重难点06 反比例函数与一次函数综合专项（4大知识点+4大题目培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点06 反函数与一次函数综合专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 一次函数与反比例函数基础图像性质 知识点二 一次函数与反比例函数交点、不等式、面积核心模型 知识点三 函数综合几何拓展 知识点四 函数实际应用建模思路 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 一次函数与反比例函数综合判断 题型2 一次函数与反比例函数交点问题 题型3 一次函数与反比例函数的实际应用 题型4 一次函数与反比例函数的综合应用 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 基础图像性质：一次函数、反比例函数图像特征，结合系数k、b符号判断图像位置、增减性。 · 联立解析式求交点：联立一次函数与反比例函数方程，求解交点坐标；根据方程判别式，判断交点个数。 · 面积计算：利用交点坐标，求解坐标系中由两条函数图像围成的三角形、多边形面积；掌握\(|k|\)几何意义。 · 图像法比较函数值大小：结合图像位置，求解不等式 、的解集。 · 几何综合：线段相等、垂直、最短路径、特殊点存在性等数形结合问题。 · 实际应用：结合生活情境，建立一次函数、反比例函数模型，利用函数性质解决最值、方案问题。 · 基础层级：选择、填空题型为主，考查图像识别、函数值大小比较、基础面积计算，侧重基础知识辨析。 · 中档层级：解答常规综合大题，联立方程求交点、利用k几何意义计算面积、求解函数不等式，是校内统考核心题型。 · 拔高层级：融合几何模型，设置动点、最短路径、存在性探究，常作为期末试卷中档压轴题，侧重数形结合思想。 · 本地命题特点：广州考题重视图像读图能力，强调分类讨论；常设陷阱：区分左右分支、自变量\(x≠0\)、不等式解集分段书写，杜绝直接套用结论。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册核心代数综合板块，承接一次函数、反比例函数单一知识点，也是后续函数综合题型的重要基础，兼具代数计算与几何分析双重属性。 · 分值与考频：期中、期末必考，选择填空 3–6 分，解答综合大题 6–10 分，是稳定得分点，也是冲击高分必须吃透的模块。 · 高频失分点：解函数不等式时分段遗漏区间；计算面积不会灵活使用水平宽、铅垂高；忽略反比例函数定义域x≠0；联立方程计算出现计算失误；不能熟练运用|k|几何意义增加运算量。 · 备考核心：建立「读图→坐标转化→代数计算→几何分析」解题思路，规范不等式解集分段写法，熟练掌握交点坐标与面积转化通用方法。 知识点一 一次函数与反比例函数基础图像性质 1. 一次函数 ：由k判断增减性，b判断与y轴交点； 2. 反比例函数 ：m>0图像在一、三象限；m<0图像在二、四象限；图像上任意一点向坐标轴作垂线，矩形面积=|m|。 3. 图像共存判断：根据图像位置反向推导系数k、m、b正负，验证一致性。 知识点二 一次函数与反比例函数交点、不等式、面积核心模型 1. 求交点：联立方程组 ，整理得一元二次方程 ； ：2个交点；：唯一交点；：无交点；若存在两个交点，则两点关于原点不对称（正比例函数除外）。 2. 函数不等式求解：观察图像，找出一次函数图像在反比例函数上方/下方对应的自变量取值，以交点横坐标、x=0作为分界点，分段写出解集。 3. 面积通用解法：利用交点横坐标，采用割补法、铅垂高水平宽公式计算图形面积；灵活运用反比例函数|k|几何意义简化运算。 知识点三 函数综合几何拓展 1. 已知交点坐标，求函数解析式； 2. 动点背景下线段最值、周长最短（将军饮马）； 3. 特殊图形存在性：满足条件的等腰三角形、直角三角形、平行四边形动点探究。 知识点四 函数实际应用建模思路 梳理变量关系，区分正比例变化、反比例变化；根据自变量取值范围，结合函数增减性求解最优取值。 题型1 一次函数与反比例函数综合判断 【例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)已知点是轴上一动点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．若，结合图象，直接写出的取值范围． 【变式训练1-2】如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【变式训练1-3】如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 题型2 一次函数与反比例函数交点问题 【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【变式训练2-1】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，反比例函数（）与一次函数（为常数）交于点和点，点的纵坐标为． (1)求、的值以及点的坐标； (2)关于的不等式的解集为________． 【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 题型3 一次函数与反比例函数的实际应用 【例3】某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【变式训练3-1】如图，在菱形中，连接，交于点，，，，为线段上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【变式训练3-2】为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【变式训练3-3】研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 题型4 一次函数与反比例函数的综合应用 【例4】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【变式训练4-2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，请直接写出x的取值范围：________； (3)请直接写出的面积：________； (4)以点为位似中心，将放大得到，其中点和点分别是点和点的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点的坐标：________． 1．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 5．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 6．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 12．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 13．如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点，若点坐标为，，则的值是______． 15．如图，一次函数的图象与坐标轴交于和，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集． 16．一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 19．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 20．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)H点的坐标为________，k的值为________； (2)当时x的取值范围是________； (3)点是反比例函数图象上的点，点是x轴上的动点，当的面积为3时，请求出所有满足条件的t的值． 21．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． (1)求k的值 (2)点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． (3)若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点06 反函数与一次函数综合专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 一次函数与反比例函数基础图像性质 知识点二 一次函数与反比例函数交点、不等式、面积核心模型 知识点三 函数综合几何拓展 知识点四 函数实际应用建模思路 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 一次函数与反比例函数综合判断 题型2 一次函数与反比例函数交点问题 题型3 一次函数与反比例函数的实际应用 题型4 一次函数与反比例函数的综合应用 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 基础图像性质：一次函数、反比例函数图像特征，结合系数k、b符号判断图像位置、增减性。 · 联立解析式求交点：联立一次函数与反比例函数方程，求解交点坐标；根据方程判别式，判断交点个数。 · 面积计算：利用交点坐标，求解坐标系中由两条函数图像围成的三角形、多边形面积；掌握\(|k|\)几何意义。 · 图像法比较函数值大小：结合图像位置，求解不等式 、的解集。 · 几何综合：线段相等、垂直、最短路径、特殊点存在性等数形结合问题。 · 实际应用：结合生活情境，建立一次函数、反比例函数模型，利用函数性质解决最值、方案问题。 · 基础层级：选择、填空题型为主，考查图像识别、函数值大小比较、基础面积计算，侧重基础知识辨析。 · 中档层级：解答常规综合大题，联立方程求交点、利用k几何意义计算面积、求解函数不等式，是校内统考核心题型。 · 拔高层级：融合几何模型，设置动点、最短路径、存在性探究，常作为期末试卷中档压轴题，侧重数形结合思想。 · 本地命题特点：广州考题重视图像读图能力，强调分类讨论；常设陷阱：区分左右分支、自变量\(x≠0\)、不等式解集分段书写，杜绝直接套用结论。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册核心代数综合板块，承接一次函数、反比例函数单一知识点，也是后续函数综合题型的重要基础，兼具代数计算与几何分析双重属性。 · 分值与考频：期中、期末必考，选择填空 3–6 分，解答综合大题 6–10 分，是稳定得分点，也是冲击高分必须吃透的模块。 · 高频失分点：解函数不等式时分段遗漏区间；计算面积不会灵活使用水平宽、铅垂高；忽略反比例函数定义域x≠0；联立方程计算出现计算失误；不能熟练运用|k|几何意义增加运算量。 · 备考核心：建立「读图→坐标转化→代数计算→几何分析」解题思路，规范不等式解集分段写法，熟练掌握交点坐标与面积转化通用方法。 知识点一 一次函数与反比例函数基础图像性质 1. 一次函数 ：由k判断增减性，b判断与y轴交点； 2. 反比例函数 ：m>0图像在一、三象限；m<0图像在二、四象限；图像上任意一点向坐标轴作垂线，矩形面积=|m|。 3. 图像共存判断：根据图像位置反向推导系数k、m、b正负，验证一致性。 知识点二 一次函数与反比例函数交点、不等式、面积核心模型 1. 求交点：联立方程组 ，整理得一元二次方程 ； ：2个交点；：唯一交点；：无交点；若存在两个交点，则两点关于原点不对称（正比例函数除外）。 2. 函数不等式求解：观察图像，找出一次函数图像在反比例函数上方/下方对应的自变量取值，以交点横坐标、x=0作为分界点，分段写出解集。 3. 面积通用解法：利用交点横坐标，采用割补法、铅垂高水平宽公式计算图形面积；灵活运用反比例函数|k|几何意义简化运算。 知识点三 函数综合几何拓展 1. 已知交点坐标，求函数解析式； 2. 动点背景下线段最值、周长最短（将军饮马）； 3. 特殊图形存在性：满足条件的等腰三角形、直角三角形、平行四边形动点探究。 知识点四 函数实际应用建模思路 梳理变量关系，区分正比例变化、反比例变化；根据自变量取值范围，结合函数增减性求解最优取值。 题型1 一次函数与反比例函数综合判断 【例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)８； (3)或． 【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得点的坐标，然后把点的坐标代入即可得到一次函数的表达式； （2）先确定点的坐标，再根据进行计算即可； （3）根据点的坐标结合图像可得不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，可得， 解得 ， ∴反比例函数为，点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过B点， ∴，解得 ∴点的坐标为， 把，代入得 解得 ∴一次函数为； （2）解：在直线中，令，则， ∴，即， ∴； （3）要满足不等式，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以的解集是或． 【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)已知点是轴上一动点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．若，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把交点横坐标代入直线解析式求出，得到交点的完整坐标，再代入反比例函数算出； （2）用表示出 、的坐标，进而表示出、，分情况讨论去掉绝对值符号，根据列方程求出，再结合图象求解． 【详解】（1）解：∵位于直线上， ∴， ∴点的坐标为， 代入， 可得． （2）解：据（1）可知，则函数的解析式为， 对于直线，令，， 对于，令，， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得，， 当，点、位于第一象限， 则，， 当，可得， 解得或（不合题意，舍去）， 如图， 若要，则； 当，点、位于第一象限， 则，， 当，可得，即， 由可知无解，不符合题意； 当，点、位于第三象限， 则，， 当，可得， 解得或（不合题意，舍去）， 如图， 若要，则， 综上 的取值范围为或． 【变式训练1-2】如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 将代入， 解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 【变式训练1-3】如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 题型2 一次函数与反比例函数交点问题 【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 【变式训练2-1】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，反比例函数（）与一次函数（为常数）交于点和点，点的纵坐标为． (1)求、的值以及点的坐标； (2)关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）待定系数法求出的值，联立两个函数解析式，求出点坐标即可； （2）图象法求出不等式的解集即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）与一次函数（为常数）交于点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； （2）解：由图象可知，关于的不等式的解集为或． 【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． 题型3 一次函数与反比例函数的实际应用 【例3】某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 【变式训练3-1】如图，在菱形中，连接，交于点，，，，为线段上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)；． (2)如图， 当时，随增大而减小．当时，随增大而增大．当时，随增大而减小． (3) 【分析】（1）求函数表达式：利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出长，结合线段和差关系表示出的长得到，再根据同高三角形面积比等于底边比推导出． （2）画图与写性质：在坐标系中描点连线画出一次函数线段和反比例函数曲线，观察图像走势直接得出函数的增减性或取值范围等性质． （3）求不等式解集：观察两个函数图像的交点位置，找出直线位于双曲线下方时对应的自变量的区间即可． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴，解得． 设，则，且（因不与端点重合）． ∴， ∴， ∵面积，面积， ∴． （2）略 （3）解：由图可知：两个函数图像的交点坐标大约是，故时的取值范围为 【变式训练3-2】为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 【变式训练3-3】研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2) 解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）略 题型4 一次函数与反比例函数的综合应用 【例4】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【变式训练4-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 【变式训练4-2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，请直接写出x的取值范围：________； (3)请直接写出的面积：________； (4)以点为位似中心，将放大得到，其中点和点分别是点和点的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点的坐标：________． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）将点的坐标代入中即可求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，将点、点的坐标代入即可求出一次函数的解析式； （2）数形结合，找到的图象在的图象的上方部分，包括交点，此时所对应的自变量的取值范围即所求，注意反比例函数自变量的取值范围为； （3）； （4）由位似图形的面积比求出相似比，分情况讨论，把所求的比值转换成的比值． 【详解】（1）解：把代入中得， 反比例函数的解析式为， 把代入中得， ， 把、代入中得 ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）由图象可知：当或时，； （3） 与轴交于点， 令，则，解得， ， ， ； （4）， ， 当点和点分别在、的延长线上时， 此时， ； 当点和点分别在、的反向延长线上时， 此时， 综上所述：或． 1．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 2．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 3．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 4．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 5．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 【答案】C 【分析】先由直线与双曲线无交点推出与异号，再分别判断两人说法的正误． 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 6．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入一次函数表达式，得； ∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入反比例函数表达式，得，解得， ∴的值是，的值是． 7．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 【答案】 【分析】连接，由反比例函数图象的对称性可知点关于原点对称，进而知与的面积比为，从而设，根据的坐标关系建立方程即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，、关于原点对称， ， 与四边形的面积之比为， ， ， 过点B作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴， ∴， ∴，． 设，则， ∴，， ∴， ∴点B的横坐标为． ∵，即， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∴， ， ， 把代入，得， 解得， ． 12．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 【答案】 【分析】连接，，求出线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，设，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线经过，过作轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点B与点关于直线对称， ∴，． ∵， ∴ ∴设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不合题意，舍去） ∴， 则点纵坐标为． 设， ∵， ∴， 解得， ∴D点纵坐标为． 13．如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 【答案】/ 【分析】设，求出，，，由得，由得，化简后得，即可解答． 【详解】解：设，由图可知， ∴， ∵轴于点D， ∴，， ∵直线过点A， ∴，即， 将代入得，， 解得, ∴，即， 将代入得，， ∴，即， 由图可知，B在x轴负半轴，C在y轴负半轴， ∴，， ∵，B在x轴负半轴， ∴， 整理得，即， ∴，， ∵， ∴，即，得， ∵ ∴ ∴ ，即， 将代入 得 解得 ∵， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点，若点坐标为，，则的值是______． 【答案】 【分析】将点坐标代入一次函数解析式求出，过点作轴垂线构造相似三角形，利用相似比求出点横坐标，进而求出纵坐标，最后代入反比例函数求解． 【详解】解：将点代入， 得 解得 一次函数解析式为 如图，过点作轴于点 轴，轴    解得 点的横坐标为 当时， 点在反比例函数图象上 ． 15．如图，一次函数的图象与坐标轴交于和，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 或 【分析】（1）将点A和点B坐标代入即可解得一次函数的解析式，再求出点C坐标为，进而求得反比例函数的解析式； （2）联立和解出点D坐标，再结合图像判断不等式的解集． 【详解】（1）解：将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵过点C作x轴的垂线的垂足是E，且点在第一象限， ∴点C的x坐标为， 将代入得，， ∴点C坐标为， 将点C坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立和，得， 解得或， 当时，， ∵点在第三象限， ∴点D坐标为， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为或． 16．一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立一次函数与反比例函数，由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可 （2）求出点和点的坐标，进而计算出的面积． 【详解】（1）解：联立一次函数与反比例函数，得， ， 整理，得， 由题意可知，和是方程的两根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数的表达式，进而求出，将，代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得，解得：， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：由函数图象可知，当时，或． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为， (2)或． 【分析】（1）将点代入求得即可得到反比例函数解析式，进而确定，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，，先求得，再分、、三种情况列方程求得解并取符合题意的解即可解答． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 将代入， ∴，解得：， ∴． （2）解： 设，， ∵， ∴， 由为等腰三角形： ①当时，，解得： （不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为：， ②当时，，解得：（不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为； ③当时，，解得：（不合题意舍去）． 综上所述，P点的坐标为或． 19．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 【答案】(1)；2； (2) (3)，或 【分析】（1）根据表格数据先求得，进而分别将，代入解析式求得的值； （2）根据表格数据，描点，连线，即可求解； （3）过与两点画出直线，再根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方时的自变量取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵时， ∴， 当时，， 当时，； （2）略 （3）直线图略 当时自变量x的取值范围为，或 20．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)H点的坐标为________，k的值为________； (2)当时x的取值范围是________； (3)点是反比例函数图象上的点，点是x轴上的动点，当的面积为3时，请求出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)，4 (2) (3)或3 【分析】（1）先求出，再根据，得到，即可求出，代入计算即可； （2）当时，观察函数图象，在第一象限直线在反比例函数图象下方时即可得到x的取值范围； （3），延长交轴于点，求出直线的解析式为．接着求出点的坐标为，即．根据解得，解方程即可． 【详解】（1）解：由可知，即， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为1， ∵点在直线上， ∴点的纵坐标，即， ∵在上， ∴； （2）解：由函数图象可得，当时，x的取值范围是； （3）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴，解得， ∴， 延长交轴于点， 设直线的解析式为，代入，得， 解得． 直线的解析式为． 点是直线与轴的交点， 点的坐标为，即． ， ． ． ，， ． 或3． 21．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． (1)求k的值 (2)点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． (3)若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得的值； （2）利用三角形面积公式求得，即可求得点的坐标； （3）根据题意轴，结合函数的图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：正比例函数经过点， ， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）解：点是轴上的一点，的面积为3， ，即， ， 点的坐标为或； （3）解：正比例函数与反比例函数相交于点和点， ， 点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 轴， 由图象可知，当时，的取值范围或． 学科网（北京）股份有限公司 $