25.2.1《降次——解一元二次方程》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“直接开平方法和配方法”为核心，通过基础、进阶、中考三层设计，实现从概念理解到综合应用再到中考适配的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|直接开平方法（x²=p、(x+n)²=p型）、配方法步骤（填空、解方程）、根的情况判断|以选择、填空为主，对应知识点总结，强化概念理解与基本运算| |进阶思维题|配方法变形（二次项系数不为1）、完全平方式参数、代数式最值、几何应用|含综合解答题（如矩形花圃问题），融合方程与几何，发展推理意识| |中考链接题|中考真题（解方程、配方结果、根的判别式、代数式变形）|对接中考题型，强化考点迁移，培养应试能力与数学语言表达|

人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第1课时 直接开平方法和配方法 本节知识点总结 1. 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法。 2. 直接开平方法的基本类型： ① x² = p 型：当p > 0时，x = ±√p；当p = 0时，x₁ = x₂ = 0；当p < 0时，无实根。 ② (x + n)² = p 型：当p > 0时，x = -n ± √p；当p = 0时，x₁ = x₂ = -n；当p < 0时，无实根。 3. 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 4. 配方的关键：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 5. 配方法的一般步骤： ① 移项：把常数项移到方程右边； ② 化1：二次项系数化为1（若不为1，两边除以二次项系数）； ③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 开平方：两边开平方； ⑤ 求解：解两个一元一次方程。 6. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。 7. 配方填空：x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接开平方法解方程 1．（2024秋·江苏南京·单元测）方程x² = 9的解是（　　） A．x = 3 B．x = -3 C．x₁ = 3，x₂ = -3 D．x = 9 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）方程(x - 1)² = 4的解是（　　） A．x₁ = 3，x₂ = -1 B．x₁ = 5，x₂ = -3 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x₁ = 1，x₂ = -3 3．（2024秋·山东济南·月考）解方程：2x² - 8 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = -2 【分析】先移项，再系数化1，最后开平方。 【详解】解：2x² - 8 = 0， 移项：2x² = 8， 系数化1：x² = 4， 开平方：x = ±2， ∴x₁ = 2，x₂ = -2。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）解方程：3(x + 2)² = 27。 题型02 配方填空（补充完全平方式） 5．（2024秋·湖南长沙·期中）填空：x² + 6x + _______ = (x + _______)²。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）填空：x² - 5x + ________ = (x - ________)²。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）将2x² + 8x配方，需要加上的常数项是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 题型03 二次项系数为1的配方法解方程 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）用配方法解方程x² + 6x + 5 = 0，配方正确的是（　　） A．(x + 3)² = 4 B．(x + 3)² = 14 C．(x - 3)² = 4 D．(x - 3)² = 14 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）用配方法解方程：x² - 4x - 1 = 0。 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）用配方法解方程：x² + 2x - 3 = 0。 11．（2024秋·天津南开·单元测）用配方法解方程：x² - 8x + 12 = 0。 题型04 二次项系数不为1的配方法解方程 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）用配方法解方程2x² + 4x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A．(2x + 2)² = 5 B．(2x + 1)² = 2 C．(x + 1)² = D．(x + 1)² = 13．（2024秋·广东深圳·月考）用配方法解方程：3x² - 6x + 2 = 0。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）用配方法解方程：-2x² + 4x + 1 = 0。 题型05 判断方程根的情况 15．（2024秋·福建福州·单元测）方程x² = -1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）方程(x - 2)² = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 17．（2024秋·山东青岛·期末）若关于x的方程(x - m)² = n有实数根，则n的取值范围是________。 题型06 配方法的简单应用 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）用配方法说明：无论x取何值，代数式x² - 4x + 5的值总是正数。 19．（2024秋·北京海淀·月考）已知x² + y² + 4x - 6y + 13 = 0，求x^y的值。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）一块长方形菜地，长比宽多3m，面积为28 m²，设宽为x m，列方程并用配方法求解。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）用配方法解一元二次方程x² - 6x - 4 = 0，下列变形正确的是（　　） A．(x - 6)² = -4 + 36 B．(x - 6)² = 4 + 36 C．(x - 3)² = -4 + 9 D．(x - 3)² = 4 + 9 2．（2024秋·湖南长沙·期末）若x² + 2(m - 3)x + 16是完全平方式，则m的值为（　　） A．7 B．-1 C．7或-1 D．5或1 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）已知a是方程x² - 2x - 1 = 0的一个根，则代数式2a² - 4a + 2024的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．（2024秋·河北唐山·期末）用配方法将二次三项式a² - 4a + 5变形，结果是（　　） A．(a - 2)² + 1 B．(a + 2)² + 1 C．(a + 2)² - 1 D．(a - 2)² - 1 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x² - 6x + 8 = 0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 6．（2024秋·辽宁大连·期末）对于任意实数x，代数式x² - 6x + 10的值（　　） A．总为正 B．总为负 C．可能为0 D．可能为正也可能为负 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若方程(x - 1)² = m有实数根，则m的取值范围是________。 8．（2024秋·天津和平·期末）用配方法解方程x² + 4x = 1时，配方后得到的方程为_______。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）已知x² - 4x + y² + 6y + 13 = 0，则x + y = ________。 10．（2024秋·山东青岛·期末）若a + b = 3，ab = 2，则a² + b² = _______。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）用配方法求代数式2x² - 4x + 5的最小值为_______。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）用配方法解下列方程： （1）x² - 2x - 3 = 0 （2）2x² + 5x + 1 = 0 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，有一块长20m、宽15m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形花圃，它们的面积之和为154 m²，两块花圃之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为x m。 （1）用含x的代数式表示花圃的总面积； （2）列出方程并用配方法求x的值。 14．（2024秋·福建福州·期末）已知x² + y² - 2x + 4y + 5 = 0，求代数式(x + y)²的值。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）阅读材料：求代数式x² + 4x + 5的最小值。 解：x² + 4x + 5 = x² + 4x + 4 + 1 = (x + 2)² + 1， ∵(x + 2)² ≥ 0，∴当x = -2时，代数式有最小值1。 根据以上材料，解答下列问题： （1）求代数式x² - 6x + 12的最小值； （2）求代数式-2x² - 8x + 3的最大值。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）一元二次方程x² - 4x = 0的根是（　　） A．x₁ = 0，x₂ = 4 B．x₁ = 0，x₂ = -4 C．x₁ = x₂ = 2 D．x₁ = x₂ = 4 2．（2024·江苏苏州·中考）用配方法解方程x² + 2x - 1 = 0时，配方结果正确的是（　　） A．(x + 1)² = 0 B．(x + 1)² = 1 C．(x + 1)² = 2 D．(x - 1)² = 2 3．（2024·浙江杭州·中考）若关于x的方程x² + 2x + a = 0有两个相等的实数根，则a的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 4．（2024·山东济南·中考）将代数式x² + 6x + 2化成(x + p)² + q的形式为（　　） A．(x - 3)² + 11 B．(x + 3)² - 7 C．(x + 3)² - 11 D．(x + 3)² + 7 5．（2024·湖北武汉·中考）方程x² - 2x = 0的解是_______。 6．（2024·陕西·中考）已知x = 2是方程x² - mx - 6 = 0的一个根，则m的值为________。 7．（2024·重庆·中考）一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的两根分别为x₁和x₂，则x₁ + x₂ = ________。 8．（2024·广东·中考）若关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k > 1 C．k = 1 D．k ≥ 0 9．（2024·上海·中考）解方程：x² - 2x - 3 = 0。 10．（2024·北京·中考）已知关于x的一元二次方程x² + px + q = 0有两个实数根2和-1，求p、q的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第1课时 直接开平方法和配方法 本节知识点总结 1. 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法。 2. 直接开平方法的基本类型： ① x² = p 型：当p > 0时，x = ±√p；当p = 0时，x₁ = x₂ = 0；当p < 0时，无实根。 ② (x + n)² = p 型：当p > 0时，x = -n ± √p；当p = 0时，x₁ = x₂ = -n；当p < 0时，无实根。 3. 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 4. 配方的关键：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 5. 配方法的一般步骤： ① 移项：把常数项移到方程右边； ② 化1：二次项系数化为1（若不为1，两边除以二次项系数）； ③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 开平方：两边开平方； ⑤ 求解：解两个一元一次方程。 6. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。 7. 配方填空：x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接开平方法解方程 1．（2024秋·江苏南京·单元测）方程x² = 9的解是（　　） A．x = 3 B．x = -3 C．x₁ = 3，x₂ = -3 D．x = 9 【答案】C 【分析】直接开平方，正数有两个平方根。 【详解】解：x² = 9， 两边开平方得：x = ±3， ∴x₁ = 3，x₂ = -3。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）方程(x - 1)² = 4的解是（　　） A．x₁ = 3，x₂ = -1 B．x₁ = 5，x₂ = -3 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x₁ = 1，x₂ = -3 【答案】A 【分析】(x+n)²=p型，直接开平方。 【详解】解：(x - 1)² = 4， 两边开平方得：x - 1 = ±2， ∴x - 1 = 2 或 x - 1 = -2， ∴x₁ = 3，x₂ = -1。 故选：A。 3．（2024秋·山东济南·月考）解方程：2x² - 8 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = -2 【分析】先移项，再系数化1，最后开平方。 【详解】解：2x² - 8 = 0， 移项：2x² = 8， 系数化1：x² = 4， 开平方：x = ±2， ∴x₁ = 2，x₂ = -2。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）解方程：3(x + 2)² = 27。 【答案】x₁ = 1，x₂ = -5 【分析】先系数化1，再开平方。 【详解】解：3(x + 2)² = 27， 两边除以3：(x + 2)² = 9， 开平方：x + 2 = ±3， ∴x + 2 = 3 或 x + 2 = -3， ∴x₁ = 1，x₂ = -5。 题型02 配方填空（补充完全平方式） 5．（2024秋·湖南长沙·期中）填空：x² + 6x + ___9_____ = (x + __3______)²。 【答案】9；3 【分析】一次项系数一半的平方：(6/2)² = 9。 【详解】解：一次项系数为6，一半为3，平方为9， ∴x² + 6x + 9 = (x + 3)²。 故答案为：9；3。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）填空：x² - 5x + ________ = (x - ________)²。 【答案】； 【分析】一次项系数一半的平方：(-5/2)² = 25/4。 【详解】解：一次项系数为-5，一半为-5/2，平方为25/4， ∴x² - 5x + = (x - )²。 故答案为：；。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）将2x² + 8x配方，需要加上的常数项是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】先提取二次项系数，再配方。2(x² + 4x) = 2[(x+2)² - 4] = 2(x+2)² - 8，所以需要加8。 【详解】解：2x² + 8x = 2(x² + 4x)， x² + 4x需要加4才能配方， ∴2(x² + 4x + 4) = 2(x + 2)²， 即2x² + 8x + 8 = 2(x + 2)²， ∴需要加上的常数项是8。 故选：B。 题型03 二次项系数为1的配方法解方程 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）用配方法解方程x² + 6x + 5 = 0，配方正确的是（　　） A．(x + 3)² = 4 B．(x + 3)² = 14 C．(x - 3)² = 4 D．(x - 3)² = 14 【答案】A 【分析】移项后两边加一次项系数一半的平方。 【详解】解：x² + 6x + 5 = 0， 移项：x² + 6x = -5， 配方：x² + 6x + 9 = -5 + 9， 即(x + 3)² = 4。 故选：A。 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）用配方法解方程：x² - 4x - 1 = 0。 【答案】x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 【分析】移项→配方→开平方→求解。 【详解】解：x² - 4x - 1 = 0， 移项：x² - 4x = 1， 配方：x² - 4x + 4 = 1 + 4， 即(x - 2)² = 5， 开平方：x - 2 = ±， ∴x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 。 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）用配方法解方程：x² + 2x - 3 = 0。 【答案】x₁ = 1，x₂ = -3 【分析】标准配方法步骤。 【详解】解：x² + 2x - 3 = 0， 移项：x² + 2x = 3， 配方：x² + 2x + 1 = 3 + 1， 即(x + 1)² = 4， 开平方：x + 1 = ±2， ∴x + 1 = 2 或 x + 1 = -2， ∴x₁ = 1，x₂ = -3。 11．（2024秋·天津南开·单元测）用配方法解方程：x² - 8x + 12 = 0。 【答案】x₁ = 6，x₂ = 2 【分析】标准配方法步骤。 【详解】解：x² - 8x + 12 = 0， 移项：x² - 8x = -12， 配方：x² - 8x + 16 = -12 + 16， 即(x - 4)² = 4， 开平方：x - 4 = ±2， ∴x - 4 = 2 或 x - 4 = -2， ∴x₁ = 6，x₂ = 2。 题型04 二次项系数不为1的配方法解方程 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）用配方法解方程2x² + 4x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A．(2x + 2)² = 5 B．(2x + 1)² = 2 C．(x + 1)² = D．(x + 1)² = 【答案】C 【分析】先除以二次项系数，再配方。 【详解】解：2x² + 4x - 1 = 0， 两边除以2：x² + 2x - 1/2 = 0， 移项：x² + 2x =， 配方：x² + 2x + 1 = 1/2 + 1， 即(x + 1)² = 。 故选：C。 13．（2024秋·广东深圳·月考）用配方法解方程：3x² - 6x + 2 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】先化1，再配方。 【详解】解：3x² - 6x + 2 = 0， 两边除以3：x² - 2x + 2/3 = 0， 移项：x² - 2x = -， 配方：x² - 2x + 1 = -+ 1， 即(x - 1)² = ， 开平方：x - 1 = ± = ±， ∴x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）用配方法解方程：-2x² + 4x + 1 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】先把二次项系数化为正的，再配方。 【详解】解：-2x² + 4x + 1 = 0， 两边除以-2：x² - 2x - 1/2 = 0， 移项：x² - 2x =， 配方：x² - 2x + 1 = + 1， 即(x - 1)² = ， 开平方：x - 1 = ± = ±， ∴x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 。 题型05 判断方程根的情况 15．（2024秋·福建福州·单元测）方程x² = -1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】负数没有平方根，所以无实根。 【详解】解：∵x² = -1， 而任何实数的平方都是非负数， ∴方程没有实数根。 故选：C。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）方程(x - 2)² = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】p = 0时，有两个相等的实数根。 【详解】解：(x - 2)² = 0， 开平方得：x - 2 = 0， ∴x₁ = x₂ = 2， 即有两个相等的实数根。 故选：B。 17．（2024秋·山东青岛·期末）若关于x的方程(x - m)² = n有实数根，则n的取值范围是___n ≥ 0_____。 【答案】n ≥ 0 【分析】平方数非负，右边必须非负才有实根。 【详解】解：∵(x - m)² ≥ 0， ∴要使方程有实数根，必须n ≥ 0。 故答案为：n ≥ 0。 题型06 配方法的简单应用 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）用配方法说明：无论x取何值，代数式x² - 4x + 5的值总是正数。 【答案】证明见详解 【分析】配方后利用平方非负性证明。 【详解】解：x² - 4x + 5 = (x² - 4x + 4) + 1 = (x - 2)² + 1， ∵(x - 2)² ≥ 0， ∴(x - 2)² + 1 ≥ 1 > 0， ∴无论x取何值，代数式x² - 4x + 5的值总是正数。 19．（2024秋·北京海淀·月考）已知x² + y² + 4x - 6y + 13 = 0，求x^y的值。 【答案】-8 【分析】配方后利用非负数的性质求x、y。 【详解】解：x² + y² + 4x - 6y + 13 = 0， 配方：(x² + 4x + 4) + (y² - 6y + 9) = 0， 即(x + 2)² + (y - 3)² = 0， ∵(x + 2)² ≥ 0，(y - 3)² ≥ 0， ∴x + 2 = 0，y - 3 = 0， ∴x = -2，y = 3， ∴x^y = (-2)³ = -8。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）一块长方形菜地，长比宽多3m，面积为28 m²，设宽为x m，列方程并用配方法求解。 【答案】宽为4m，长为7m 【分析】列方程x(x+3)=28，用配方法求解。 【详解】解：设宽为x m，则长为(x + 3)m， 根据题意：x(x + 3) = 28， 整理：x² + 3x = 28， 配方：x² + 3x + = 28 + ， 即(x + )² = ， 开平方：x + = ±， ∴x = - + = 4 或 x = - - = -7（舍去）， ∴宽为4m，长为7m。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）用配方法解一元二次方程x² - 6x - 4 = 0，下列变形正确的是（　　） A．(x - 6)² = -4 + 36 B．(x - 6)² = 4 + 36 C．(x - 3)² = -4 + 9 D．(x - 3)² = 4 + 9 【答案】D 【分析】移项后配方，一次项系数-6，一半是-3，平方是9。 【详解】解：x² - 6x - 4 = 0， 移项：x² - 6x = 4， 配方：x² - 6x + 9 = 4 + 9， 即(x - 3)² = 4 + 9。 故选：D。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）若x² + 2(m - 3)x + 16是完全平方式，则m的值为（　　） A．7 B．-1 C．7或-1 D．5或1 【答案】C 【分析】完全平方式有两种：(a+b)²和(a-b)²，所以一次项系数可以是±8。 【详解】解：∵x² + 2(m - 3)x + 16是完全平方式， ∴2(m - 3) = ±8， 当2(m - 3) = 8时，m - 3 = 4，m = 7； 当2(m - 3) = -8时，m - 3 = -4，m = -1。 ∴m = 7或m = -1。 故选：C。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）已知a是方程x² - 2x - 1 = 0的一个根，则代数式2a² - 4a + 2024的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】由a² - 2a = 1，整体代入。 【详解】解：∵a是方程x² - 2x - 1 = 0的根， ∴a² - 2a - 1 = 0，即a² - 2a = 1， ∴2a² - 4a + 2024 = 2(a² - 2a) + 2024 = 2×1 + 2024 = 2026。 故选：C。 4．（2024秋·河北唐山·期末）用配方法将二次三项式a² - 4a + 5变形，结果是（　　） A．(a - 2)² + 1 B．(a + 2)² + 1 C．(a + 2)² - 1 D．(a - 2)² - 1 【答案】A 【分析】配方：a² - 4a + 4 + 1 = (a-2)² + 1。 【详解】解：a² - 4a + 5 = (a² - 4a + 4) + 1 = (a - 2)² + 1。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x² - 6x + 8 = 0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 【答案】B 【分析】先解方程，再用三角形三边关系判断。 【详解】解：x² - 6x + 8 = 0， 配方：x² - 6x + 9 = 1， (x - 3)² = 1， x - 3 = ±1， ∴x₁ = 4，x₂ = 2。 当第三边为2时，2 + 2 = 4，不能构成三角形； 当第三边为4时，2 + 4 > 4，能构成三角形， 周长 = 2 + 4 + 4 = 10。 故选：B。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）对于任意实数x，代数式x² - 6x + 10的值（　　） A．总为正 B．总为负 C．可能为0 D．可能为正也可能为负 【答案】A 【分析】配方后判断最小值。 【详解】解：x² - 6x + 10 = (x - 3)² + 1， ∵(x - 3)² ≥ 0， ∴(x - 3)² + 1 ≥ 1 > 0， ∴代数式的值总为正。 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若方程(x - 1)² = m有实数根，则m的取值范围是___m ≥ 0_____。 【答案】m ≥ 0 【分析】平方数非负，右边必须非负。 【详解】解：∵(x - 1)² ≥ 0， ∴m ≥ 0时方程有实数根。 故答案为：m ≥ 0。 8．（2024秋·天津和平·期末）用配方法解方程x² + 4x = 1时，配方后得到的方程为___(x + 2)² = 5_____。 【答案】(x + 2)² = 5 【分析】两边加一次项系数一半的平方。 【详解】解：x² + 4x = 1， 两边加4：x² + 4x + 4 = 1 + 4， 即(x + 2)² = 5。 故答案为：(x + 2)² = 5。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）已知x² - 4x + y² + 6y + 13 = 0，则x + y = ___-1_____。 【答案】-1 【分析】配方后利用非负数性质求x、y。 【详解】解：x² - 4x + y² + 6y + 13 = 0， 配方：(x - 2)² + (y + 3)² = 0， ∴x - 2 = 0，y + 3 = 0， x = 2，y = -3， x + y = -1。 故答案为：-1。 10．（2024秋·山东青岛·期末）若a + b = 3，ab = 2，则a² + b² = ___5_____。 【答案】5 【分析】利用完全平方公式变形。 【详解】解：a² + b² = (a + b)² - 2ab = 3² - 2×2 = 9 - 4 = 5。 故答案为：5。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）用配方法求代数式2x² - 4x + 5的最小值为_____3___。 【答案】3 【分析】配方后求最小值。 【详解】解：2x² - 4x + 5 = 2(x² - 2x) + 5 = 2(x² - 2x + 1 - 1) + 5 = 2(x - 1)² - 2 + 5 = 2(x - 1)² + 3， ∵2(x - 1)² ≥ 0， ∴当x = 1时，最小值为3。 故答案为：3。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）用配方法解下列方程： （1）x² - 2x - 3 = 0 （2）2x² + 5x + 1 = 0 【答案】（1）x₁ = 3，x₂ = -1；（2）x₁ = ，x₂ = 【分析】（1）直接配方；（2）先化1再配方。 【详解】解：（1）x² - 2x - 3 = 0， 移项：x² - 2x = 3， 配方：x² - 2x + 1 = 3 + 1， 即(x - 1)² = 4， 开平方：x - 1 = ±2， ∴x₁ = 3，x₂ = -1。 （2）2x² + 5x + 1 = 0， 两边除以2：x² +x + = 0， 移项：x² + x= -， 配方：x² + x + = - + ， 即(x + )² = ， 开平方：x + = ±， ∴x₁ = ，x₂ = 。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，有一块长20m、宽15m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形花圃，它们的面积之和为154 m²，两块花圃之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为x m。 （1）用含x的代数式表示花圃的总面积； （2）列出方程并用配方法求x的值。 【答案】（1）(20 - 3x)(15 - 2x)；（2）x = 2 【分析】平移法，花圃拼成一个大矩形。 【详解】解：（1）将两块花圃平移合并， 花圃总长 = 20 - 3x，总宽 = 15 - 2x， ∴花圃总面积 = (20 - 3x)(15 - 2x) m²。 （2）根据题意：(20 - 3x)(15 - 2x) = 154， 展开：300 - 40x - 45x + 6x² = 154， 整理：6x² - 85x + 146 = 0， 两边除以6：x² - x + = 0， 移项：x² - 85x/6 = -73/3， 配方：x² - x + = - ， (x - )² = - = ， 开平方：x - = ±， ∴x = + = （舍去，超过宽）， 或x = - = 2。 ∴人行通道的宽度为2m。 14．（2024秋·福建福州·期末）已知x² + y² - 2x + 4y + 5 = 0，求代数式(x + y)²的值。 【答案】1 【分析】配方后求x、y的值。 【详解】解：x² + y² - 2x + 4y + 5 = 0， 配方：(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 0， 即(x - 1)² + (y + 2)² = 0， ∵(x - 1)² ≥ 0，(y + 2)² ≥ 0， ∴x - 1 = 0，y + 2 = 0， ∴x = 1，y = -2， ∴(x + y)² = (1 - 2)² = (-1)² = 1。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）阅读材料：求代数式x² + 4x + 5的最小值。 解：x² + 4x + 5 = x² + 4x + 4 + 1 = (x + 2)² + 1， ∵(x + 2)² ≥ 0，∴当x = -2时，代数式有最小值1。 根据以上材料，解答下列问题： （1）求代数式x² - 6x + 12的最小值； （2）求代数式-2x² - 8x + 3的最大值。 【答案】（1）最小值为3；（2）最大值为11 【分析】（1）配方求最小值；（2）配方求最大值，注意开口方向。 【详解】解：（1）x² - 6x + 12 = (x² - 6x + 9) + 3 = (x - 3)² + 3， ∵(x - 3)² ≥ 0， ∴当x = 3时，代数式有最小值3。 （2）-2x² - 8x + 3 = -2(x² + 4x) + 3 = -2(x² + 4x + 4 - 4) + 3 = -2(x + 2)² + 8 + 3 = -2(x + 2)² + 11， ∵-2(x + 2)² ≤ 0， ∴当x = -2时，代数式有最大值11。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）一元二次方程x² - 4x = 0的根是（　　） A．x₁ = 0，x₂ = 4 B．x₁ = 0，x₂ = -4 C．x₁ = x₂ = 2 D．x₁ = x₂ = 4 【答案】A 【分析】因式分解法或配方法。 【详解】解：x² - 4x = 0， x(x - 4) = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 4。 故选：A。 2．（2024·江苏苏州·中考）用配方法解方程x² + 2x - 1 = 0时，配方结果正确的是（　　） A．(x + 1)² = 0 B．(x + 1)² = 1 C．(x + 1)² = 2 D．(x - 1)² = 2 【答案】C 【分析】移项后配方。 【详解】解：x² + 2x - 1 = 0， 移项：x² + 2x = 1， 配方：x² + 2x + 1 = 1 + 1， 即(x + 1)² = 2。 故选：C。 3．（2024·浙江杭州·中考）若关于x的方程x² + 2x + a = 0有两个相等的实数根，则a的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】有两个相等的实数根，判别式Δ = 0。 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ = 2² - 4×1×a = 0， 4 - 4a = 0， a = 1。 故选：B。 4．（2024·山东济南·中考）将代数式x² + 6x + 2化成(x + p)² + q的形式为（　　） A．(x - 3)² + 11 B．(x + 3)² - 7 C．(x + 3)² - 11 D．(x + 3)² + 7 【答案】B 【分析】配方：x² + 6x + 9 - 7 = (x+3)² - 7。 【详解】解：x² + 6x + 2 = (x² + 6x + 9) - 7 = (x + 3)² - 7。 故选：B。 5．（2024·湖北武汉·中考）方程x² - 2x = 0的解是___x₁ = 0，x₂ = 2_____。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 2 【分析】因式分解法。 【详解】解：x² - 2x = 0， x(x - 2) = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 2。 故答案为：x₁ = 0，x₂ = 2。 6．（2024·陕西·中考）已知x = 2是方程x² - mx - 6 = 0的一个根，则m的值为___-1_____。 【答案】-1 【分析】将x = 2代入方程。 【详解】解：∵x = 2是方程的根， ∴4 - 2m - 6 = 0， -2m = 2， m = -1。 故答案为：-1。 7．（2024·重庆·中考）一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的两根分别为x₁和x₂，则x₁ + x₂ = ________。 【答案】4 【分析】韦达定理：x₁ + x₂ = -。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = - = 4。 故答案为：4。 8．（2024·广东·中考）若关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k > 1 C．k = 1 D．k ≥ 0 【答案】A 【分析】有两个不相等的实数根，Δ > 0。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ = 2² - 4×1×k > 0， 4 - 4k > 0， k < 1。 故选：A。 9．（2024·上海·中考）解方程：x² - 2x - 3 = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】配方法或因式分解法。 【详解】解：x² - 2x - 3 = 0， 移项：x² - 2x = 3， 配方：x² - 2x + 1 = 3 + 1， (x - 1)² = 4， 开平方：x - 1 = ±2， ∴x₁ = 3，x₂ = -1。 10．（2024·北京·中考）已知关于x的一元二次方程x² + px + q = 0有两个实数根2和-1，求p、q的值。 【答案】p = -1，q = -2 【分析】将两个根代入方程，解方程组。 【详解】解：∵2和-1是方程的两个根， 将x = 2代入：4 + 2p + q = 0 ① 将x = -1代入：1 - p + q = 0 ② ① - ②：3 + 3p = 0， p = -1， 代入②：1 - (-1) + q = 0， 2 + q = 0，q = -2。 ∴p = -1，q = -2。 学科网（北京）股份有限公司 $