分层练39平面向量基本定理及坐标表示专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖平面向量基本定理及坐标表示全考点，以题载法构建“概念-运算-应用”逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（选择/填空/解答）|侧重基本定理应用、坐标运算及平行判定|从基本定理（概念生成）到坐标表示（原理推导），夯实运算能力| |B级能力提升|4题（选择/填空/解答）|突出几何综合（面积比、外心）与最值问题|延伸至向量几何应用（拓展延伸），发展逻辑推理与模型意识|

分层练39平面向量基本定理及坐标表示 【A级基础巩固】 1,在下列向量组中，可以把向量“=(3,2)表示出来的是( ) Ae1=(0,0),e2=(1,2) B.e,=(-1,2),e2=(5,-2) c.e=(3,5),e2=(6,10) D.e=(2,-3),e2=(-2,3) 2. 己知向量a=(5,2),b=(4,-3),c=(x,月，若3a-2b+c=0,则c=() A.（-23,-12)B(23,12) c.(7,0) D.(-7,0) 3.(多选)已知向量a=(2,-),b=（-l,3),则下列向量与2a+b平行的是( B.(0,-3) c(4-2) 引 BA+-BC=2BE 4.已知E为△ABC所在平面内的点，且 若CE=mAB+nAC,则m( 1 1 A-3 B.3 C.3 D.3 5.如图，已知AB=a,4C=b,BC=4BD,C=3CE,则DE=( ) 3b-1 A.4630 53b B.124 3a-Ib 5, C.43 3 a B D D.124 6.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题（向量b,c 和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是() A.给定向量b,总存在向量c,使a=b+c B.给定向量b和C,总存在实数元和“，使a=b+c C.给定单位向量b和正数“，总存在单位向量c和实数入，使a=b+心 D给定正数元和“，总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+uc 7.(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O,D为线段OA的中点，E为BC的中点，则 BD=() 2BA+LBC 4BA-IBC A. 6 B. 6 BA+AE 2BA+,A正 c. D.3 8.若P(,3),B(4,0),且P是线段PB的一个三等分点（靠近点），则点P的坐标为 9.已知向量m=(+1,),n=(a+2,2)若2m+m)/(m-2m）,则元=一 AC-.D 10.在△AOB中， 为OB的中点，若DC=OA+uOB,则4的值为 11.已知A(-2,4),B(3,-),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3沁，C=-2b (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n: (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标. 12.如图，在△ABC中， -+c (I)求△ABM与△ABC的面积之比： (2)若N为AB中点，AM与CN交于点P,且 M AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值 【B级能力提升】 AD=IDC 13.在△ABC中，D为AC上一点且满足 3,若P为BD上一点，且满足 花=元AB+uAC(2,为正实数)，则下列结论正确的是( 1 A.的最小值为16 B.的最大值为16 1,1 1,1 C.元4“的最大值为16 D.元4“的最小值为4 14.在△ABC中，AB=2,AC=3,A=60,0为△ABC的外心若A0=xAB+yAC,x,y∈R, 则2x+3y= 15.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若 AP=AB+uAD,则九+“的最大值为 16.如图，在直角梯形ABCD中， D4=2,∠CDA-D1=2C8,∠ 为直角，E为AB 的中点，DP=DC(a∈R0≤≤1) 1 (I)当3时，用向量DC,DA表示向量PE: ②求P四的最小值，并指出相应的实数入的值 参考答案 1B[对于A,C,D都有S/I6,所以只有B成] 2.A由题意可得3a-2b+c=3(5,2)-2(-4.-3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0.0), 23+x=0, x=-23, 所以12+y=0,解得y=-12, 所以c=(（23,-12) 3.AD[因为a=(2,-),b=（1,3),所以2+h=(3,1）,故若向量八满足3y-x=0,测该向 量与2a+b平行.检验易知A,D符合题意] 4A[因为BE=BC+CE】 BA+IBC=2BE=2(BC+CE) 则 ,所以 2证=C-ac-)}C历-}-}c ,所以 4 ,所以 m=}n=3”-3 n=- 4， 4,故m :故选A] DDE=0c+E-c+a-c-丽-c-4c-0-0 -a 3 12 4 6124] 6.AB[:向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，b≠0，c≠0，给定向量a和b,只需求 得其向量是a-b,即为所求的向量C,故总存在向量C,使a=b+C,枚A正确；当向量b, C和a在同一平面内且两两不共线时，向量b,C可作基底，由平面向量基本定理可知结论成 立，故B正确； 取a=(4),山=2，b=(L,0),无论元取何值，向量都平行于x轴，而向量心的模恒等于 2,要使a=+1C成立，根据平行四边形法则，向量1C的纵坐标一定为4，故 找不到这样的单位向量C使等式成立，故C错误 因为九和“为正数，所以b和HC代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量 a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使8=+4C成立，故D错误故选 AB.] 7.AC[如图所示，则 而-+而-+c-+丽+到=-写+片c-号M+名c 故选AC] 8.(2,2[由题意得 p-写职阴-8-)P刊-y-)6-)以 x=2,y=2,则点P(2,2)] 9.0由题意得2m+n=(（3元+4,4)】 m-2n=(-元-3，-3) :(2m+n)/(m-2n) -33元+4)-4(-元-3)=0，解得元=0. C4C-(08-01 D=10B 10.25[因为 ,所以 ,因为D为OB的中，点，所以 c-D0+0c=-号0丽+oi+4C)=-丽+0i+5(o丽-0网-g0i-8o0 所以 λ= 6 10,周的值为25 11、解由已知得4=(5，-5)，b=(6,-3)c=(1,8) 03a+b-3c=35,-5)+(-6-3)-30,8)=(15-6-3,-15-3-24)=6,42) (2②法-mb+c=(6m+,-3m+8m） 6m+n=5 m=-1, -3m+8n=-5,解得n=-l. 法二a+b+c=0, ..a=-b-c 又a=mb+nc m=-1, .∴.mb+nc=-b-c,∴. n=-1, (3)设0为坐标原点， ..CM =OM-OC=3c 0M=3c+0C=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),.M(0,20) 又CN=0N-0C=-2b ∴0N=-2b+0C=(12,6)+(-3,4)=(9,2),.N(9,2).MN=(9,-18) 12.解(1)在△ABC中， AM-34B+1AC 得4AM-3AB-AC=0 中3(4M-8)=4C-A 即3BM=MC 即点M是线段BC上的靠近B的四等分点， 1 :∴△ABM与△ABC的面积之比为4 AM-34B+1C (2) 4 4 AP=xAB+yAC(x,y∈R) AP//AM.AN=I AB AC P=AM-3汉B+ 设 4 4 =32m+2AC 2 4 322=1 N,,C三点共线，”24， 74上3孔311 4 解得 47 = x+y= =4-7,故 7 AD=1DC 13.BD[因为D为AC上-点且满足 ,所以AC=4AD,因为AP=元AB+AC,所 以MP=元AB+4山AD,因为P为BD上一点，所以B,P,D三点共线，则有乙+4μ=1，由蒸本不 等式可得1=元+44≥22：4u=44u≤， 1 2=44= :16,当且仅当 2时取等号，故业 1 的最大值为16，故A错误，B正确； (2+4川)=2+ 2+44≥2+2、 44.元=4 442 =4u= ,当且仅当 时 1+1 取等号，故几4的最小值为4，故C错误，D正确。] 5 143[知图所示，过0作三角形三边的垂线，垂足分别为D,E,F,且D,E,F为所在边的中点，过 c0s60=1B+AC2-BC24+9-BC2 O分别作AB,AC的平行线N0,M0.由题意 2·AB·AC 12 解得BC=V7 B BC r= -V21 则△ABC的外接圆半径2sin60 3.因为OD⊥AB 所以 000-g1-2 .又因为∠DM0=60, DM= ,M0=4 所 3W=M0= M= 则 由题意可知A0=xAB+yAC=AM+AN AM 1 X= 所以AB 6、4 AC 9 2x+3y= 所以 15.3[如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系， B(1,0),D(0,2),C(L2),直线BD的方程为BD:y=-2x+2 ⊙C方程为： (x-1+(y-2)}2=r2 又AB=(（1,0),AD=(0,2) 则4P=AB+uAD=(,24） 2 r=. 圆与直线BD相切，则半径 P点坐标可表示为 x=1+cos0=元，y=2+sin0=24,则 2+4-=2+5n0+os0=2+55n(0+p） 2 + 5x2=3 当sin(0+p)=l时，有最大值，为 -X- 2V5 1=1 DP=IDC 16.解(1)当 3时， 丽何m+丽列-o-丽+(c+列-m-c+c+号网c+D PE-(P4+PB) (2) [(DA-DP+(Pc+cB】 =Di-Dc+1-Ac+号网 -0i+0-240c 0+12c 马痴DC=Dd=2 p听-2i,-x+0-2mm--+?--g 4 3W5