率逐个辨析即可. 【详解】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件； ②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件； ③是随机事件； ④当时，函数在定义域内为减函数，故④为不可能事件； ⑤是随机事件． 故答案为：①③⑤；②；④ 二、单选题 13．随机事件发生的概率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机事件发生的概率范围即可得到答案. 【详解】根据随机事件发生的概率范围可知， 故选：D. 14．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖． 其中是随机事件的有（    ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据事件的知识求得正确答案. 【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件. 故选：B 15．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【分析】根据各选项中的随机试验，分析其样本空间的基本事件组成即可判断. 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 16．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）如果，那么； （2）掷一枚硬币，出现反面； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 【答案】（1）是确定性现象；（2）是随机现象；（3）是随机现象． 【分析】（1）（2）（3）根据确定性现象与随机现象的定义判断即可； 【详解】（1）如果，那么，是确定性现象； （2）掷一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面，故出现反面，是随机现象； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫，是随机现象. 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象． 【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生，即可判断是哪种现象. 【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象； 对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象； 对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象； 对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象. 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）连续投掷一颗骰子两次，观察出现的点数，令A表示点数和为8的事件，B表示点数6至少出现一次的事件，C表示点数相同的事件，求事件A、B、C所对应的子集． 【答案】答案见解析 【分析】利用列举法求解. 【详解】； ； ． 20．（24-25高二上·上海·课后作业）写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）写出满足条件的样本点即可； （2）写出满足条件的样本点即可； 【详解】（1）记投掷两次骰子所得结果为，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果，事件：“数字之和大于8”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为； （2）抛掷枚硬币，若正面朝上，则记为，反之，则记为，所得结果表示为，事件：“抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为. 21．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 【答案】(1)样本空间 (2)①；②；③ 【分析】（1）电路中有3个元器件，每个元器件都有正常或失效两种可能，并用1和0分别表示 ，由此得到样本空间. （2）由（1）的信息求出恰好两个元件正常，电路是通路，电路是断路的集合. 【详解】（1）分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示， 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，得集合. “电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，得集合. “电路是断路”等价于，，或，得集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 随机现象与样本空间（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：随机试验的概念和特点 知识点02：样本点和样本空间 知识点03：随机事件 知识点04：必然事件 知识点05：不可能事件 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：随机现象 题型02：判断事件是否是随机事件 题型03：确定性事件与随机事件的概率 题型04：判断事件是否为基本事件 题型05：写出样本空间 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 【例1】判断下列事件对应的试验是否为随机试验，并说明理由。 ① 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数；② 在标准大气压下，将纯水加热至100℃观察是否沸腾；③ 观察未来某一天的最高气温。 【知识点02】样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 【例2】写出“抛掷一枚均匀硬币一次”的样本点与样本空间。 【知识点03】随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 【例3】写出“抛掷一枚均匀硬币一次”的样本点与样本空间。 【知识点04】必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 【例4】抛掷一枚骰子一次，写出一个该试验下的必然事件，并说明理由。 【知识点05】不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 【例5】抛掷一枚骰子一次，写出一个该试验下的不可能事件，并说明理由。 【题型01】随机现象 【典例1-1】“从长度分别为15、20、30、40的4根小木条中，任取3根为边拼成一个三角形”是______现象． 【变式1-1】下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【变式1-2】下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26高二上·上海普陀·期末）以下论述，描述正确的为__________.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的： ②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小： ③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的. 【题型02】判断事件是否是随机事件 【典例2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为________． 【变式2-3】判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 【题型03】确定性事件与随机事件的概率 【典例3-1】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 【变式3-2】试解释下面情况中概率的意义： (1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 【变式3-3】班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生． (1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围； (2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围． 【题型04】判断事件是否为基本事件 【典例4-1】袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为　(　　) A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} 【变式4-1】在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 【变式4-2】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是___的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的 ___． 【变式4-3】事件与基本事件的概念相同吗？ 【题型05】写出样本空间 【典例5-1】一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 【变式5-2】（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 【变式5-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）写出下列试验的样本空间： (1)从班上抽出一人，观察其生日月份； (2)从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数； (3)袋中有编号为1~5的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和． 知识点01 随机试验的概念和特点 1. 定义：在相同条件下可重复进行，所有可能结果已知，但单次试验结果无法提前确定的试验，记作。 2. 三大必备特征（缺一不可） ① 可重复性：相同条件下可多次重复开展； ② 确定性（可知性）：试验所有可能结果是明确、有限/可列的； ③ 随机性：单次试验的具体结果无法预先判定。 3. 易错点：不可重复、结果未知、结果唯一的试验均不是随机试验。 4. 典型例题 题目：判断下列是否为随机试验：（1）投掷一枚骰子；（2）标准大气压下0℃纯水结冰；（3）预测明日天气。 解析： （1）是随机试验：可重复、结果为{1,2,3,4,5,6}、单次结果随机； （2）不是随机试验：结果唯一确定，无随机性； （3）不是随机试验：无法在相同条件下重复试验。 知识点02 样本点和样本空间 1. 核心定义 样本点：随机试验中不可再分的最简基本结果； 样本空间：该试验所有样本点构成的集合。 2. 标准微软公式 3. 典型例题 题目：连续抛掷两枚硬币，写出该试验的样本点与样本空间。 解析： 设正面为正、反面为反，所有基本结果： (正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反) 样本空间： 知识点03 随机事件 1. 定义：由样本空间中部分样本点构成的事件，是样本空间的真子集，单次试验中可能发生、也可能不发生。 2. 集合与概率公式 3. 典型例题 题目：抛掷一枚骰子，设事件“点数大于2且小于5”，判断事件类型并写出样本点。 解析： 样本空间，事件。 是的真子集，非空、不等于全集，故为随机事件。 知识点04 必然事件 1. 定义：在随机试验中一定发生的事件，包含样本空间全部样本点。 2. 集合与概率公式 3. 典型例题 题目：抛掷一枚骰子，写出一个必然事件。 解析： 事件“出现点数不小于1且不大于6”。 该事件包含样本空间所有结果，每次试验必然发生，为必然事件，。 知识点05 不可能事件 1. 定义：在随机试验中一定不发生的事件，不含任何样本点。 2. 集合与概率公式 3. 典型例题 题目：抛掷一枚骰子，写出一个不可能事件。 解析： 事件“出现点数为8”。 样本空间无对应样本点，，一定不发生，为不可能事件，。 知识点06本节高频易错总结 1. 概率为1不一定是必然事件，概率为0不一定是不可能事件（初学只需牢记：必然事件概率必为1，不可能事件概率必为0）； 2. 样本点是最简基本结果，不可拆分，事件是样本点的集合； 3. 判断随机试验必须同时满足三个条件，缺一不可； 4. 随机事件、必然事件、不可能事件的从属关系：必然事件与不可能事件是极端情况，日常研究的事件大多为随机事件。 一、填空题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）三角形内角和为180°________随机事件．（选用“是”或“否”填空） 2．（24-25高二·上海·随堂练习）小明在校学生会主席竞选中获胜是否为随机事件，________．（选用“是”或“否”填空） 3．（24-25高二·上海·课堂例题）一个家庭中两个孩子性别的样本空间________（年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）标准大气压下，把水加热至100℃沸腾是否为随机事件，________．（选用“是”或“否”填空） 5．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事______发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 6．（24-25高二·上海·课堂例题）从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 7．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有________个样本点． 8．掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点：__________，事件所包含的样本点：__________． 9．以下论述描述正确的是______.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 10．下列事件中，属于随机现象的序号是______. ①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边． 11．（24-25高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有________． 12．（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中，________是不确定事件，________是必然事件，________是不可能事件．（填写序号） 二、单选题 13．随机事件发生的概率的范围是（    ） A． B． C． D． 14．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖． 其中是随机事件的有（    ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②④ 15．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 16．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）如果，那么； （2）掷一枚硬币，出现反面； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）连续投掷一颗骰子两次，观察出现的点数，令A表示点数和为8的事件，B表示点数6至少出现一次的事件，C表示点数相同的事件，求事件A、B、C所对应的子集． 20．（24-25高二上·上海·课后作业）写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 21．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 1 学科网（北京）股份有限公司 $