5.6 向量中夹角、模长、几何的最值和范围问题（精练）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 向量中夹角、模长及几何最值范围精练，分层覆盖基础运算到综合应用，通过动态几何情境提升数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（夹角、模长计算）|如单选1直接考查向量夹角公式，强化运算能力| |中档|综合应用（动态几何中的范围问题）|如单选6结合动点运动求取值范围，发展几何直观| |拔高|复杂情境（多知识点融合的最值证明）|如解答19综合梯形性质与向量运算，培养推理能力|

5.6 向量中夹角、模长、几何的最值和范围问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，进而由求出与的夹角. 【详解】，两边平方得 ， 又， ，， 所以，故， ，即， 设与的夹角为，所以， 所以，解得， 又，所以， 故与的夹角为. 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 3．（2026·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 4．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点在圆上运动，且的中点为，若点的坐标为，则的最大值为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【分析】设，由的中点为，可得，从而得，再根据模的坐标运算求解即可. 【详解】因为在圆上，设， 又因为为的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以当即时， 取最大值,为. 故选：C. 6．（2026·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 7．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 8．（25-26高三上·天津武清·期中）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围 【详解】法一：因为在上，不妨设， 则（其中） 所以 ， 因为，所以 法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点， 其中，， ∴ ∵ ∴ 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有且只有一个 C．满足的点P有且只有一个 D．满足的点P有且只有一个 【答案】ABD 【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取， ， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则， 综上，， 选项A：取，满足，此时， 因此点P不一定是的中点，故A错误； 选项B：当点P为B点或的中点时，均满足，此时点P不唯一，故B错误； 选项C：当点P为点时，且，解得，由上分析可知时为点，故C正确； 选项D：若， 当时，有，故，，此时， 当时，有，故，， 此时点P不唯一，故D错误； 故选：ABD. 10．（25-26高三上·黑龙江黑河·期末）如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 11．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 【答案】ABC 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解． 【详解】如图，建立符合题意的图形，    以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系. 设，则，. 进而，， . 因为，则，即， 选项A，. 因为，所以，进而， 所以，正确. 选项B，因为，， 所以最大值为1，进而的最大值为2，正确. 选项C，. 因为，所以，进而，正确. 选项D，，最大值为，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三上·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·河南郑州·期末）在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由题可知，，据平面向量的混合运算法则可化简得到，设函数，，由对勾函数的性质推出在上的单调性，求出最大值即可得解. 【详解】根据题意，作出如下所示图形： 因为，，所以， 又因为动点和分别在线段和上，所以，解得， ， 其中，，，， 代入并化简得， 设函数，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以的最大值在处取得，最大值为， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【答案】证明:以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可. 【详解】略. 16．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知向量，且． (1)求的坐标； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解得，结合向量线性运算的坐标表示即可求解； （2）设所求向量坐标为，则，解方程组即可； （3）根据向量的几何意义可得，结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）由， 得，即，解得， 所以， 所以. （2）由（1）知，设与垂直的单位向量的坐标为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （3）由（1）知，又， 所以， 又，则， 所以， 即的取值范围为. 17．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）在边长为2的菱形中， (1)以，为基底，分别表示和； (2)证明：； (3)点在线段上运动，求的最值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用平行四边形加法法则和三角形减法法则即可； （2）利用向量积为零来证明两直线垂直； （3）利用共线向量和向量的数量积运算，即可得到二次函数求最值. 【详解】（1）根据平行四边形向量加法法则，可得： 根据三角形向量减法法则，可得： （2）由， 由边长为2的菱形，可得， 所以，即，故AC⊥BD得证； （3） 设，其中，则： ，， 所以， 因为， 所以， 这是开口向上的二次函数，对称轴为 ​， 所以在区间上单调递增： 则当时，取得最小值，当时，取得最大值. 18．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 19．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上. (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）取的三等分点（靠近），连接，在中，由勾股定理的逆定理可得，，从而得，，在中，由余弦定理求解即可； （2）以为原点，所以直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立平面直线坐标系，设等腰梯形的高为，利用向量的坐标运算，求出的值，再由梯形的面积公式求解即可； （3）当时，由（2）可知，设，由向量的坐标运算可得，再求出，即可得答案. 【详解】（1）解：取的三等分点（靠近），连接， 易知四边形为平行四边形， 所以, 所以, 在中，, 所以, 所以为直角三角形，， 所以， 所以，， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 即； （2）解：以为原点，所以直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立如图所示的坐标系： 设等腰梯形的高为， 则有， 所以， 所以， 解得， 所以； （3）解：当时，由（2）可知， 所以，，， 设，则， 所以， 解得， 所以， 所以. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6 向量中夹角、模长、几何的最值和范围问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点在圆上运动，且的中点为，若点的坐标为，则的最大值为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 6．（2026·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津武清·期中）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有且只有一个 C．满足的点P有且只有一个 D．满足的点P有且只有一个 10．（25-26高三上·黑龙江黑河·期末）如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 11．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三上·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 13．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 14．（25-26高三上·河南郑州·期末）在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 16．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知向量，且． (1)求的坐标； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若，当时，求的取值范围． 17．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）在边长为2的菱形中， (1)以，为基底，分别表示和； (2)证明：； (3)点在线段上运动，求的最值. 18．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 19．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上. (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $