平面向量与复数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与复数基础概念及综合应用，通过分层题型构建从概念理解到问题解决的知识网络，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|12题（含3道解答题）|涵盖向量夹角、投影、线性运算、数量积及几何应用，包含动点最值等综合题|从向量基本概念（模、夹角）到线性运算、数量积，再到几何图形中的应用，形成"概念-运算-应用"逻辑链| |复数|7题（含2道解答题）|涉及复数象限判断、实部虚部、模与最值、运算性质，含多选题辨析概念|从复数定义（实部虚部）到几何意义（复平面）、运算规则，再到方程应用，体现"定义-表示-运算-应用"递进关系|

单元集训卷17　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 5．已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 6．在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 10．下列结论中，正确的是（　　） A．若向量，，且，则 B．若，，与的夹角为，则 C．已知向量，，则 与的夹角为 D．若向量，，且//，则 11．在菱形中，，，与交于点，，分别是边，上的动点，且满足，，连接，则下列说法正确的是（    ） A．当时，向量在向量上的投影向量为 B．当，时， C．当，时， D．当经过中点时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数，则________． 13．已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则_____. 14．已知，，，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量与的夹角为，，． (1)求和的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．已知复数，（，是虚数单位）． (1)若复数在复平面上的对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 17．已知复数，其中. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 18．已知，，与的夹角为45°. (1)求在方向上的投影向量； (2)求的值； (3)若向量与平行且方向相同，求实数. 19．如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷17　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意知，，则， ，则不成立，A错误； ，，则与不平行，B错误； ，，则不成立，C错误； ，则， 则， 又，，D正确． 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】依题意，复数，则， 因此在复平面内对应的点位于第一象限. 3．如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 4．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数. 【详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 5．已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定三角形形状，再建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解. 【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 故选：C 6．在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的坐标表示结合复数模的几何意义计算可得. 【详解】由题意可得，则，所以，对应点. 表示复数在复平面对应的点，在以原点为圆心、半径的圆上. 的几何意义是：圆上的点到定点的距离. 先算原点到定点的距离， 因此的最大值为. 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 8．在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：     ，， 设，则，，则，. 令，则，. ； 的最小值为，，，解得. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的相关概念及除法运算逐项判断. 【详解】对于A，由纯虚数不能比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，若，根据复数虚部的概念，得的虚部为，故C正确； 对于D，，所以，故D正确. 10．下列结论中，正确的是（　　） A．若向量，，且，则 B．若，，与的夹角为，则 C．已知向量，，则 与的夹角为 D．若向量，，且//，则 【答案】AB 【分析】直接利用向量的共线的充要条件的应用，向量垂直的充要条件的应用，向量的模的应用，向量夹角公式的应用求出结果． 【详解】A.因为，所以，解得，故A正确； B.因为，所以，故B正确； C.因为，所以与夹角的大小为，故C不正确， D.因为//，根据公式，解得或，所以D不正确， 故选：AB． 11．在菱形中，，，与交于点，，分别是边，上的动点，且满足，，连接，则下列说法正确的是（    ） A．当时，向量在向量上的投影向量为 B．当，时， C．当，时， D．当经过中点时， 【答案】BCD 【分析】对于A，建立平面直角坐标系，求出，代入投影向量公式求解即可；对于B，根据向量的模长公式求解即可；对于C，根据向量数量积的坐标表示求解即可；对于D根据向量共线的坐标表示可整理得到，即. 【详解】以为原点，以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，当时，为中点，则，所以，. 向量在向量上的投影向量为，A错误. 对于B，当，时，为中点，与重合，则，， 所以，故，B正确. 对于C，当，时，，，则， 所以，，所以，C正确. 对于D，由，则得， 由，则得， 设的中点为，则，，. 因为，，共线，所以与共线，即， 整理得，即，故，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数，则________． 【答案】 【分析】先根据复数三角形式乘法法则化简复数，再计算其共轭复数的模 【详解】 . 13．已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则_____. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及向量数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为单位向量，得， 则①; 又由，两边取平方，得，即， 将其代入①，可得，即, 而，故. 14．已知，，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】不妨设，利用坐标法计算，结合一元二次函数求最值. 【详解】不妨设， 则，则， 因为， 所以 ， 当时，有最小值，最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量与的夹角为，，． (1)求和的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数量积的定义求，根据数量积的运算律求的值. （2）根据，且向量与不共线，列式求的取值范围. 【详解】（1）由题意， 因为，所以. （2）由， 所以，解得. 由. 综上，当时，向量与的夹角为锐角. 16．已知复数，（，是虚数单位）． (1)若复数在复平面上的对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的加法求，根据其所在的象限可得，即可求的范围； （2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求. 【详解】（1）． ∵在复平面内对应的点落在第一象限， ∴，解得：． ∴实数的取值范围是； （2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，． ∴也是实系数一元二次方程的根， ∴，可得，. ∴的值为13. 17．已知复数，其中. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析出若是纯虚数，需满足实部为0且虚部不为0，据此列出方程组，计算即可求出m的值； （2）分析出若z在复平面内对应的点位于第二象限，需满足实部小于0且虚部大于0，据此列出不等式组，计算即可求出m的取值范围. 【详解】（1）若z是纯虚数，则需满足， 由解得或， 由解得且， 综上，实数m的值为； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足①， 由解得， 由解得或， 所以不等式组①的解为， 即实数m的取值范围为. 18．已知，，与的夹角为45°. (1)求在方向上的投影向量； (2)求的值； (3)若向量与平行且方向相同，求实数. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案； （2）平方后求出，得到模长； （3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案. 【详解】（1）∵，，与的夹角为45°， ∴， ∴在方向上的投影向量为； （2）∵， ∴； （3）∵与平行， ∴ ∴，解得：或， 当时，，此时方向相同 当时，，此时方向相反，故舍去. ∴ 19．如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合和为三等分点的条件，将用表示，再通过向量加法得到和. （2）先由已知条件计算 和，再利用向量模长公式计算 . （3）利用向量夹角公式，先计算和，再求出 ，进而得到 . 【详解】（1）因为，所以，， 因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，， 所以，． （2）由可知，的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. （3）由图形可知，的大小等于与的夹角， 由（1）（2）可得，， ， 所以， 又，则，故． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $