专题28 一元一次不等式及解法（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以14类题型为框架，构建"概念辨析-解法训练-综合应用"三阶突破体系，突出解题步骤的程序化和参数问题的逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|2题型/4典例|定义四要素判断法、参数取值四原则|从定义本质到概念辨析，形成完整认知链| |解法训练|4题型/12典例|六步解题法、数轴表示三步法|遵循"解-表示-整数解"递进逻辑，强化运算能力| |参数问题|2题型/8典例|解集对比法、端点验证技巧|通过逆向思维培养推理意识，深化不等式性质理解| |综合应用|6题型/24典例|新定义翻译法、程序流程图转化法|构建"方程-不等式-函数"知识网络，发展模型观念|

专题28 一元一次不等式及解法 （题型突破·举一反三） ▌题型01 判断是否为一元一次不等式 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】①④⑤． ▌题型02 根据一元一次不等式的定义求参数 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】﹣3． 【变式1-3】2． ▌题型03 不等式的解 【典例1】D． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】C． ▌题型04 数轴上表示不等式的解集 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】C． ▌题型05 解一元一次不等式 【典例1】 【解答】解：去分母，得2x﹣3（x﹣1）≥6， 去括号，得2x﹣3x+3≥6， 移项、合并同类项，得﹣x≥3， 解得x≤﹣3， 在数轴上表示为： 【变式1-1】 【解答】解：去分母，得2（1﹣x）﹣6≤3（2+x）， 去括号，得2﹣2x﹣6≤6+3x， 移项，得﹣2x﹣3x≤6+6﹣2， 合并同类项，得﹣5x≤10， 系数化为1，得x≥﹣2， 解集在数轴上表示为： 【变式1-2】 【解答】解：， 去分母得，2（1+2x）＞5（3+x）﹣10， 去括号得，2+4x＞15+5x﹣10， 移项得，4x﹣5x＞15﹣10﹣2， 合并同类项得，﹣x＞3， x的系数化为1得，x＜﹣3， 不等式的解集在数轴上表示如图： ． 【变式1-3】 【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6， 去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6， 移项，得：4x﹣9x≤6+2+2， 合并同类项，得：﹣5x≤10， 系数化为1，得：x≥﹣2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ▌题型06 求一元一次不等式的整数解 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】3． ▌题型07 根据一元一次不等式的解集求参数 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】B． ▌题型08 解不等式时过程出错 【典例1】 【解答】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6， 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6， 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2， 合并得：﹣5x＞﹣10， 系数化为1得：x＜2， 故答案为：x＜2； 任务三：∵， ∴2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10， 2x﹣4﹣5x﹣5＞10， 2x﹣5x＞10+4+5， ﹣3x＞19， 则x． 【变式1-1】 【解答】解：（1）从第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边除以﹣7，不等号的方向没有改变． 故答案为：五；不等式两边都除以﹣7，不等号的方向没有改变； （2）该不等式的正确解集是：x≥1； 不等式的解集在数轴上表示如图： 【变式1-2】 【解答】解：（1）小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2），， 去分母得：2（x+2）≥3（2x﹣3）， 去括号得：2x+4≥6x﹣9， 移项、合并同类项得：﹣4x≥﹣13， 两边同时除以﹣4得：． 【变式1-3】 【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0的数，不等号的方向不变；第三步再移项时4x与3的符号没改变． 故答案为：不等式的性质2；三； （2）， 去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6， 去括号，得3+3x＜2+4x+6， 移项，得3x﹣4x＜2+6﹣3， 合并同类项，得﹣x＜5， 系数化为1，得x＞﹣5． ▌题型09 一元一次不等式与二元一次方程组 【典例1】 【解答】解：（1）两个方程相加得：2x+2y＝8+2m， 则x+y＝4+m， ∵x+y＝2， ∴4+m＝2， 解得：m＝﹣2； （2）用第一个方程减去第二个方程得：4y＝6﹣4m， 则y＝1.5﹣m， ∵y为负数， ∴1.5﹣m＜0， 解得：m＞1.5 【变式1-1】 拓展：先求出，，根据x+y≥2列不等式求解即可． 【解答】教材呈现：解：3k﹣5x＝﹣9， 解得：， ∵方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数， ∴， 解得：k≥﹣3； 拓展：解：， ①+②得6x＝6+4m，， 把代入②得， ， 解得：， ∵x+y≥2， ∴， 解得： ∴m的最大整数解为﹣1． 【变式1-2】 【解答】解：（1）， ①+②得：2x＝6a+2， ∴x＝3a+1， ②﹣①得：4y＝﹣2a+14， ∴， ∵x≥2y且y≥0， ∴， 解得1.5≤a≤7； （2）由条件可知：（a﹣3）x＞a﹣3． ∵x＜1， ∴a﹣3＜0． ∴a＜3． 由（1）可知1.5≤a≤7， ∴1.5≤a＜3且a为整数． ∴a＝2． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵方程组与方程2x﹣y＝8的解相同， ∴x，y满足方程组， 解得， 代入4x+y＝3a﹣2得， 得12﹣2＝3a﹣2， 解得a＝4； （2）， ①﹣②，得3x+3y＝3a﹣9，即x+y＝a﹣3， ∵x+y＜5， ∴a﹣3＜5， 解得a＜8． ▌题型10 整数解（含参）问题 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型11 新定义问题 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【解答】解：（1）解不等式①：5（x﹣1）＞2x﹣5， 5x﹣5＞2x﹣5， 3x＞0， x＞0， 解不等式②：， 两边同乘6： 2（2x+1）﹣3x≤2x+a， 4x+2﹣3x≤2x+1， x+2≤2x+1， x≥1， 不等式①解集x＞0，不等式②解集x≥1， ①解集内有些数不在②的解集范围内，所以①不是②的“真子不等式”； （2）解得x＞a， 解2x+a＞1得， 由题可知， ∴解得． 【变式1-3】 【解答】解：（1）解不等式A：x+2＞1，得x＞﹣1， ∵不等式B的解集为x＞3， ∴满足x＞3的数都满足x＞﹣1， 即B的所有解都是A的解， ∴A与B存在“雅含”关系，B是A的子式． （2）关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3， 解不等式C得， 解不等式D得x＜2， ∵C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”， ∴， 解得． ▌题型12 程序问题 【典例1】x＜7． 【变式1-1】 【解答】解：（1）根据运算程序列出方程，﹣4x﹣2＝10， 解得：x＝﹣3 乙的计算结果为：； （2）， 整理得：﹣16x﹣8＞x+2， ∴﹣17x＞10， 解得：x． 【变式1-2】 【解答】解：（1）若输入x的值为2， 则﹣2×（﹣22）﹣4 ＝﹣2×（﹣4）﹣4 ＝8﹣4 ＝4， 即输出y的值为4； （2）由题意得﹣x×（﹣22）﹣4≤﹣5， 整理得：4x﹣4≤﹣5， 解得：x≤﹣0.25， 则x的最大整数解为﹣1． 【变式1-3】 【解答】解：（1）当“■”内的数字为﹣4时，101×（﹣4）+1＝﹣403＜500， ∴﹣403×（﹣4）+1＝1613＞500， ∴最后输出的结果为1613； （2）设“■”内的数字为x， 根据题意，得100x+1＞500， 解得x＞4.99， ∵x为正整数， ∴x最小为5， ∴“■”内的数字的最小值为5． ▌题型13 一元一次方程与不等式问题 【典例1】m＜3． 【变式1-1】D． 【变式1-2】 【解答】解：解关于x的一元一次方程x得x， 则1， 解得m． 故m的取值范围是m． 【变式1-3】 【解答】解：（1）解方程2x﹣4＝0得x＝2， 当x＝2时，5x﹣2＝7＞3， 即x＝2不是不等式5x﹣2＜3的解， 所以组合是无缘解； 故答案为：无缘解； （2）解方程3x﹣6＝0得x＝2， 解不等式a得x＞3a， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴3a＜2， 解得a， 即a的取值范围为a； （3）解方程2﹣x＝x﹣2m得x＝m+1， 解不等式1＜x+m得x， ∵关于x的组合是“无缘解”， ∴m+1， 解得m． 故答案为：m． ▌题型14 解|x|＜a型不等式 【典例1】 【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x﹣3＞2或x﹣3＜﹣2， 解得x＞5或x＜1； （2）∵|2x﹣1|＜a， ∴﹣a＜2x﹣1＜a， 解得x， ∵解集为b＜x＜3， ∴， 解得， 则a﹣2b＝5+4＝9； （3）两个方程相加，得：3x+3y＝﹣3m﹣3， ∴x+y＝﹣m﹣1， ∵|x+y|≤2， ∴﹣2≤x+y≤2， ∴﹣2≤﹣m﹣1≤2， 解得﹣3≤m≤1， 又m是负整数， ∴m＝﹣3或m＝﹣2或m＝﹣1． 【变式1-1】 【解答】解：（1）①不等式|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3； 故答案为：﹣3＜x＜3； ②不等式|x|＞5的解集是x＜﹣5或x＞5； 故答案为： （2）①绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0）， ∴﹣a＜x﹣2＜a，解得2﹣a＜x＜2+a， ∴， 解得； 故答案为：5；7； ②|x﹣2|+3≥4，则|x﹣2|≥1， ∴x﹣2≤﹣1或x﹣2≥1， 解得x≤1或x≥3． 【变式1-2】 【解答】解：（1）|x|＜3，从数轴上可以看出只有大于﹣3且小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3，如图1， 故答案为：﹣3＜x＜3； （2）∵|2x﹣3|＞1， ∴2x﹣3＞1或2x﹣3＜﹣1， 解得x＞2或x＜1，如图2， ∴|2x﹣3|＞1的解集为x＞2或x＜1． 【变式1-3】 【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知点B到点C的距离为|﹣2﹣1|＝3； 点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|； 故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|； （2）|x﹣3|+|x﹣2|表示数轴上x与3和x与2的距离之和， 故当2≤x≤3时，|x﹣3|+|x﹣2|取最小值，且最小值为3﹣2＝1； 故答案为：2≤x≤3，1； （3）①|x|≥4的解集为x≥4或x≤﹣4； 故答案为：x≥4或x≤﹣4； ②当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+3＝﹣2x+2＞8， ∴x＜﹣3； 当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1﹣x+3＝4＜8， ∴x无解； 当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＞8， ∴x＞5； 综上所述：x＜﹣3或x＞5． 故答案为：x＜﹣3或x＞5． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28 一元一次不等式及解法 （题型突破·举一反三） 题型01 判断是否为一元一次不等式 题型02 根据一元一次不等式的定义求参数 题型03 不等式的解 题型04 数轴上表示不等式的解集 题型05 解一元一次不等式 题型06 求一元一次不等式的整数解 题型07 根据一元一次不等式的解集求参数 题型08 解不等式时过程出错 题型09 一元一次不等式与二元一次方程组 题型10 整数解（含参）问题 题型11 新定义问题 题型12 程序问题 题型13 一元一次方程与不等式问题 题型14 解|x|＜a型不等式 ▌题型01 判断是否为一元一次不等式 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 【典例1】（2026春•西和县校级期末）下列式子中，属于一元一次不等式的是（　　） A．3x+y＜0 B．x+1＜3 C．2x+1＝4 D．4＞3 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【解答】解：3x+y＜0中含有2个未知数，则A不符合题意， x+1＜3符合一元一次不等式的定义，则B符合题意， 2x+1＝4是方程，则C不符合题意， 4＞3，不含有一个未知数，则D不符合题意， 故选：B． 【变式1-1】（2026春•封开县期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣1＞0 B．﹣1＜2 C．3x﹣2y≤﹣1 D．y2+3＞5 【分析】根据一元一次不等式的定义作答． 【解答】解：A、是一元一次不等式； B、不含未知数，不符合定义； C、含有两个未知数，不符合定义； D、未知数的次数是2，不符合定义； 故选：A． 【变式1-2】（2026春•庐阳区校级期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x﹣3 B．x﹣1＝2 C．x+y＞1 D．x﹣3＞5 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此逐项判断即可． 【解答】解：x﹣3是代数式，则A不符合题意， x﹣1＝2是等式，则B不符合题意， x+y＞1中含有两个未知数，则C不符合题意， x﹣3＞5符合一元一次不等式的定义，则D符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（2026春•铁西区校级月考）下列不等式：①；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有　①④⑤　 （填序号）． 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，逐个判断即可得到结果． 【解答】解：①①含有一个未知数，是一元一次不等式； ②﹣3＜0，没有未知数，不是一元一次不等式； ③x﹣3＞2y，含有两个未知数，不是一元一次不等式； ④，π是常数，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式； ⑤3y＞﹣3，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式； 故答案为：①④⑤． ▌题型02 根据一元一次不等式的定义求参数 1. 只含一个未知数； 2. 未知数的次数是1； 3. 不等号两边都是整式； 4. 未知数系数不能为0。 【典例1】（2026春•零陵区期末）若（m+1）x|m+2|+4＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣3或﹣1 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【解答】解：根据题意得：m+1≠0且|m+2|＝1， 解得：m＝﹣3． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•盐城月考）若（m﹣1）x+3≤0是关于x的一元一次不等式，则m的值不可以为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．0 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【解答】解：∵（m﹣1）x+3≤0是关于x的一元一次不等式， ∴m﹣1≠0， 解得：m≠1． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•巴中期末）若不等式（k﹣3）x|k|﹣2＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，据此列关系式求解即可． 【解答】解：∵不等式（k﹣3）x|k|﹣2＞0是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【变式1-3】（2026春•鲤城区校级期末）若2x2m﹣3+4＞﹣1是关于x的一元一次不等式，则m的值为　2　 ． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数x的次数为1，据此列方程求解m即可． 【解答】解：由题意得2m﹣3＝1， 解得：m＝2． 故答案为：2． ▌题型03 不等式的解 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解． 【典例1】（2026•香洲区三模）下列各数中，是不等式2x+1＜3的一个解的是（　　） A．1 B．2 C．4 D．﹣3 【分析】解不等式，求出不等式的解集，然后根据解集对各个选项的数进行判断即可． 【解答】解：2x+1＜3， 2x＜3﹣1， 2x＜2， x＜1， ∵A，B，C选项的数的大于等于1，D选项中的数﹣3＜1， ∴A，B，C选项中的数不是不等式2x+1＜3的一个解，D选项中的数是不等式2x+1＜3的一个解， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•闵行区期末）在以下各数中，是不等式x＜﹣1的解的是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1 【分析】在x＜﹣1这个范围之内的数都是不等式的解，由此判断即可． 【解答】解：是不等式x＜﹣1的解的是x＝﹣2， 故选：A． 【变式1-2】（2026春•盐田区期末）下列x的值是不等式x＞﹣2的解的是（　　） A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝﹣2.5 D．x＝﹣3 【分析】根据x的值在x＞﹣2这个范围内即为不等式的解判断即可． 【解答】解：x＝0是不等式x＞﹣2的解， 故选：A． 【变式1-3】（2026•二道区校级模拟）若x＝5.5是某不等式的解，则该不等式可以是（　　） A．x＜4 B．x＜5 C．x＞5 D．x＞6 【分析】满足不等式的数就是不等式的解，将x＝5.5代入各选项验证即可得到答案． 【解答】解：A选项：∵5.5＜4 不成立， ∴x＝5.5不是不等式x＜4的解； B选项：∵5.5＜5 不成立， ∴x＝5.5不是不等式x＜5的解； C选项：∵5.5＞5 成立， ∴x＝5.5是不等式x＞5的解； D选项：∵5.5＞6 不成立， ∴x＝5.5不是不等式x＞6的解． 故选：C． ▌题型04 数轴上表示不等式的解集 1. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式． 2. 用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）． 不等式的解集 数轴表示 x>a x<a x≥a x≤a 不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中． 【典例1】（2026春•锦江区校级期中）不等式2x﹣4＜0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据解一元一次不等式步骤解答即可． 【解答】解：原不等式移项，得2x＜4， 系数化为1，得x＜2， 在数轴上表示为， D选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2026•遵义一模）不等式2x＞6的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：2x＞6， x的系数化为1得，x＞3， 在数轴上表示，如图： ． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•玄武区期末）不等式4﹣3x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【解答】解：由题知， 4﹣3x＜1， ﹣3x＜1﹣4， ﹣3x＜﹣3， x＞1， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（2026春•广州校级月考）不等式x﹣3＞0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】不等式的解集为x＞3，在数轴上表示出来就是不包括端点的射线，所以C正确． 【解答】解：不等式x﹣3＞0的解为x＞3． 在数轴上表示为： ． 故选：C． ▌题型05 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；系数化为1；①其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左。 【典例1】（2026春•衡山县期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【分析】先去分母，再去括号，移项并合并同类项求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：去分母，得2x﹣3（x﹣1）≥6， 去括号，得2x﹣3x+3≥6， 移项、合并同类项，得﹣x≥3， 解得x≤﹣3， 在数轴上表示为： 【变式1-1】（2026•秦都区校级模拟）解不等式，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来． 【分析】先把不等式两边都乘以6，再去括号、移项得到﹣2x﹣3x≤6+6﹣2，然后合并同类项后把x的系数化为1得到x≥﹣2，最后在数轴上表示出其解集． 【解答】解：去分母，得2（1﹣x）﹣6≤3（2+x）， 去括号，得2﹣2x﹣6≤6+3x， 移项，得﹣2x﹣3x≤6+6﹣2， 合并同类项，得﹣5x≤10， 系数化为1，得x≥﹣2， 解集在数轴上表示为： 【变式1-2】（2026春•冷水江市期末）解不等式：，并在如图的数轴上表示出它的解集． 【分析】利用不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 去分母得，2（1+2x）＞5（3+x）﹣10， 去括号得，2+4x＞15+5x﹣10， 移项得，4x﹣5x＞15﹣10﹣2， 合并同类项得，﹣x＞3， x的系数化为1得，x＜﹣3， 不等式的解集在数轴上表示如图： ． 【变式1-3】（2026春•滁州期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6， 去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6， 移项，得：4x﹣9x≤6+2+2， 合并同类项，得：﹣5x≤10， 系数化为1，得：x≥﹣2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ▌题型06 求一元一次不等式的整数解 （1）解不等式，按一元一次不等式解法，求出解集； （2）在数轴上标出范围； （3）在解集范围内找整数，从边界开始，依次写出满足条件的整数； （4）检验端点． 【典例1】（2026春•寿县期末）不等式2x+9≥3（x+2）的非负整数解的个数（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的非负整数，统计个数即可得到答案； 【解答】解：2x+9≥3（x+2）， 去括号，得2x+9≥3x+6， 移项，得2x﹣3x≥6﹣9， 合并同类项，得﹣x≥﹣3， 解得x≤3， ∴不等式2x+9≥3（x+2）的非负整数解为0，1，2，3，共4个． 故选：B． 【变式1-1】（2025春•锡山区期末）不等式2（x﹣1）≤8的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据及一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并得出非负整数解的个数即可． 【解答】解：由题知， 2（x﹣1）≤8， x﹣1≤4， x≤5， 则此不等式的非负整数解有0，1，2，3，4，5，共6个． 故选：C． 【变式1-2】（2025春•五华县期中）不等式7﹣3x＞2x﹣8的正整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先求出不等式的解集，即可得到该不等式的正整数解，从而可以得到该不等式正整数的个数． 【解答】解：7﹣3x＞2x﹣8， ﹣5x＞﹣15， x＜3， ∴该不等式的正整数解为1，2， 即该不等式的正整数解有2个， 故选：B． 【变式1-3】（2026春•茄子河区期末）不等式5x＜3x+8的最大整数解是　3　 ． 【分析】先求出不等式的解集，然后求其最大整数解． 【解答】解：5x＜3x+8， 5x﹣3x＜8， 2x＜8， x＜4， ∴最大整数解是3， 故答案为：3． ▌题型07 根据一元一次不等式的解集求参数 （1）解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>号）。 （2）对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 （3）系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 （4）端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 【典例1】（2025春•鲤城区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＞1 C．m＜1 D．m＜0 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【解答】解：根据题意得：m﹣1＜0， ∴m＜1， 故选：C． 【变式1-1】（2026•船营区校级模拟）如果关于x的不等式2x﹣a≤1的解集为x≤3，那么实数a的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先解不等式得到含a的解集，再结合已知的解集列等式求解a即可． 【解答】解：原不等式移项得：2x≤a+1， 两边同除以2得：， 又∵不等式的解集为x≤3， ∴， 等式两边同乘2得：a+1＝6， 解得：a＝5， 故选：A． 【变式1-2】（2026春•西安校级期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x的解集为x＜a﹣1，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】先求解原一元一次不等式，再根据题目给出的解集列出关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值． 【解答】解：3x﹣2a＜4﹣5x， 移项得3x+5x＜4+2a， 合并同类项得8x＜4+2a， 系数化为1得， ∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x的解集为x＜a﹣1， ∴， 解得a＝2． 故选：A． 【变式1-3】（2026春•北京期末）已知（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 【分析】由关于x的不等式（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1，知m﹣2＜0，解之即可． 【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1， ∴m﹣2＜0， 则m＜2， 故选：B． ▌题型08 解不等式时过程出错 根据不等式的性质，解一元一次方程常见易错点进行分析求解。 【典例1】（2026•龙华区校级三模）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步 合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步 系数化为1得：x＞2．…第五步 任务一：以上解题过程中，第　五　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等号的方向没有改变　 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：x＜2　 ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：． 【分析】任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； 任务三：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6， 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6， 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2， 合并得：﹣5x＞﹣10， 系数化为1得：x＜2， 故答案为：x＜2； 任务三：∵， ∴2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10， 2x﹣4﹣5x﹣5＞10， 2x﹣5x＞10+4+5， ﹣3x＞19， 则x． 【变式1-1】（2026春•龙亭区校级期末）下面是小亮解不等式的过程，请认真阅读并完成任务． 解：去分母，得2（x+5）﹣3（3x﹣1）≤6．第一步 去括号，得2x+10﹣9x+3≤6．第二步 移项，得2x﹣9x≤6﹣10﹣3．第三步 合并同类项，得﹣7x≤﹣7．第四步 系数化为1，得x≤1．第五步 （1）解题过程中，第　五　 步出现了错误，错误的原因是　不等式两边都除以﹣7，不等号的方向没有改变　 ． （2）直接写出该不等式的解集，并在如图所示的数轴上表示出来． 【分析】（1）观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可； （2）写出不等式正确解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【解答】解：（1）从第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边除以﹣7，不等号的方向没有改变． 故答案为：五；不等式两边都除以﹣7，不等号的方向没有改变； （2）该不等式的正确解集是：x≥1； 不等式的解集在数轴上表示如图： 【变式1-2】（2026春•平城区校级期末）小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得2（x+2）≥3（2x﹣3）…第一步 去括号，得2x+4≥6x﹣9…第二步 移项、合并同类项，得﹣4x≤﹣13…第三步 两边同时除以﹣4，得第四步 （1）小明的解法是从第　三，　 步开始出错的，第四步的依据是　不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可； （2）根据解不等式的基本步骤解答即可． 【解答】解：（1）小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2），， 去分母得：2（x+2）≥3（2x﹣3）， 去括号得：2x+4≥6x﹣9， 移项、合并同类项得：﹣4x≥﹣13， 两边同时除以﹣4得：． 【变式1-3】（2025秋•永康市期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　　 ，第　　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 【答案】（1）不等式的性质2；三； （2）x＞﹣5． 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0的数，不等号的方向不变；第三步再移项时4x与3的符号没改变． 故答案为：不等式的性质2；三； （2）， 去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6， 去括号，得3+3x＜2+4x+6， 移项，得3x﹣4x＜2+6﹣3， 合并同类项，得﹣x＜5， 系数化为1，得x＞﹣5． ▌题型09 一元一次不等式与二元一次方程组 （1）先解方程组，用含 a 的式子表示 x,y； （2）代入不等式 x>0； （3）解关于 a 的一元一次不等式。 【典例1】（2026春•颍东区期末）已知关于x，y的方程组． （1）若x+y＝2，求m的值； （2）若y为负数，求m的取值范围． 【分析】（1）将两个方程相加并整理，再根据题意解得m的值即可； （2）将两个方程相减后用含m的代数式表示出y，再根据题意解得m的取值范围即可． 【解答】解：（1）两个方程相加得：2x+2y＝8+2m， 则x+y＝4+m， ∵x+y＝2， ∴4+m＝2， 解得：m＝﹣2； （2）用第一个方程减去第二个方程得：4y＝6﹣4m， 则y＝1.5﹣m， ∵y为负数， ∴1.5﹣m＜0， 解得：m＞1.5 【变式1-1】（2026春•晋江市期末）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于x方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，求k的取值范围． 请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足x+y≥2，求m的最大整数解． 【分析】教材呈现：先求出，再根据解为非负数计算即可； 拓展：先求出，，根据x+y≥2列不等式求解即可． 【解答】教材呈现：解：3k﹣5x＝﹣9， 解得：， ∵方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数， ∴， 解得：k≥﹣3； 拓展：解：， ①+②得6x＝6+4m，， 把代入②得， ， 解得：， ∵x+y≥2， ∴， 解得： ∴m的最大整数解为﹣1． 【变式1-2】（2026春•牡丹江期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x≥2y且y是非负数． （1）求a的取值范围； （2）当a为整数时，不等式ax﹣3x﹣a＞﹣3的解集为x＜1，求满足所有条件a的值． 【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据x≥2y，y≥0得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围； （2）先利用ax﹣3x﹣a＞﹣3解集为x＜1，通过解不等式得到a﹣3＜0，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：2x＝6a+2， ∴x＝3a+1， ②﹣①得：4y＝﹣2a+14， ∴， ∵x≥2y且y≥0， ∴， 解得1.5≤a≤7； （2）由条件可知：（a﹣3）x＞a﹣3． ∵x＜1， ∴a﹣3＜0． ∴a＜3． 由（1）可知1.5≤a≤7， ∴1.5≤a＜3且a为整数． ∴a＝2． 【变式1-3】（2026春•定边县校级期末）数学思维课堂上，张老师在黑板上写了一个关于x，y的二元一次方程组，然后让同学们自己添加一个条件，提出问题并解答．请你完成下面两名同学的问题． （1）小辰：若该方程组与二元一次方程2x﹣y＝8的解相同，求a的值； （2）阳阳：若x+y＜5，求a的取值范围． 【分析】（1）联立不含参数a的两个方程求解x，y，再代入含a的方程计算a的值； （2）通过方程组变形得到x+y关于a的表达式，结合已知不等式求解a的取值范围． 【解答】解：（1）∵方程组与方程2x﹣y＝8的解相同， ∴x，y满足方程组， 解得， 代入4x+y＝3a﹣2得， 得12﹣2＝3a﹣2， 解得a＝4； （2）， ①﹣②，得3x+3y＝3a﹣9，即x+y＝a﹣3， ∵x+y＜5， ∴a﹣3＜5， 解得a＜8． ▌题型10 整数解（含参）问题 （1）解不等式，用参数表示解集； （2）根据“整数解”条件，在数轴上锁定范围，把已知的整数解标在数轴上，写出：最小整数解、最大整数解，从而确定所在的区间范围； （3）列“含参不等式组”求参数范围，让参数解集 刚好“包住”这些整数解，不多也不少； （4）解关于参数的不等式，写出范围。 【典例1】（2026春•襄城区期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a＜﹣2 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣3＜a≤﹣2 【分析】根据关于x的一元一次不等式x≥a的两个负整数解只能是﹣2、﹣1，求出a的取值范围即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元一次不等式x≥a只有两个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式x≥a的2个负整数解只能是﹣2、﹣1， ∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•顺义区校级月考）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有2个非负整数解，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为x≤a，再根据“恰有2个非负整数解”确定这两个非负整数分别为0和1，从而确定a的取值范围． 【解答】解：由数轴可知，该不等式的解集为x≤a， ∵该不等式恰有2个非负整数解， ∴这两个非负整数解只能是0和1， ∴a必须满足1≤a＜2． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•花山区校级期末）若关于x的不等式x＜m有且只有两个正整数解，则m的值不能是（　　） A．2 B．2.5 C．2.8 D．3 【分析】先根据不等式正整数解的个数确定参数m的取值范围，进而即可判断求解． 【解答】解：由题意得，它的正整数解只能是1和2， ∴2＜m≤3， ∴m的值不能是2． 故选：A． 【变式1-3】（2025春•武城县期末）关于x不等式x﹣a＞2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a＜﹣4 B．﹣5＜a＜﹣4 C．﹣5≤a≤﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4 【分析】由x﹣a＞2得x＞a+2，根据不等式有且只有2个负整数解，知﹣3≤a+2＜﹣2，解之即可得出答案． 【解答】解：由x﹣a＞2得x＞a+2， ∵不等式有且只有2个负整数解， ∴﹣3≤a+2＜﹣2， 解得﹣5≤a＜﹣4， 故选：A． ▌题型11 新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常计算。 【典例1】（2026春•玉泉区期末）对于任意实数a，b，定义一种运算“※”：a※b＝ab﹣a+b﹣2，例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜4，则该不等式的解集是（　　） A． B．x＜2 C．x＞0 D． 【分析】按照新定义将所求不等式转化为常规一元一次不等式，求解即可得到结果． 【解答】解：由题意可得：3※x＝3x﹣3+x﹣2， ∵不等式3※x＜4， ∴3x﹣3+x﹣2＜4， ∴． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•城关区校级期末）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＜3的解集为x＜﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，根据解集列方程即可． 【解答】解：∵a⊗b＝a﹣2b，x⊗m＜3， ∴x﹣2m＜3， ∴x＜2m+3， ∵不等式的解集为x＜﹣1， ∴2m+3＝﹣1， 解得m＝﹣2． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•潜山市月考）阅读材料，回答问题： 两个解集不同的一元一次不等式，如果不等式①的解集内的所有数都在不等式②的解集范围内，则称不等式①是不等式②的“真子不等式”． 例如：不等式①x+2＞0的解集为x＞﹣2，不等式②x+3＞0的解集为x＞﹣3，x+2＞0是x+3＞0的“真子不等式”． （1）判断不等式①5（x﹣1）＞2x﹣5是否为不等式②的“真子不等式”，并说明理由； （2）若是2x+a＞1的“真子不等式”，求a的取值范围． 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据“真子不等式”定义判断：①解集全部包含在②解集内，且解集不相同，比较两个解集范围，验证是否满足包含关系即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再结合“真子不等式”定义，列出边界满足a即可． 【解答】解：（1）解不等式①：5（x﹣1）＞2x﹣5， 5x﹣5＞2x﹣5， 3x＞0， x＞0， 解不等式②：， 两边同乘6： 2（2x+1）﹣3x≤2x+a， 4x+2﹣3x≤2x+1， x+2≤2x+1， x≥1， 不等式①解集x＞0，不等式②解集x≥1， ①解集内有些数不在②的解集范围内，所以①不是②的“真子不等式”； （2）解得x＞a， 解2x+a＞1得， 由题可知， ∴解得． 【变式1-3】（2026春•铁西区校级月考）定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”；如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． （1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围． 【分析】（1）先解出不等式A的解集，再根据定义判断关系得到结论； （2）分别解出两个不等式的解集，根据C是D的“子式”列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式A：x+2＞1，得x＞﹣1， ∵不等式B的解集为x＞3， ∴满足x＞3的数都满足x＞﹣1， 即B的所有解都是A的解， ∴A与B存在“雅含”关系，B是A的子式． （2）关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3， 解不等式C得， 解不等式D得x＜2， ∵C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”， ∴， 解得． ▌题型12 程序问题 （1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式； （2）列不等式； （3）解一元一次不等式； （4）结合题意写答案。 【典例1】（2025秋•西固区校级期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则可推断x的取值范围为x＜7　 ． 【分析】根据程序框图列得不等式，解不等式即可． 【解答】解：若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果， 则5x+2＜37， 解得：x＜7， 故答案为：x＜7． 【变式1-1】（2026•石家庄二模）甲、乙两人输入相同的x值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为10时，求x的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求x的取值范围． 【分析】（1）根据运算程序列出方程，得出x的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解； （2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【解答】解：（1）根据运算程序列出方程，﹣4x﹣2＝10， 解得：x＝﹣3 乙的计算结果为：； （2）， 整理得：﹣16x﹣8＞x+2， ∴﹣17x＞10， 解得：x． 【变式1-2】（2025•正定县三模）一计算程序如图1所示，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． （1）若输入x的值为2，求输出y的值； （2）若输出的y落在如图2所示的范围内，求输入x的最大整数值． 【分析】（1）根据程序框图列式计算即可； （2）根据程序框图列得不等式，解不等式并确定x的最大整数解即可． 【解答】解：（1）若输入x的值为2， 则﹣2×（﹣22）﹣4 ＝﹣2×（﹣4）﹣4 ＝8﹣4 ＝4， 即输出y的值为4； （2）由题意得﹣x×（﹣22）﹣4≤﹣5， 整理得：4x﹣4≤﹣5， 解得：x≤﹣0.25， 则x的最大整数解为﹣1． 【变式1-3】（2025春•丹凤县校级月考）如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚． （1）若“■”内的数字为﹣4，求输入的实数为101时最后输出的结果． （2）当开始输入的实数为100时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正整数，求“■”内的数字的最小值． 【分析】（1）根据程序图计算即可； （2）设“■”内的数字为x，根据题意列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【解答】解：（1）当“■”内的数字为﹣4时，101×（﹣4）+1＝﹣403＜500， ∴﹣403×（﹣4）+1＝1613＞500， ∴最后输出的结果为1613； （2）设“■”内的数字为x， 根据题意，得100x+1＞500， 解得x＞4.99， ∵x为正整数， ∴x最小为5， ∴“■”内的数字的最小值为5． ▌题型13 一元一次方程与不等式问题 （1）求出一元一次方程的解； （2）列不等式； （3）解一元一次不等式； （4）结合题意写答案。 【典例1】（2025春•成都期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程．若方程9﹣x＝2x，都是关于x的不等式x＜2x﹣m的相伴方程，则m的取值范围为m＜3　 ． 【分析】分别求出两个方程的解，表示出不等式的解集，再根据新定义得出m的范围． 【解答】解：解方程9﹣x＝2x得：x＝3， 解方程7+x＝2（x）得：x＝6， 由x＜2x﹣m得x＞m， 由题意知m＜3， 故答案为：m＜3． 【变式1-1】（2025春•咸阳校级月考）若关于x的一元一次方程x﹣2m+1＝0的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m D． 【分析】由x﹣2m+1＝0得x＝2m﹣1，根据关于x的一元一次方程x﹣2m+1＝0的解是负数，知2m﹣1＜0，解之即可． 【解答】解：由x﹣2m+1＝0得：x＝2m﹣1， ∵关于x的一元一次方程x﹣2m+1＝0的解是负数， ∴2m﹣1＜0， 解得m， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•晋江市期中）关于x的一元一次方程x的解大于1，求m的取值范围． 【分析】先解关于x的一元一次方程得到x，则根据题意得到1，然后解不等式即可． 【解答】解：解关于x的一元一次方程x得x， 则1， 解得m． 故m的取值范围是m． 【变式1-3】（2026春•曲阜市期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”． （1）组合是 　无缘解　 ；（填梦想解或无缘解） （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x的是“无缘解”，则m的取值范围为 m　 ． 【分析】（1）先解一元一次方程得到x＝2，然后利用x＝2不是不等式的解可判断组合为“无缘解”； （2）先解一元一次方程得到x＝2，再解不等式得到x＞3a，接着根据“梦想解”的定义得到3a＜2，然后解关于a的不等式即可； （3）先解一元一次方程得到x＝m+1，再解不等式得到x，接着根据“无缘解”的定义得到m+1，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：（1）解方程2x﹣4＝0得x＝2， 当x＝2时，5x﹣2＝7＞3， 即x＝2不是不等式5x﹣2＜3的解， 所以组合是无缘解； 故答案为：无缘解； （2）解方程3x﹣6＝0得x＝2， 解不等式a得x＞3a， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴3a＜2， 解得a， 即a的取值范围为a； （3）解方程2﹣x＝x﹣2m得x＝m+1， 解不等式1＜x+m得x， ∵关于x的组合是“无缘解”， ∴m+1， 解得m． 故答案为：m． ▌题型14 解|x|＜a型不等式 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 【典例1】（2026春•深圳期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程． 对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3； 对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． （1）求绝对值不等式|x﹣3|＞2的解集； （2）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a的解集为b＜x＜3，求a﹣2b的值； （3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤2，其中m是负整数，求m的值． 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由|2x﹣1|＜a知﹣a＜2x﹣1＜a，据此得出x，再结合b＜x＜3可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案； （3）两个方程相加化简得出x+y＝﹣m﹣1，由|x+y|≤2知﹣2≤x+y≤2，据此得出﹣2≤﹣m﹣1≤2，解之求出m的取值范围，继而可得答案． 【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x﹣3＞2或x﹣3＜﹣2， 解得x＞5或x＜1； （2）∵|2x﹣1|＜a， ∴﹣a＜2x﹣1＜a， 解得x， ∵解集为b＜x＜3， ∴， 解得， 则a﹣2b＝5+4＝9； （3）两个方程相加，得：3x+3y＝﹣3m﹣3， ∴x+y＝﹣m﹣1， ∵|x+y|≤2， ∴﹣2≤x+y≤2， ∴﹣2≤﹣m﹣1≤2， 解得﹣3≤m≤1， 又m是负整数， ∴m＝﹣3或m＝﹣2或m＝﹣1． 【变式1-1】（2026春•汾阳市期末）阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如|x|≤m，|x|≥m，|x|＞m，|x|＜m（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （i）解不等式|x|＜2．如图1，从数轴上可以发现，大于﹣2而小于2的数的绝对值小于2，所以|x|＜2的解集应为﹣2＜x＜2． （ii）满足|x|＞2的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于﹣2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以|x|＞2的解集应为x＜﹣2或x＞2． 任务： 【简单运用】 （1）①不等式|x|＜3的解集是　﹣3＜x＜3　 ； ②不等式|x|＞5的解集是x＜﹣5或x＞5；　 ； 【拓展探究】 （2）①已知绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0）的解集为3＜x＜b，则a＝　5　 ；b＝　7　 ； ②请求出绝对值不等式|x﹣2|+3≥4的解集． 【分析】（1）①利用绝对值的几何意义进行求解即可； ②利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）①先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； ②先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【解答】解：（1）①不等式|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3； 故答案为：﹣3＜x＜3； ②不等式|x|＞5的解集是x＜﹣5或x＞5； 故答案为： （2）①绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0）， ∴﹣a＜x﹣2＜a，解得2﹣a＜x＜2+a， ∴， 解得； 故答案为：5；7； ②|x﹣2|+3≥4，则|x﹣2|≥1， ∴x﹣2≤﹣1或x﹣2≥1， 解得x≤1或x≥3． 【变式1-2】（2026春•平顶山月考）先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题． ①因为|x|＞6，从数轴上（如图1）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．②因为|x|＜6，从数轴上（如图2）可以看出只有大于﹣6且小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6． （1）|x|＜3的解集为　﹣3＜x＜3　 ； （2）解不等式|2x﹣3|＞1． 【分析】（1）根据绝对值的定义进行计算即可； （2）根据绝对值的定义将不等式转化为2x﹣3＞1或2x﹣3＜﹣1进行解答即可． 【解答】解：（1）|x|＜3，从数轴上可以看出只有大于﹣3且小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3，如图1， 故答案为：﹣3＜x＜3； （2）∵|2x﹣3|＞1， ∴2x﹣3＞1或2x﹣3＜﹣1， 解得x＞2或x＜1，如图2， ∴|2x﹣3|＞1的解集为x＞2或x＜1． 【变式1-3】（2026春•朝阳区校级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1与3对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点B到点C的距离为　3　 ，点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为　|x+2|+|x﹣1|　 （用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x满足　2≤x≤3　 时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值为　1　 ； （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图（1）可得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1； 由图（2）可得出：绝对值不等式|x|≤3的解集，是﹣3≤x≤3； 则，不等式|x|≥4的解集是x≥4或x≤﹣4　 ； ②利用数轴直接写出不等式|x+1|+|x﹣3|＞8的解集是x＜﹣3或x＞5　 ． 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出|x﹣3|+|x﹣2|的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知点B到点C的距离为|﹣2﹣1|＝3； 点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|； 故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|； （2）|x﹣3|+|x﹣2|表示数轴上x与3和x与2的距离之和， 故当2≤x≤3时，|x﹣3|+|x﹣2|取最小值，且最小值为3﹣2＝1； 故答案为：2≤x≤3，1； （3）①|x|≥4的解集为x≥4或x≤﹣4； 故答案为：x≥4或x≤﹣4； ②当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+3＝﹣2x+2＞8， ∴x＜﹣3； 当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1﹣x+3＝4＜8， ∴x无解； 当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＞8， ∴x＞5； 综上所述：x＜﹣3或x＞5． 故答案为：x＜﹣3或x＞5． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28 一元一次不等式及解法 （题型突破·举一反三） 题型01 判断是否为一元一次不等式 题型02 根据一元一次不等式的定义求参数 题型03 不等式的解 题型04 数轴上表示不等式的解集 题型05 解一元一次不等式 题型06 求一元一次不等式的整数解 题型07 根据一元一次不等式的解集求参数 题型08 解不等式时过程出错 题型09 一元一次不等式与二元一次方程组 题型10 整数解（含参）问题 题型11 新定义问题 题型12 程序问题 题型13 一元一次方程与不等式问题 题型14 解|x|＜a型不等式 ▌题型01 判断是否为一元一次不等式 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 【典例1】（2026春•西和县校级期末）下列式子中，属于一元一次不等式的是（　　） A．3x+y＜0 B．x+1＜3 C．2x+1＝4 D．4＞3 【变式1-1】（2026春•封开县期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣1＞0 B．﹣1＜2 C．3x﹣2y≤﹣1 D．y2+3＞5 【变式1-2】（2026春•庐阳区校级期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x﹣3 B．x﹣1＝2 C．x+y＞1 D．x﹣3＞5 【变式1-3】（2026春•铁西区校级月考）下列不等式：①；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有　 　 （填序号）． ▌题型02 根据一元一次不等式的定义求参数 1. 只含一个未知数； 2. 未知数的次数是1； 3. 不等号两边都是整式； 4. 未知数系数不能为0。 【典例1】（2026春•零陵区期末）若（m+1）x|m+2|+4＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣3或﹣1 【变式1-1】（2026春•盐城月考）若（m﹣1）x+3≤0是关于x的一元一次不等式，则m的值不可以为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．0 【变式1-2】（2026春•巴中期末）若不等式（k﹣3）x|k|﹣2＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝　 ． 【变式1-3】（2026春•鲤城区校级期末）若2x2m﹣3+4＞﹣1是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 ． ▌题型03 不等式的解 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解． 【典例1】（2026•香洲区三模）下列各数中，是不等式2x+1＜3的一个解的是（　　） A．1 B．2 C．4 D．﹣3 【变式1-1】（2026春•闵行区期末）在以下各数中，是不等式x＜﹣1的解的是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1 【变式1-2】（2026春•盐田区期末）下列x的值是不等式x＞﹣2的解的是（　　） A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝﹣2.5 D．x＝﹣3 【变式1-3】（2026•二道区校级模拟）若x＝5.5是某不等式的解，则该不等式可以是（　　） A．x＜4 B．x＜5 C．x＞5 D．x＞6 ▌题型04 数轴上表示不等式的解集 1. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式． 2. 用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）． 不等式的解集 数轴表示 x>a x<a x≥a x≤a 不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中． 【典例1】（2026春•锦江区校级期中）不等式2x﹣4＜0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026•遵义一模）不等式2x＞6的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•玄武区期末）不等式4﹣3x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026春•广州校级月考）不等式x﹣3＞0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． ▌题型05 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；系数化为1；①其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左。 【典例1】（2026春•衡山县期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【变式1-1】（2026•秦都区校级模拟）解不等式，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来． 【变式1-2】（2026春•冷水江市期末）解不等式：，并在如图的数轴上表示出它的解集． 【变式1-3】（2026春•滁州期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． ▌题型06 求一元一次不等式的整数解 （1）解不等式，按一元一次不等式解法，求出解集； （2）在数轴上标出范围； （3）在解集范围内找整数，从边界开始，依次写出满足条件的整数； （4）检验端点． 【典例1】（2026春•寿县期末）不等式2x+9≥3（x+2）的非负整数解的个数（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（2025春•锡山区期末）不等式2（x﹣1）≤8的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式1-2】（2025春•五华县期中）不等式7﹣3x＞2x﹣8的正整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2026春•茄子河区期末）不等式5x＜3x+8的最大整数解是　 ． ▌题型07 根据一元一次不等式的解集求参数 （1）解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>号）。 （2）对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 （3）系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 （4）端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 【典例1】（2025春•鲤城区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＞1 C．m＜1 D．m＜0 【变式1-1】（2026•船营区校级模拟）如果关于x的不等式2x﹣a≤1的解集为x≤3，那么实数a的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】（2026春•西安校级期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x的解集为x＜a﹣1，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【变式1-3】（2026春•北京期末）已知（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 ▌题型08 解不等式时过程出错 根据不等式的性质，解一元一次方程常见易错点进行分析求解。 【典例1】（2026•龙华区校级三模）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步 合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步 系数化为1得：x＞2．…第五步 任务一：以上解题过程中，第　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：　 ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：． 【变式1-1】（2026春•龙亭区校级期末）下面是小亮解不等式的过程，请认真阅读并完成任务． 解：去分母，得2（x+5）﹣3（3x﹣1）≤6．第一步 去括号，得2x+10﹣9x+3≤6．第二步 移项，得2x﹣9x≤6﹣10﹣3．第三步 合并同类项，得﹣7x≤﹣7．第四步 系数化为1，得x≤1．第五步 （1）解题过程中，第　 步出现了错误，错误的原因是　 　 　 ． （2）直接写出该不等式的解集，并在如图所示的数轴上表示出来． 【变式1-2】（2026春•平城区校级期末）小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得2（x+2）≥3（2x﹣3）…第一步 去括号，得2x+4≥6x﹣9…第二步 移项、合并同类项，得﹣4x≤﹣13…第三步 两边同时除以﹣4，得第四步 （1）小明的解法是从第　 步开始出错的，第四步的依据是　 　 　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【变式1-3】（2025秋•永康市期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　　 ，第　　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． ▌题型09 一元一次不等式与二元一次方程组 （1）先解方程组，用含 a 的式子表示 x,y； （2）代入不等式 x>0； （3）解关于 a 的一元一次不等式。 【典例1】（2026春•颍东区期末）已知关于x，y的方程组． （1）若x+y＝2，求m的值； （2）若y为负数，求m的取值范围． 【变式1-1】（2026春•晋江市期末）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于x方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，求k的取值范围． 请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足x+y≥2，求m的最大整数解． 【变式1-2】（2026春•牡丹江期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x≥2y且y是非负数． （1）求a的取值范围； （2）当a为整数时，不等式ax﹣3x﹣a＞﹣3的解集为x＜1，求满足所有条件a的值． 【变式1-3】（2026春•定边县校级期末）数学思维课堂上，张老师在黑板上写了一个关于x，y的二元一次方程组，然后让同学们自己添加一个条件，提出问题并解答．请你完成下面两名同学的问题． （1）小辰：若该方程组与二元一次方程2x﹣y＝8的解相同，求a的值； （2）阳阳：若x+y＜5，求a的取值范围． ▌题型10 整数解（含参）问题 （1）解不等式，用参数表示解集； （2）根据“整数解”条件，在数轴上锁定范围，把已知的整数解标在数轴上，写出：最小整数解、最大整数解，从而确定所在的区间范围； （3）列“含参不等式组”求参数范围，让参数解集 刚好“包住”这些整数解，不多也不少； （4）解关于参数的不等式，写出范围。 【典例1】（2026春•襄城区期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a＜﹣2 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣3＜a≤﹣2 【变式1-1】（2026春•顺义区校级月考）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有2个非负整数解，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2 【变式1-2】（2026春•花山区校级期末）若关于x的不等式x＜m有且只有两个正整数解，则m的值不能是（　　） A．2 B．2.5 C．2.8 D．3 【变式1-3】（2025春•武城县期末）关于x不等式x﹣a＞2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a＜﹣4 B．﹣5＜a＜﹣4 C．﹣5≤a≤﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4 ▌题型11 新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常计算。 【典例1】（2026春•玉泉区期末）对于任意实数a，b，定义一种运算“※”：a※b＝ab﹣a+b﹣2，例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜4，则该不等式的解集是（　　） A． B．x＜2 C．x＞0 D． 【变式1-1】（2026春•城关区校级期末）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＜3的解集为x＜﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【变式1-2】（2026春•潜山市月考）阅读材料，回答问题： 两个解集不同的一元一次不等式，如果不等式①的解集内的所有数都在不等式②的解集范围内，则称不等式①是不等式②的“真子不等式”． 例如：不等式①x+2＞0的解集为x＞﹣2，不等式②x+3＞0的解集为x＞﹣3，x+2＞0是x+3＞0的“真子不等式”． （1）判断不等式①5（x﹣1）＞2x﹣5是否为不等式②的“真子不等式”，并说明理由； （2）若是2x+a＞1的“真子不等式”，求a的取值范围． 【变式1-3】（2026春•铁西区校级月考）定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”；如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． （1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围． ▌题型12 程序问题 （1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式； （2）列不等式； （3）解一元一次不等式； （4）结合题意写答案。 【典例1】（2025秋•西固区校级期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则可推断x的取值范围为　 ． 【变式1-1】（2026•石家庄二模）甲、乙两人输入相同的x值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为10时，求x的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求x的取值范围． 【变式1-2】（2025•正定县三模）一计算程序如图1所示，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． （1）若输入x的值为2，求输出y的值； （2）若输出的y落在如图2所示的范围内，求输入x的最大整数值． 【变式1-3】（2025春•丹凤县校级月考）如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚． （1）若“■”内的数字为﹣4，求输入的实数为101时最后输出的结果． （2）当开始输入的实数为100时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正整数，求“■”内的数字的最小值． ▌题型13 一元一次方程与不等式问题 （1）求出一元一次方程的解； （2）列不等式； （3）解一元一次不等式； （4）结合题意写答案。 【典例1】（2025春•成都期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程．若方程9﹣x＝2x，都是关于x的不等式x＜2x﹣m的相伴方程，则m的取值范围为　 ． 【变式1-1】（2025春•咸阳校级月考）若关于x的一元一次方程x﹣2m+1＝0的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m D． 【变式1-2】（2026春•晋江市期中）关于x的一元一次方程x的解大于1，求m的取值范围． 【变式1-3】（2026春•曲阜市期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”． （1）组合是 　 ；（填梦想解或无缘解） （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x的是“无缘解”，则m的取值范围为　 ． ▌题型14 解|x|＜a型不等式 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 【典例1】（2026春•深圳期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程． 对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3； 对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． （1）求绝对值不等式|x﹣3|＞2的解集； （2）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a的解集为b＜x＜3，求a﹣2b的值； （3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤2，其中m是负整数，求m的值． 【变式1-1】（2026春•汾阳市期末）阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如|x|≤m，|x|≥m，|x|＞m，|x|＜m（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （i）解不等式|x|＜2．如图1，从数轴上可以发现，大于﹣2而小于2的数的绝对值小于2，所以|x|＜2的解集应为﹣2＜x＜2． （ii）满足|x|＞2的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于﹣2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以|x|＞2的解集应为x＜﹣2或x＞2． 任务： 【简单运用】 （1）①不等式|x|＜3的解集是　 ； ②不等式|x|＞5的解集是　 ； 【拓展探究】 （2）①已知绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0）的解集为3＜x＜b，则a＝　 ；b＝　 ； ②请求出绝对值不等式|x﹣2|+3≥4的解集． 【变式1-2】（2026春•平顶山月考）先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题． ①因为|x|＞6，从数轴上（如图1）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．②因为|x|＜6，从数轴上（如图2）可以看出只有大于﹣6且小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6． （1）|x|＜3的解集为　 　 ； （2）解不等式|2x﹣3|＞1． 【变式1-3】（2026春•朝阳区校级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1与3对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点B到点C的距离为　 ，点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为　 （用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x满足　 时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值为　 ； （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图（1）可得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1； 由图（2）可得出：绝对值不等式|x|≤3的解集，是﹣3≤x≤3； 则，不等式|x|≥4的解集是　 ； ②利用数轴直接写出不等式|x+1|+|x﹣3|＞8的解集是　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $