5.7 复数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，通过分层题型构建从基础到综合的知识网络，强化数学运算与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念与运算|8选择+3填空|考查实部虚部、共轭复数、纯虚数判断，覆盖四则运算|从复数代数形式定义出发，通过运算规则建立概念间联系| |几何意义与模|3多选+2解答|结合复平面位置、模的几何意义及方程应用|由复数与复平面点的对应关系，延伸至模的计算与图形表征| |三角形式与应用|1选择+3解答|涉及棣莫弗定理及三倍角公式推导，体现知识迁移|从三角形式定义到乘积运算，推导三角恒等式，培养推理能力|

5.7 复数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·山西长治·期末）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 2．（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知复数的共轭复数为，则下列各式的运算结果是纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山西长治·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津·期末）已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南娄底·期末）任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（   ） A．1 B．0 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 10．（25-26高三上·重庆綦江·期末）已知为虚数单位，，则下列说法中正确的是（     ） A．若为正整数，则 B．若，则在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 C． D．若复数是关于的方程的一个根，则 11．（25-26高三上·广东珠海·期末）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·北京·期末）已知为虚数单位，则__________. 13．（25-26高三上·河北沧州·期末）在复平面内，复数，，对应的点分别为，，．若复数，则的共轭复数________． 14．（25-26高三上·河北·期末）已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·天津津南·期末）已知i是虚数单位，复数，． (1)当时，求； (2)若，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于上，求的值． 16．（25-26高三上·河南新乡·阶段检测）已知复数． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值 17．（25-26高三上·山东济南·期末）已知复数，，且是纯虚数． (1)求a； (2)求； (3)求的值． 18．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是虚数单位，复数满足． (1)求的虚部与； (2)为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； (3)复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19．（25-26高三上·河南安阳·阶段检测）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 复数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·山西长治·期末）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以，，故. 2．（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可. 【详解】因为，所以移项化简得， 所以. 3．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知复数的共轭复数为，则下列各式的运算结果是纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数的共轭复数为， 对于A，是实数，A不是； 对于B，是实数，B不是； 对于C，是纯虚数，C是； 对于D，，D不是. 4．（25-26高二下·山西长治·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，，，则. 5．（25-26高三上·天津·期末）已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 故的虚部为. 6．（25-26高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法求根得，进而求解复数模长得结论． 【详解】复数满足， 即，可得， 则． 故选：B． 7．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由复数在复平面内对应的点在第三象限， 得，解得，即. 8．（25-26高三上·湖南娄底·期末）任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解. 【详解】，故， 由于的周期均为， 因此也是以3为周期， 由于， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【分析】通过复数运算法则化简求出，再依次验证的表达式、的虚部、与其共轭复数的乘积、在复平面内对应点所在象限这四个选项的正误. 【详解】对于A：，所以，A错误； 对于B：，其虚部为，B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：在复平面内对应的点为，它在第四象限，D错误. 10．（25-26高三上·重庆綦江·期末）已知为虚数单位，，则下列说法中正确的是（     ） A．若为正整数，则 B．若，则在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 C． D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：设复数在复平面上的点为，则表示点到的距离， 则表示， 则点的集合为以为圆心，，为半径的圆环，其面积为，故B正确； 对于C：设，则，故C正确； 对于D：由题意得，，即， 则，得，则，故D正确. 11．（25-26高三上·广东珠海·期末）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·北京·期末）已知为虚数单位，则__________. 【答案】 【详解】， 故 13．（25-26高三上·河北沧州·期末）在复平面内，复数，，对应的点分别为，，．若复数，则的共轭复数________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，求得，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，，对应的点分别为，，， 可得， 则， 所以 14．（25-26高三上·河北·期末）已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】设复数，则，， ，， 由于复数满足，且，所以，解得， 因此，所以复数在复平面内对应的点的坐标为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·天津津南·期末）已知i是虚数单位，复数，． (1)当时，求； (2)若，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由共轭复数定义结合题设可得答案； （2）由复数相等条件可得对应方程，据此可得答案； （3）由复数几何意义结合题设可得答案. 【详解】（1）当时，，则； （2）由题可得； （3）由题可得在上，则. 16．（25-26高三上·河南新乡·阶段检测）已知复数． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数中，当时，复数为纯虚数，根据题干所给复数形式代入计算即可； （2）根据复数是二次方程的根可将复数代入二次方程中整理，令实部与虚部均为0即可求解． 【详解】（1）因为 由是纯虚数得，解得； 所以当是纯虚数时， （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 所以，即， 整理得 所以，解得． 17．（25-26高三上·山东济南·期末）已知复数，，且是纯虚数． (1)求a； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)-4 【分析】（1）利用纯虚数的定义求解即可； （2）利用复数的乘法公式得到，利用共轭复数的定义即可求解； （3）利用复数模的公式求解即可. 【详解】（1）由条件可得，若是纯虚数， 则满足，解得． （2）由（1）知，所以， 得到的共轭复数为． （3）由（1）知，根据模的计算公式得，即． 又因为，根据模的计算公式得，即． 所以． 18．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是虚数单位，复数满足． (1)求的虚部与； (2)为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； (3)复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)虚部为，； (2)， (3)且 【分析】（1）化简复数，即可求出复数的虚部和模； （2）由（1）可求出，再根据纯虚数的定义即可求出； （3）先求出复数，再根据其在复平面内对应的点在第二象限，求出的取值范围即可. 【详解】（1）由，所以的虚部为，； （2）由（1）可得，则，又为纯虚数，所以； （3）因为，且在复平面内对应的点在第二象限， 所以，故且． 19．（25-26高三上·河南安阳·阶段检测）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3) 设， 则， 但 ， 故，. 【分析】（1）提取复数的模长，将其代数形式转化为标准三角形式； （2）利用，设，代入并通过模长公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数值域求最值； （3）设单位复数，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算，对比实部、虚部推导三倍角公式. 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）公式推导略. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $