25.2 降次 —— 解一元二次方程 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，系统覆盖一元二次方程解法及应用，强化运算能力与模型意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一解法（直接开平方、配方等）|选择/填空直接考查解法步骤，如第1题辨析解法类型| |提升层|解法综合与新定义|结合根的判别式/换元法，如第7题新定义运算求参数| |拓展层|实际应用与探究|解答题含项目学习（配方法应用）与几何问题（赵爽弦图）|

25.2 降次 —— 解一元二次方程 同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．有下列方程：①；②；③；④． 其中能用直接开平方法求解的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 2．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1 参照以上方法，求得代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关 4．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 5．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 7．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 9．已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 11．将一元二次方程配方后化成的形式，则的值为___________． 12．用公式法解方程，得__________． 13．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 14．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如 ．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 15．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为______． 三、解答题 16．选择适当方法解下列方程： (1)； (2) (3)． 17．下面是甲、乙两名同学解方程的部分解答过程： ， ， ， ，… ， ， ， ，… 甲同学 乙同学 (1)代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做__________法． (2)请判断他们的解答过程是否正确？若其中至少有一位同学正确，请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若a是非负数，且该方程的一根是负整数，求a的值． 19．小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 20．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A D A A C D 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】利用一元二次方程的几种解法判断即可得到结果． 【详解】解：①，直接开平方法； ②，配方法 ； ③ ，因式分解法； ④ ，直接开平方法； 则能用直接开平方法做的是①④； 故选:C. 【点睛】考查直接开平方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 2．【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答. 【详解】解：∵方程化为一般式为， 则， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键． 4．【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． 6．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8．【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 9．【答案】C 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用，是方程的两个实根，根据方程解的含义及根与系数的关系即可完成． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，； ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程解的概念及一元二次方程根与系数的关系，关键在于通过添减项进行正确变形，以便运用、与，达到运算简便． 10．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而确定常数项的值． 【详解】解：方程移项得，配方时添加一次项系数一半的平方， 即， 两边同时加上16，得，即， 与形式对比，得． 故答案为： 12．【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，． 13．【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 14．【答案】0或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 15．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；设图中根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【详解】解：设图中， 图中，， ，， 与的面积相等， ， ， ， 解得：，或（舍去）， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 或， ∴； （2）解： 或， ； （3）解： ∴， ． 17．【答案】(1)配方 (2)甲、乙两名同学解方程都正确，见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据配方法的定义解题； （2）根据直接开平方写出完整的解题过程． 【详解】（1）解：代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法， 故答案为：配方； （2）甲、乙两名同学解方程都正确， 甲， ， ， ， ，， 乙， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查配方法解方程，掌握配方法是解题的关键． 18．【答案】(1) 证明： ， 该方程总有两个实数根； (2)a的值为0 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，牢记“当时，方程有两个实数根”及利用因式分解法解方程是解题的关键 （1）根据方程的系数，结合根的判别式，可求出，进而可证出该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法，可求出方程的两根，结合该方程其中一根是负整数且a是非负数，即可求出a的值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 解得：，， ∵方程其中一根是负整数， ， ， 又是非负数， 且a为整数， ， 的值为0． 答：的值为0． 19．【答案】(1)， (2)66 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 20．【答案】(1)3 (2)；大；1 (3)1 (4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $