基础集训04 平面向量-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量基础与应用，以题型覆盖线性运算、数量积、坐标表示及几何应用，构建从概念到综合的知识逻辑链，适配新高考I卷一轮复习。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-4、填空12|线性运算、坐标表示、共线/垂直条件|从向量概念生成线性运算规则，通过坐标实现数与形转化| |几何应用|单选5-8、多选10-11、填空13-14|三角形/四边形向量关系、面积计算、实际情境|以三角形为载体，融合数量积几何意义，体现向量工具性| |综合拓展|解答15-19|含参数运算、仿射坐标系创新题|深化运算推理，衔接高考创新题型，培养数学思维与表达|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训04 平面向量部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：平面向量部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 1．（本题5分）在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算公式化简可得. 【详解】由题意可知，如图所示， 已知，所以，即，所以， 所以，故D正确. 2．（本题5分）已知平面向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面向量，， 若，则， 解得. 3．（本题5分）已知向量，，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】利用共线向量定理先求，再由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意，所以，所以. 4．（本题5分）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图得，， 所以. 5．（本题5分）在中，设，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案. 【详解】设与的夹角为，由， 则， 由， 则. 6．（本题5分）在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】首先由条件，经过化简可得出为等腰三角形，由条件，经过三角形边角关系的推导，可得出边长关系，最后可求出为等边三角形. 【详解】取的中点为，则， 即为的边的中垂线，即为等腰三角形； 可化简为，即，则， 则为等边三角形. 7．（本题5分）某城市规划在江边打造休闲步道，规划人员以江边入口为起点，将步道的路径分为三段：第一段从入口出发，沿正东方向直行400米到达点；第二段从点出发，沿北偏东方向直行米到达点；第三段从点出发，沿北偏西方向直行500米到达终点，则起点到终点的距离（   ） 附：． A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 【答案】B 【详解】以为坐标原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立直角坐标系， 则，， 所以，则米百米． 8．（本题5分）在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解. 【详解】由， x，， 根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.    在中，设内角所对的边分别为， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设的内切圆半径为，则，解得， 所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】借助平面向量的模长计算公式、平行与垂直的坐标运算公式逐一选项判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，所以，得，故B正确； 对于C：因为，所以，得，故C正确； 对于D：因为，即，得，故D错误. 10．（本题6分）下列说法正确的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，且在上的投影向量为，则 C．在中，点在上，，记，，则 D．若是单位向量，，向量满足，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用向量夹角的坐标表示判断A；利用投影向量的意义求解判断B；利用基底表示向量判断C；利用数量积的运算律及向量的三角形不等式求解判断D. 【详解】对于A，由，得， 因此，A正确； 对于B，由，得， 则在上的投影向量为，于是，解得，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由是单位向量，，得， 由，得，解得， 因此的最小值为，D正确. 11．（本题6分）在平面四边形中，，，，，其中．若，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】将、用基底、表示，利用平面向量数量积的运算性质结合可得出的值，可判断A选项；将用基底、表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，可判断B选项；将用基底、表示，然后利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质以及一次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，， 所以 ，解得，故A正确； 对于B选项，， 所以，故B正确； 对于C选项，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故C错误； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段的中点，则点P的坐标为_________． 【答案】 【详解】由，，得，. 因是线段的中点，由中点坐标公式得，， 故点的坐标为. 13．（本题5分）平面内有共线但不重合的三点B，C，D，对平面内任意点A满足（其中），则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用三点共线的向量性质得出，再结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】由三点共线且不重合，可知存在实数，使得， 将向量转化为以为起点的形式： ， 整理得，又， 则，，因此，其中， 所以 ， 又，当且仅当即时等号成立， 结合，得时等号成立， 所以 . 因此的最小值为. 14．（本题5分）如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________． 【答案】 【分析】以为基底向量，再结合中线向量结论，进而可得，及，再由平面向量基本定理可得相应的的值.再由线性目标函数在可行域（含边界）上的最大值必在顶点处取得，代入三点对应的的值计算并比较可得. 【详解】因为不共线，故以为基底向量. 因为是中点，所以，同理得， 因为是中点，所以，所以， ，， 综上， ， ， . 因为线性目标函数在可行域（含边界）上的最大值必在顶点处取得， 当与重合时：，得，； 当与重合时：，得，； 当与重合时：，得，； 显然，因此的最大值为. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知平面向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 则， 所以. （2）若向量与相互垂直，则， 即，解得． 16．（本题15分）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程进行求解； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组进行求解. 【详解】（1）由题得， 因为与共线，， 所以，解得． （2），即， 则， 解得． 17．（本题15分）已知. (1)若与平行，求实数的值； (2)若，且满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的坐标公式列方程计算即得； （2）利用条件求得，由向量的模的公式列方程求出的值即得.. 【详解】（1） 由 ，， 得 ， ， 因与平行，则 ， 解得 ； （2）因， 由 ，则得 ，则 ， 因，则，整理得， 解得 或 . 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合，此时. 18．（本题17分）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得； （2）由，，三点共线可得，再结合基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 又因为是的中点，所以， 又， 所以，，所以； （2）因为，， 由（1）知，， 又，，三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 19．（本题17分）如图，设，是平面内相交角为的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)向量在方向上的投影为，在方向上投影为2，求． (2)已知，，存在实数，满足． ①求，． ②记，求证：，不可能与垂直． (3)若，在正半轴上，在正半轴上，，，F为的中点，M为的中点，N为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)①； ②由①得， 所以，             若与垂直，则，即，解得．             ，，故不可能与垂直 (3) 【分析】（1）由新定义以及投影向量的公式计算； （2）①由新定义计算；②根据证明； （3）利用得出，再求出各点的坐标，利用新定义得出，记，在中利用正弦定理以及辅助角公式化简，结合三角函数求最值. 【详解】（1）由，即，             因为，分别为，同向的单位向量，与的夹角为， 所以，             因为在方向上投影为2，所以，解得． （2）已知，，， 由题意知，，，则，      ①由，得，得； ②略 （3）因为，所以， 故， 即①， 由，得，由F为中点，得， 由N为中点，得，由M为中点，得，        所以，， 故，        由①，得，        在中，由正弦定理：， 记，所以，，        即，， 故，其中 所以，        又，，故，所以， 故当时，取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训04 平面向量部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：平面向量部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知平面向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知向量，，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．4 4．（本题5分）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 5．（本题5分）在中，设，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．（本题5分）某城市规划在江边打造休闲步道，规划人员以江边入口为起点，将步道的路径分为三段：第一段从入口出发，沿正东方向直行400米到达点；第二段从点出发，沿北偏东方向直行米到达点；第三段从点出发，沿北偏西方向直行500米到达终点，则起点到终点的距离（   ） 附：． A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 8．（本题5分）在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）下列说法正确的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，且在上的投影向量为，则 C．在中，点在上，，记，，则 D．若是单位向量，，向量满足，则的最小值为 11．（本题6分）在平面四边形中，，，，，其中．若，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段的中点，则点P的坐标为_________． 13．（本题5分）平面内有共线但不重合的三点B，C，D，对平面内任意点A满足（其中），则的最小值为__________． 14．（本题5分）如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知平面向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值． 16．（本题15分）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 17．（本题15分）已知. (1)若与平行，求实数的值； (2)若，且满足，求的值. 18．（本题17分）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 19．（本题17分）如图，设，是平面内相交角为的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)向量在方向上的投影为，在方向上投影为2，求． (2)已知，，存在实数，满足． ①求，． ②记，求证：，不可能与垂直． (3)若，在正半轴上，在正半轴上，，，F为的中点，M为的中点，N为的中点，求的最大值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $