1.7 专题2 正方形中常见典图研究（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦正方形中相交垂线段、过中心直角、三垂直全等、角含半角等常见典图，通过“一图多变”从基础证明到变式应用，搭建全等性质、垂直关系到复杂模型的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其特色在于“一题练透”的变式训练，如三垂直模型中E从中点到延长线的演变，发展几何直观与推理能力，模型归纳用数学语言总结规律，助力学生建立模型观念，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源。

优翼 优翼 《学练优》·九年级数学上·BS 优翼 专题2 正方形中常见典图研究 优 典图一正方形中相交垂线段问题 1. 一图多变一题练透 如图，在正方形ABCD 中， 点E,F分别是边CD,AD上的点. (1)如图①，若AE⊥BF,求证：AE=BF. 0 E B 图① 优翼 F A D 0 E B C 图① 优翼 (2)如图②，若B'F⊥AE,求证：AE=B'F. D E B C B' 图② 优翼 A M D 2 / E B C B 优翼 (3)如图③，若BF垂直平分AE,垂足为点G, 连接GD,AB=4,B′F=5,则 GD F A ● G E B C B' 图③ 优 (4)如图④，已知正方形ABCD的边长为4， 点E,F分别在AD,DC上，AE=DF=1, BE与AF相交于点G,点H为BF的中 点，连接GH,则GH的长为 H B C 图④ 典图二正方形中过中心的直角问题 2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O, 点O又是正方形A1B,C1O的一个顶点，且这 两个正方形的边长相等，OA1交BC于点E, OC1交CD于点F. A B 优翼 (1)求证：OE=OF; A ○ F B E ℃ A B 优翼 A D 0 F B C, E ℃ A B 优堂 (2)若AB=2,求四边形OECF的面积. A B C、 E A B 优翼 A D B E A B 优翼 延伸设问 S 四边形OECF 三 S 正方形ABCD· A B C E B 优 模型归纳 如图，在正方形ABCD 中，O为两条对角线的交 B 点，点E,F分别在AB, BC上.若∠EOF为直 H 角，OE,OF分别与DA,AB的延长线交于 点G,H,则△AOE≌△BOF,△AOG≌ △BOH,△OGH是等腰直角三角形. 典图三正方形中三垂直全等模型 3.如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边 BC的中点，∠AEF=0°，且EF交正方形外 角平分线CF于点F. (1)求证：AE=EF. B E 图① 优 (1)证明：取AB的中点M,连接EM. A M B E C 优翼 A D M 分 B E C 优 (2)如图①，若把条件“点E是边BC的中点” 改为“点E是边BC上的任意一点”，其余 条件不变，（1)中的结论是否仍然成立？ (填“成立”或“不成立”). B E C 图① 优堂 (3)如图②，若把条件“点E是边BC的中点” 改为“点E是边BC延长线上的一点”，其 余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成 立呢？若成立，请证明；若不成立，说明理由. B C E 图② 优 (3)解：成立.证明如下：在BA的延长线上取 一点N,使AN=CE,连接NE. B C E 优翼 N F A D B CE 优翼 典图四 正方形中角含半角模型 4.如图，正方形ABCD中，AB=6,动点E,F分别 在边BC,CD上，且∠EAF=45°，连接EF. (1)求证：EF=BE十DF; B E C 优篷 D F B E C 优翼 A D F : H----B E C 优翼 (2)若BE=3,求线段DF的长. H---B E C 优翼 A D F H B E C 优翼 拓展设问 当E在CB的延长线上，F在DC的延长 线上，∠EAF=45°不变，直接写出线段 BE,DF和EF之间的数量关系： 优翼 模型归纳 (1)如图，在正方形ABCD中，若 ∠EAF=45°，则： ①EF=BE+DF;②△CEF的周长 为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分 ∠DFE,EA平分∠BEF.A D B B E (辅助线添法) 优翼 (2)如图，在正方形 ABCD中，若 ∠EAF=45°，则EF=DF一BE,FA平分 ∠DFE. A D A D A D G E B C→E B B C E F 优翼 声明 本文件著作权为创作公司所有，仅限于教师教 学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、 转卖、网络传播等侵权行为，本公司将依法追究其 相应法律责任。 部分素材选自网络，如有争议，请联系删改。