25.2 降次——解一元二次方程 同步作业2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础解法到综合应用再到创新探究，全面覆盖解一元二次方程核心知识，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法、配方法等基本解法及概念|选择填空直接考查运算能力，如配方法变形与方程求解| |提升层|根的判别式、根与系数关系及实际应用|解答题结合几何情境（三角形边长）培养推理意识| |拓展层|换元法、方程综合探究|材料阅读题与开放题发展创新意识，如根与系数关系迁移应用|

人教版2026年九年级上册25.2 降次——解一元二次方程 同步作业 一、选择题 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 6．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 8．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 9．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 10．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 11．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 12．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 14．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 15．一元二次方程的根的判别式的值为________． 16．已知，则的值为________． 17．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 18．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 20．用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 22．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 23．已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 24．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】(1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】(2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】(3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 2．C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 3．B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 4．B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 5．A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 6．B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 7．C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 8．B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 9．C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 10．C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 11．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 12．C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 13． 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 14． 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 15． 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 16．或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 17．且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 18． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 19．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 20．(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 21．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 23．(1) 解：不是方程的根，理由如下： 将代入方程的左边，得， 方程的右边为， ∵，等式不成立， 因此不是方程的根； (2) 证明：设方程和相同的根为， 由题意得， 两式相减得，整理得， ∵方程，仅有一个相同的根， ∴， 若，两个方程完全相同，所有根都相同，不符合题意， 因此，得， 由（1）知不是方程的根，故公共根为， 将代入方程，得， 整理得，即，得证； (3) 满足条件的实数对为，对应整数根为和；，对应整数根为和． 【分析】（1）将代入方程，比较左右两边的值即可判断； （2）联立两个方程，作差整理后，根据仅有一个相同根的条件推出是公共根，代入方程即可证明结论； （3）由得，代入方程后结合根与系数关系整理得到，列举所有整数因数对，排除不符合条件的情况，即可得到所有解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 将代入方程，整理得， 设方程的两个整数根为，， 由根与系数的关系得，， 设，则， 消去得， 整理得， 配方得， ∵，是整数， ∴，都是整数， 列举所有可能的整数对： 当，解得， 代入得，，，，不符合，舍去； 当，解得， 代入得，，无解，舍去； 当，与上述情况结果相同，舍去； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，与，结果相同，舍去； 综上，满足条件的实数对和对应整数根为： ，对应整数根为和； ，对应整数根为和． 24．(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 学科网（北京）股份有限公司 $