2.1.1一元二次方程（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式及系数识别，通过幼儿园地毯铺设、梯子滑动等现实情境导入，衔接一元一次方程与分式方程旧知，构建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点是以情境问题驱动概念形成，通过方程辨析题（如判断含分式或多未知数的方程是否为一元二次方程）培养抽象能力与推理意识，习题梯度合理且解析详尽。课堂小结系统梳理定义与一般形式，助力学生建立模型意识，教师可直接用于课堂训练与巩固，提升教学效果。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第二章 一元二次方程 2.1.1一元二次方程 2026年7月31日 北师大版九年级上册2.1.1 一元二次方程 同步练习题 本套习题适配北师大版九年级上册2.1第1课时《一元二次方程》，聚焦本节课核心基础知识点，涵盖一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析等重点内容。本课是一元二次方程章节的入门课时，重在区分一元一次方程、分式方程与一元二次方程，掌握一般形式转化、二次项系数取值要求等基础考点。习题难度由浅入深，题型完整、梯度合理，适合课堂基础训练与课后巩固，帮助学生夯实章节基础，规避概念混淆类易错问题。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. $$2x+3=0$$ B. $$x^2-5x=0$$ C. $$x^2+y=1$$ D. $$\frac{1}{x}+x^2=3$$ 2. 一元二次方程的一般形式是（ ） A. $$ax^2+bx+c=0$$ B. $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ C. $$x^2+bx+c=0$$ D. $$ax^2+bx=0$$ 3. 方程$$3x^2-2x+1=0$$的二次项系数、一次项系数分别是（ ） A. 3，-2 B. 3，2 C. 1，-2 D. -3，2 4. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. $$m eq0$$ B. $$m eq2$$ C. $$m=2$$ D. 任意实数 5. 下列关于x的方程中，一定不是一元二次方程的是（ ） A. $$x^2=0$$ B. $$(x+1)^2=x^2$$ C. $$2x^2-x=1$$ D. $$(m^2+1)x^2=0$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫做一元二次方程。 7. 把方程$$2x^2=5x-1$$化为一般形式为________。 8. 方程$$x^2-6=0$$的一次项系数是________，常数项是________。 9. 若方程$$kx^2-4x+2=0$$是一元二次方程，则k的取值范围是________。 10. 化简方程$$(x-2)^2=4$$，其一般形式为________。 三、解答题（共60分） 11.（12分）判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由。 （1）$$4x^2=9$$ （2）$$3x+2=x^2$$ （3）$$x^2+2y=3$$ 12.（12分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）$$5x^2=3x+1$$ （2）$$(x+3)(x-1)=4$$ 13.（18分）已知方程$$(a-3)x^2-(a+1)x+2=0$$。 （1）若该方程为一元二次方程，求a的取值范围；（2）若该方程为一元一次方程，求a的值。 14.（18分）根据下列问题列一元二次方程（无需解方程）：一个矩形的长比宽多2cm，面积为48cm²，求矩形的宽。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：A是一元一次方程，C含两个未知数，D是分式方程，只有B符合一元二次方程定义。 2. B 解析：一元二次方程一般形式必须保证二次项系数不为0，是定义核心条件。 3. A 解析：一般形式中二次项系数为3，一次项系数包含符号，为-2，常数项为1。 4. B 解析：一元二次方程二次项系数不为0，即m-2≠0，解得m≠2。 5. B 解析：B选项化简后为2x+1=0，是一元一次方程，无二次项。 二、填空题 6. 一；2 解析：一元二次方程核心定义：单未知数、最高次数为2、整式方程。 7. $$2x^2-5x+1=0$$ 解析：移项整理，将所有项移至左边，右边为0。 8. 0；-6 解析：方程无一次项，一次项系数为0，常数项为-6。 9. $$k eq0$$ 解析：二次项系数k不为0，方程为一元二次方程。 10. $$x^2-4x=0$$ 解析：展开平方并移项化简，得到标准一般形式。 三、解答题 11. 解：（1）是，为只含一个未知数、最高次数为2的整式方程；（2）是，符合一元二次方程定义；（3）不是，含有x、y两个未知数。 12. 解：（1）一般形式：$$5x^2-3x-1=0$$，二次项系数5，一次项系数-3，常数项-1；（2）展开化简得$$x^2+2x-7=0$$，二次项系数1，一次项系数2，常数项-7。 13. 解：（1）一元二次方程需a-3≠0，即$$a eq3$$；（2）一元一次方程需二次项系数为0，一次项系数不为0，即a=3。 14. 解：设矩形宽为x cm，则长为(x+2)cm，由面积公式得方程：$$x(x+2)=48$$，整理为$$x^2+2x-48=0$$。 （总字数：1110） 1. 理解一元二次方程的概念.（重点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点） 学习目标 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫作一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗? 8m 5m 4 知识点1 一元二次方程的概念 问题1 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 2x²-13x+11=0 18m² 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示 其余四个数? 根据题意，你能列出怎样的方程? x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) x x²-8x-20=0 知识点1 一元二次方程的定义 1.[西安高新区模拟] 下列是一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 8 2.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 9 问题3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗? =6(m) 如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程? (x+6)²+7²=10² 1 m 知识点1 一元二次方程的概念 x m 10 m 8 m x²+12x-15=0 知识点1 一元二次方程的概念 由上面三个问题，得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18， x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²， (x+6)²+7²=10²。 这三个方程有什么共同特点? ①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 2x²-13x+11=0 x²-8x-20=0 x²+12x-15=0 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 知识点1 一元二次方程的概念 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ①； ； ③； ④； ； ⑥ (m是常数)； ⑦ ； ⑧ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念；√ 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；√ 含有两个未知数；× 含有未知数的式子不都是整式；× 未知数的最高次数是 3；× 当m=0 时，未知数的最高次数是 1；× 整理，得x=0；× 含有未知数的式子不都是整式。× B 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点1 一元二次方程的概念 我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 知识点2 一元二次方程的一般形式 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0。 思考：为什么规定a≠0？ 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 知识点2 一元二次方程的一般形式 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.［教材P35“习题2.1”第2题变式］ 填表： 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 _________________ ___ ____ ____ _____________ ____ ___ ____ _____________ ___ ____ ___ ________________ ___ ___ ____ 1 10 10 0 5 0 1 7 返回 考试考法 17 知识点3 建立一元二次方程模型 4.某小区有一块正方形的空地，从这块空地上划出部 分区域进行绿化（图中阴影部分），原空地一边减 少了，另一边减少了 ，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长。设原正方形空地的 边长为 ，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 18 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x²。 解： 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 例2 x²+2x-6=0 1 2 -6 3x²-4=0 3 0 -4 4x²-5x=0 4 -5 0 3x²-x-1=0 3 -1 -1 知识点2 一元二次方程的一般形式 5.两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数。设较小的奇数为 ，则可列 方程为_______________。 返回 考试考法 20 6.若关于的一元二次方程 化为一般形式后 的二次项系数为1，一次项系数为，则 的值为( ) C A.1 B.3 C. D.0 返回 考试考法 21 7. ［教材P36“习题2.1”第6题变式］ 《九章算术》中记载： “今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大 意是：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈， 问它的高与宽各是多少？设矩形门的宽为 尺，则依题意所列方程为 _____________________（1丈尺，1尺 寸）。 返回 考试考法 22 8. 某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题： （1）当 _______时，方程为一元一次方程； （2）当 ___时，方程为一元二次方程。 或0 1 返回 考试考法 23 9.根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成 一般形式：如图，用 长的围栏围成总面积 为 的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的 一面靠墙（墙足够长），求 的长。 解：设的长为 。 由题意，得 ， 化成一般形式为 。 返回 考试考法 24 一元二次方程 定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 一般形式 课堂小结 谢谢观看 THANKS $