专题27 不等式的基本性质（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以不等式基本性质为核心，通过7类题型构建“概念-模型-推理-应用”的完整方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的性质|1典例+3变式|性质1（加减不变向）、性质2（乘除正不变负变向）|从概念定义到直接应用，突出符号变向易错点| |比较大小（天平/数轴）|各1典例+3变式|天平：看图列式→性质变形→消同比异；数轴：右数大|直观模型与数形结合，实现抽象知识可视化| |证明与作差法|各1典例+3变式|证明：条件圈划→变形定法→性质选证；作差法：差式计算→符号判断→大小结论|逻辑推理与代数运算结合，培养严谨思维| |变形为x＞a/x＜a|1典例+3变式|性质1/2逆向应用，分步标注变形依据|性质深化应用，为解不等式奠定基础|

专题27 不等式的基本性质 （题型突破·举一反三） 题型01 不等式的性质 题型02 不等式的性质比较大小（天平） 题型03 不等式的性质比较大小 题型04 比较大小（数轴） 题型05 利用不等式的性质进行证明 题型06 作差法比较大小 题型07 不等式变形为x＞a或x＜a的形式 ▌题型01 不等式的性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc或； 如果 a>b， c<0，那么ac<bc或. 【典例1】（2026春•皇姑区校级期末）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＞0 B．a+m＞b+m C．﹣3a＞﹣3b D．2a＞2b 【变式1-1】（2026春•文山市期末）若x＜y，则下列不等式不正确的是（　　） A．x+5＜y+5 B．x﹣1＜y﹣1 C． D．﹣2x＜﹣2y 【变式1-2】（2026春•黄山期末）下列变形正确的是（　　） A．由﹣x＞5，得x＞﹣5 B．由，得x≥﹣3 C．由x＞y，得xz2＞yz2 D．由xz2＞yz2，得x＞y 【变式1-3】（2026春•北流市期末）已知a＜b，下列结论中成立的是（　　） A．a+1＞b+1 B．﹣3a＞﹣3b C． D． ▌题型02 不等式的性质比较大小（天平） （1） 看图写不等式，直接把天平状态写成：左＞右或左＝右或左＜右； （2）用不等式性质变形； （3）消掉相同的，比剩下的，天平两边同时拿走一样重的东西，大小关系不变。 【典例1】（2026春•怀仁市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026春•奈曼旗期末）如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10千克，则图中显示物体质量的范围是（　　） A．大于20千克 B．小于30千克 C．大于20千克且小于30千克 D．大于20千克或小于30千克 【变式1-2】（2026春•龙岗区期末）如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025春•浦东新区月考）设A，B，C表示三种不同的物体，先后用天平称了两次，情况如图所示，则这三个物体按质量从大到小应为（　　） A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．A＞C＞B ▌题型03 不等式的性质比较大小 利用不等式的性质比较大小，作差，变形，判断符号，下结论。 【典例1】（2025秋•黄浦区校级月考）当x＞y时，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． （1）∵x＞y，﹣3＜0， ∴﹣3x　 　 ﹣3y（　 　　 　　 　　 　　 ）， ∴﹣3x+5　 　 ﹣3y+5（ 　　 　　 　　 　　　 ）． （2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为　 　 ．（直接写出答案） 【变式1-1】（2025秋•海盐县期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知x＞y，试比较﹣2x+2025与﹣2y+2025的大小． 解：∵x＞y，① ∴﹣2x＞﹣2y，② ∴﹣2x+2025＞﹣2y+2025．③ （1）小华的解题过程中，从步骤　　 开始出现错误（填写序号）； （2）请写出正确的解题过程． 【变式1-2】（2025•宜春校级开学）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知n＜0，试比较：与的大小． 解：∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得 ，第一步 ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得．第二步 （1）上述解题过程中，从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是　 　　 　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【变式1-3】（2025•青秀区校级开学）阅读下述材料完成问题． 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 解：因为a＞b，所以a+c＞b+c．① 又因为c＞d，所以b+c＞b+d．② 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性， 所以由①②，可得a+c＞b+d． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若x＞1，y＞2，那么x+y＞1+2，即x+y的取值范围是x+y＞3． （1）根据上述性质解决问题：若x＜1，y＜3，则x+y的取值范围是　 　 ；若﹣1＜x＜2，0＜y＜1，则x+y的取值范围是　 　　 　 ； （2）【性质应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 解：由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3． 将x＝y﹣3代入x＜﹣1得， y﹣3＜﹣1， 即y＜2． 又因为y＞1， 所以1＜y＜2． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 （3）【拓展提升】已知x+y＝3，且x＞2，y＞﹣2，则2x﹣y的取值范围是　 　　 　 ． ▌题型04 比较大小（数轴） 数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。 【典例1】（2026•庆元县二模）在数轴上表示数a的点如图所示，则3a与2a的大小关系是（　　） A．3a＜2a B．3a≤2a C．3a＞2a D．3a≥2a 【变式1-1】（2025秋•宜春期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”或“＜”填空： b﹣c　 　0，a+b　 　 0，c﹣a　 　 0； （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|． 【变式1-2】（2025秋•长沙县期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等． （1）填空：a﹣c　 　 0，b﹣a　 　0，b﹣d　 　 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d|； （3）若|a|＝|e|，|b|＝3，则b﹣e的值是　 　 ． 【变式1-3】（2026春•秦淮区期中）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b． （1）a+b　 　 0，a﹣b　 　 0（用“＞”、“＝”和“＜”填空）； （2）比较a2与b2的大小，并说明理由（已知a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b））． ▌题型05 利用不等式的性质进行证明 1. 看条件：圈出题干给出的已知大小关系； 2. 定变形：确定要做加、减、乘、除，重点判断乘数正负； 3. 选性质：乘除负数，记得改变不等号方向； 4. 递推写结论：步步写明依据，完成证明。 【典例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果，那么．” 【变式1-1】（25-26七年级下·海南海口·期末）【阅读理解】 在证明命题“如果、、、都是正数，且，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：，是正数， ________． ，是正数， ________． （不等关系具有传递性）． 【问题解决】 (1)请将上述的证明过程填写完整； (2)若，是负数，请求证． 【变式1-2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c，d为四个互不相等的有理数． (1)如果，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解：， __________， 又， （__________）， ． (2)如果a，b，c，d都是正数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）利用不等式的相关性质，判断命题“如果、、、都是正数，且、，那么”的真假性，并证明你的结论． ▌题型06 作差法比较大小 要比较两个代数式 、 的大小，计算的结果，通过差的正负判断大小： 则； ； 。 【典例1】（2025•泰州二模）已知a＞b，则2﹣a与3﹣b的大小关系是（　　） A．2﹣a＞3﹣b B．2﹣a＝3﹣b C．2﹣a＜3﹣b D．无法比较 【变式1-1】已知x＜y，比较﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小，结果正确的是（　　） A．﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3 B．﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3 C．﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3 D．﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3 【变式1-2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5和-6的大小： ， ． (1)请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果，那么． (2)已知，请用求差法比较与的大小． 【变式1-3】利用不等式（或等式）的基本性质，解答下列问题： (1)如果，那么　　　　　；如果，那么　　　　　；如果，那么　　　　　． (2)比较与的大小； (3)若，，①比较与的大小；②比较与的大小． ▌题型07 不等式变形为x＞a或x＜a的形式 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc或； 如果 a>b， c<0，那么ac<bc或. 【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式变形为或的形式． （1），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得_____； （2），根据不等式的性质_____，不等式两边都______，得______； （3），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得______． 【变式1-1】（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【变式1-2】根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）． （2）． 【变式1-3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）依据不等式的性质，把下列不等式化成或的形式： (1) (2) (3) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27 不等式的基本性质 （题型突破·举一反三） ▌题型01 不等式的性质 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型02 不等式的性质比较大小（天平） 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】A． ▌题型03 不等式的性质比较大小 【典例1】 【解答】解：（1）∵x＞y，﹣3＜0， ∴﹣3x＜﹣3y（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变）， ∴﹣3x+5＜﹣3y+5（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． 故答案为：＜；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；＜；不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变； （2）∵x＞y且（a﹣3）x＜（a﹣3）y， ∴a﹣3＜0， 解得：a＜3． 故答案为：a＜3． 【变式1-1】 【解答】解：（1）小华从步骤②开始出现错误．因为根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数﹣2，不等号方向应该改变，而小华没有改变不等号方向，所以步骤②错误． 故答案为：②； （2）正确解题过程： ∵x＞y， ∴﹣2x＜﹣2y（不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变）， ∴﹣2x+2025＜﹣2y+2025（不等式两边同时加2025，不等号方向不变）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变， 故答案为：一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得， ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵x＜1，y＜3， ∴x+y＜1+3，即x+y＜4， ∵﹣1＜x＜2，0＜y＜1， ∴﹣1+0＜x+y＜2+1，即﹣1＜x+y＜3， 故答案为：x+y＜4；﹣1＜x+y＜3． （2）由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3， 将x＝y﹣3代入x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2， ∵y＞1， ∴1＜y＜2， ∴2＜2y＜4， ∴2﹣3＜2y﹣3＜4﹣3，即﹣1＜y+y﹣3＜1， ∴﹣1＜x+y＜1． （3）∵x+y＝3， ∴x＝3﹣y， ∴2x﹣y ＝2（3﹣y）﹣y ＝6﹣2y﹣y ＝6﹣3y， ∵x＞2， ∴3﹣y＞2， ∴﹣y＞﹣1， ∴y＜1， ∵y＞﹣2， ∴﹣2＜y＜1， ∴﹣3＜﹣3y＜6， ∴3＜6﹣3y＜12， ∴3＜2x﹣y＜12， 故答案为：3＜2x﹣y＜12． ▌题型04 比较大小（数轴） 【典例1】 【解答】解：由数a在数轴上的位置可知：a＜0， ∴3a﹣2a＝a＜0， ∴3a＜2a， 故选：A． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵大数减小数结果是正数，小数减大数结果是负数， a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞； （2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， ∴|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a| ＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a ＝a﹣2b﹣c． 【变式1-2】 【解答】解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e， ∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0， 故答案为：＜；＞；＜； （2）|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d| ＝﹣a+c﹣（b﹣a）﹣（b﹣d） ＝﹣a+c﹣b+a﹣b+d ＝c+d﹣2b； （3）∵|a|＝|e|， ∴a、e互为相反数， ∴c是原点， ∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等， ∴b＝﹣3，e＝6， ∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由所给数轴可知， a＜0＜b且|a|＜|b|， 则a+b＞0，a﹣b＜0． 故答案为：＞，＜； （2）a2＜b2，理由如下： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 因为a+b＞0，a﹣b＜0， 所以（a+b）（a﹣b）＜0， 所以a2＜b2． ▌题型05 利用不等式的性质进行证明 【典例1】 【详解】证明：∵， ∴， ∴ 即 ∴． 【变式1-1】 【详解】（1）证明：，是正数， ． ，是正数， ． （不等关系具有传递性）． （2）(2)证明：，是负数， ， ，是负数， ， ，是负数， ∴， ． 【变式1-2】 【详解】（1）解：， ， 又， （不等式两边加同一个数，不等号的方向不变）， ； （2），理由如下： ，， ， ，， ， ， ． 【变式1-3】 【详解】解：该命题是真命题， 证明：∵、、、都是正数，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该命题是真命题． ▌题型06 作差法比较大小 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】 【详解】（1）解：如果，两边都加b，那么；如果，两边都加b，那么；如果，两边都加b，那么； （2）解：， 分三种情况讨论∶ 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； （3）解：①， ． ， ， ； ②， ∴不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 又， ，即． ▌题型07 不等式变形为x＞a或x＜a的形式 【典例1】 （2），根据不等式的性质，不等式两边都乘以，得； （3），根据不等式的性质，不等式两边都除以，得． 【变式1-1】 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 【变式1-2】 【详解】解：（1）将两边都除以， 得． （2）将两边都减， 得， 即， 两边都除以3， 得． 【变式1-3】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27 不等式的基本性质 （题型突破·举一反三） 题型01 不等式的性质 题型02 不等式的性质比较大小（天平） 题型03 不等式的性质比较大小 题型04 比较大小（数轴） 题型05 利用不等式的性质进行证明 题型06 作差法比较大小 题型07 不等式变形为x＞a或x＜a的形式 ▌题型01 不等式的性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc或； 如果 a>b， c<0，那么ac<bc或. 【典例1】（2026春•皇姑区校级期末）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＞0 B．a+m＞b+m C．﹣3a＞﹣3b D．2a＞2b 【分析】根据不等式性质即可解答． 【解答】解：A选项，若a＜b，则a﹣b＜0，故A错， B选项，若a＜b，则a+m＜b+m，故B错， C选项，若a＜b，则﹣3a＞﹣3b，故C正确， D选项，若a＜b，则2a＜2b，故D错． 故选：C． 【变式1-1】（2026春•文山市期末）若x＜y，则下列不等式不正确的是（　　） A．x+5＜y+5 B．x﹣1＜y﹣1 C． D．﹣2x＜﹣2y 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【解答】解：A．∵x＜y， ∴x+5＜y+5，故该选项不符合题意； B．∵x＜y， ∴x﹣1＜y﹣1，故该选项不符合题意； C．∵x＜y， ∴，故该选项不符合题意； D．∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•黄山期末）下列变形正确的是（　　） A．由﹣x＞5，得x＞﹣5 B．由，得x≥﹣3 C．由x＞y，得xz2＞yz2 D．由xz2＞yz2，得x＞y 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、∵﹣x＞5， ∴x＜﹣5，原变形错误，不符合题意； B、∵， ∴x≥﹣12，原变形错误，不符合题意； C、∵x＞y，当z2＝0时，xz2＝yz2， ∴xz2≥yz2，原变形错误，不符合题意； D、∵xz2＞yz2， ∴z2＞0， ∴x＞y，正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2026春•北流市期末）已知a＜b，下列结论中成立的是（　　） A．a+1＞b+1 B．﹣3a＞﹣3b C． D． 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可得出结论． 【解答】解：A、不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∵a＜b，∴a+1＜b+1，故A错误； B、不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故B正确； C、不等式两边乘正数再加同一个数，不等号方向不变，∵a＜b，∴，故，故C错误； D、由于未给出c的符号，当c＜0时，不等式两边除以c后不等号方向改变，得，故D不恒成立． 故选：B． ▌题型02 不等式的性质比较大小（天平） （1） 看图写不等式，直接把天平状态写成：左＞右或左＝右或左＜右； （2）用不等式性质变形； （3）消掉相同的，比剩下的，天平两边同时拿走一样重的东西，大小关系不变。 【典例1】（2026春•怀仁市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据天平的倾斜方向列出不等式组，求出的取值范围，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由右图可知，物体的质量小于3个砝码的质量， ∴，即， 由左图可知，物体的质量大于1个砝码的质量， ∴， ∴物体的质量的取值范围是， 在数轴上表示时，3和9处应为空心圆圈，且取两点之间的部分，观察选项，只有A选项符合． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•奈曼旗期末）如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10千克，则图中显示物体质量的范围是（　　） A．大于20千克 B．小于30千克 C．大于20千克且小于30千克 D．大于20千克或小于30千克 【分析】根据题意可以直接得到物体质量的范围． 【解答】解：天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10千克， 由图可得物体质量大于2个砝码的质量之和，即大于20千克． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•龙岗区期末）如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式的定义，即可解答． 【解答】解：如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为， 故选：C． 【变式1-3】（2025春•浦东新区月考）设A，B，C表示三种不同的物体，先后用天平称了两次，情况如图所示，则这三个物体按质量从大到小应为（　　） A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．A＞C＞B 【分析】根据题意可得：A＞B，3C＝B+C，从而可得2C＝B，进而可得B＞C，即可解答． 【解答】解：由题意得：A＞B，3C＝B+C， ∴2C＝B， ∴B＞C， ∴A＞B＞C， 故选：A． ▌题型03 不等式的性质比较大小 利用不等式的性质比较大小，作差，变形，判断符号，下结论。 【典例1】（2025秋•黄浦区校级月考）当x＞y时，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． （1）∵x＞y，﹣3＜0， ∴﹣3x　 　 ﹣3y（　 　　 　　 　　 　　 ）， ∴﹣3x+5　 　 ﹣3y+5（ 　　 　　 　　 　　　 ）． （2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为　 　 ．（直接写出答案） 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）由x＞y得到（a﹣3）x＜（a﹣3）y，可得a﹣3＜0，进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵x＞y，﹣3＜0， ∴﹣3x＜﹣3y（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变）， ∴﹣3x+5＜﹣3y+5（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． 故答案为：＜；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；＜；不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变； （2）∵x＞y且（a﹣3）x＜（a﹣3）y， ∴a﹣3＜0， 解得：a＜3． 故答案为：a＜3． 【变式1-1】（2025秋•海盐县期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知x＞y，试比较﹣2x+2025与﹣2y+2025的大小． 解：∵x＞y，① ∴﹣2x＞﹣2y，② ∴﹣2x+2025＞﹣2y+2025．③ （1）小华的解题过程中，从步骤　　 开始出现错误（填写序号）； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】本题考查不等式的基本性质，特别是不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向改变这一性质的应用．解题关键是准确掌握不等式在乘除负数时的符号变化规则． 【解答】解：（1）小华从步骤②开始出现错误．因为根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数﹣2，不等号方向应该改变，而小华没有改变不等号方向，所以步骤②错误． 故答案为：②； （2）正确解题过程： ∵x＞y， ∴﹣2x＜﹣2y（不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变）， ∴﹣2x+2025＜﹣2y+2025（不等式两边同时加2025，不等号方向不变）． 【变式1-2】（2025•宜春校级开学）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知n＜0，试比较：与的大小． 解：∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得 ，第一步 ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得．第二步 （1）上述解题过程中，从第　一　 步开始出现错误，错误的原因是　不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变， 故答案为：一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得， ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得． 【变式1-3】（2025•青秀区校级开学）阅读下述材料完成问题． 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 解：因为a＞b，所以a+c＞b+c．① 又因为c＞d，所以b+c＞b+d．② 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性， 所以由①②，可得a+c＞b+d． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若x＞1，y＞2，那么x+y＞1+2，即x+y的取值范围是x+y＞3． （1）根据上述性质解决问题：若x＜1，y＜3，则x+y的取值范围是x+y＜4　 ；若﹣1＜x＜2，0＜y＜1，则x+y的取值范围是　﹣1＜x+y＜3　 ； （2）【性质应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 解：由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3． 将x＝y﹣3代入x＜﹣1得， y﹣3＜﹣1， 即y＜2． 又因为y＞1， 所以1＜y＜2． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 （3）【拓展提升】已知x+y＝3，且x＞2，y＞﹣2，则2x﹣y的取值范围是　3＜2x﹣y＜12　 ． 【分析】（1）根据不等式的性质进行计算即可； （2）先根据已知条件把x用y表示出来，再根据x＜﹣1和y＞1求出y的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； （3）先根据已知条件把x用y表示出来，再根据x＞1和y＞﹣4求出y的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 【解答】解：（1）∵x＜1，y＜3， ∴x+y＜1+3，即x+y＜4， ∵﹣1＜x＜2，0＜y＜1， ∴﹣1+0＜x+y＜2+1，即﹣1＜x+y＜3， 故答案为：x+y＜4；﹣1＜x+y＜3． （2）由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3， 将x＝y﹣3代入x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2， ∵y＞1， ∴1＜y＜2， ∴2＜2y＜4， ∴2﹣3＜2y﹣3＜4﹣3，即﹣1＜y+y﹣3＜1， ∴﹣1＜x+y＜1． （3）∵x+y＝3， ∴x＝3﹣y， ∴2x﹣y ＝2（3﹣y）﹣y ＝6﹣2y﹣y ＝6﹣3y， ∵x＞2， ∴3﹣y＞2， ∴﹣y＞﹣1， ∴y＜1， ∵y＞﹣2， ∴﹣2＜y＜1， ∴﹣3＜﹣3y＜6， ∴3＜6﹣3y＜12， ∴3＜2x﹣y＜12， 故答案为：3＜2x﹣y＜12． ▌题型04 比较大小（数轴） 数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。 【典例1】（2026•庆元县二模）在数轴上表示数a的点如图所示，则3a与2a的大小关系是（　　） A．3a＜2a B．3a≤2a C．3a＞2a D．3a≥2a 【分析】根据数a在数轴上的位置可知a＜0，再用作差比较即可． 【解答】解：由数a在数轴上的位置可知：a＜0， ∴3a﹣2a＝a＜0， ∴3a＜2a， 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•宜春期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”或“＜”填空： b﹣c　＜　 0，a+b　＜　 0，c﹣a　＞　 0； （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|． 【分析】（1）利用数轴确定a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|，依此即可求解； （2）根据（1）中得到的符号，分别去掉绝对值符号后进行加减运算． 【解答】解：（1）∵大数减小数结果是正数，小数减大数结果是负数， a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞； （2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， ∴|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a| ＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a ＝a﹣2b﹣c． 【变式1-2】（2025秋•长沙县期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等． （1）填空：a﹣c　＜　 0，b﹣a　＞　 0，b﹣d　＜　 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d|； （3）若|a|＝|e|，|b|＝3，则b﹣e的值是　﹣9　 ． 【分析】（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可； （3）先求出b、e的值，再代入求出即可． 【解答】解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e， ∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0， 故答案为：＜；＞；＜； （2）|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d| ＝﹣a+c﹣（b﹣a）﹣（b﹣d） ＝﹣a+c﹣b+a﹣b+d ＝c+d﹣2b； （3）∵|a|＝|e|， ∴a、e互为相反数， ∴c是原点， ∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等， ∴b＝﹣3，e＝6， ∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【变式1-3】（2026春•秦淮区期中）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b． （1）a+b　＞　 0，a﹣b　＜　 0（用“＞”、“＝”和“＜”填空）； （2）比较a2与b2的大小，并说明理由（已知a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b））． 【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）根据题意，利用作差法进行计算即可． 【解答】解：（1）由所给数轴可知， a＜0＜b且|a|＜|b|， 则a+b＞0，a﹣b＜0． 故答案为：＞，＜； （2）a2＜b2，理由如下： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 因为a+b＞0，a﹣b＜0， 所以（a+b）（a﹣b）＜0， 所以a2＜b2． ▌题型05 利用不等式的性质进行证明 1. 看条件：圈出题干给出的已知大小关系； 2. 定变形：确定要做加、减、乘、除，重点判断乘数正负； 3. 选性质：乘除负数，记得改变不等号方向； 4. 递推写结论：步步写明依据，完成证明。 【典例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果，那么．” 【分析】利用不等式的性质，通过作差判断符号证明结论，先根据已知条件得到两个差为负数，再计算两个差的和，判断和的符号即可推导出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ 即 ∴． 【变式1-1】（25-26七年级下·海南海口·期末）【阅读理解】 在证明命题“如果、、、都是正数，且，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：，是正数， ________． ，是正数， ________． （不等关系具有传递性）． 【问题解决】 (1)请将上述的证明过程填写完整； (2)若，是负数，请求证． 【分析】（1）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到，，进而根据不等式的传递性可证得结论； （2）根据不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变得到，，进而根据不等式的传递性可证得结论． 【详解】（1）证明：，是正数， ． ，是正数， ． （不等关系具有传递性）． （2）(2)证明：，是负数， ， ，是负数， ， ，是负数， ∴， ． 【变式1-2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c，d为四个互不相等的有理数． (1)如果，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解：， _____①_____， 又， （_____②_____）， ． (2)如果a，b，c，d都是正数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 【分析】（1）根据不等式的性质补全说明过程即可； （2）根据不等式的性质得到，，可知． 【详解】（1）解：， ， 又， （不等式两边加同一个数，不等号的方向不变）， ； （2），理由如下： ，， ， ，， ， ， ． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）利用不等式的相关性质，判断命题“如果、、、都是正数，且、，那么”的真假性，并证明你的结论． 【分析】先根据不等式两边同乘正数不等号方向不变的性质，得到两个中间不等式，再利用不等式的传递性即可推导出结论． 【详解】解：该命题是真命题， 证明：∵、、、都是正数，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该命题是真命题． ▌题型06 作差法比较大小 要比较两个代数式 、 的大小，计算的结果，通过差的正负判断大小： 则； ； 。 【典例1】（2025•泰州二模）已知a＞b，则2﹣a与3﹣b的大小关系是（　　） A．2﹣a＞3﹣b B．2﹣a＝3﹣b C．2﹣a＜3﹣b D．无法比较 【分析】根据作差法即可求解． 【解答】解：2﹣a﹣（3﹣b）＝2﹣a﹣3+b＝﹣1+b﹣a， ∵a＞b， ∴b﹣a＜0， ∴﹣1+b﹣a＜0， 即2﹣a＜3﹣b， 故选：C． 【变式1-1】已知x＜y，比较﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小，结果正确的是（　　） A．﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3 B．﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3 C．﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3 D．﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3 【分析】根据x＜y，应用不等式的性质，首先判断出﹣2x与﹣2y的大小关系，然后判断出﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小关系即可． 【解答】解：∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3． 故选：A． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5和-6的大小： ， ． (1)请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果，那么． (2)已知，请用求差法比较与的大小． 【分析】（1）根据不等式的性质说明即可； （2）根据题意用求差法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】利用不等式（或等式）的基本性质，解答下列问题： (1)如果，那么　　　　　；如果，那么　　　　　；如果，那么　　　　　． (2)比较与的大小； (3)若，，①比较与的大小；②比较与的大小． 【分析】（1）直接根据不等式和等式的性质求解即可； （2）用作差法比较即可； （3）①先得出，，然后利用不等式的传递性可得结论； ②先得出，与的两边分别相加可得结论． 【详解】（1）解：如果，两边都加b，那么；如果，两边都加b，那么；如果，两边都加b，那么； （2）解：， 分三种情况讨论∶ 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； （3）解：①， ． ， ， ； ②， ∴不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 又， ，即． ▌题型07 不等式变形为x＞a或x＜a的形式 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc或； 如果 a>b， c<0，那么ac<bc或. 【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式变形为或的形式． （1），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得_____； （2），根据不等式的性质_____，不等式两边都______，得______； （3），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得______． 【分析】（1）根据不等式性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）根据不等式性质，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）根据不等式性质，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：（1），根据不等式的性质，不等式两边都加上，得； （2），根据不等式的性质，不等式两边都乘以，得； （3），根据不等式的性质，不等式两边都除以，得． 【变式1-1】（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 【变式1-2】根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）． （2）． 【分析】（1）根据不等式的性质，两边都除以，可得答案； （2）根据不等式的性质，两边都减，整理后再两边都除以3，可得答案． 【详解】解：（1）将两边都除以， 得． （2）将两边都减， 得， 即， 两边都除以3， 得． 【变式1-3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）依据不等式的性质，把下列不等式化成或的形式： (1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都减去3即可求解； （2）根据不等式的性质两边都除以即可求解； （3）根据不等式的性质两边都乘以7即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $