21.4 二次函数的应用 教案 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数的应用，涵盖面积最值、实物抛物线、运动轨迹及利润问题。通过生活情境导入，如围花圃、跳绳抛物线等，衔接二次函数性质，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 特色在于情境贴近生活，分类型探究（面积、抛物线、利润），注重数学建模。如面积问题培养抽象能力，运动轨迹分析发展推理意识，利润问题强化模型观念。助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学流程与多样化例题。

21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用 【教学目标】 1.经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点) 2.会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 孙大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.当x为何值时，S有最大值？并求出最大值. 二、合作探究 探究点：利用二次函数求最大面积 【类型一】 利用二次函数求最大面积 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化. (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数.(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标. 解：(1)根据题意，得S＝·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30； (2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，因为a＝－1＜0，所以S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值是225(平方米). 方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性.解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系. 【类型二】 利用二次函数判断面积取值成立的条件 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米. (1)求y关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由. 解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断. 解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)； (2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6. 所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米； (3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场. 方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场. 方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程. 【类型三】 利用二次函数确定最大面积的条件 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花. (1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值. 解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30； (2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2. 【类型四】 最大面积方案设计 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示). (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下. 解：(1)M(12，0)，P(6，6)； (2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)， 所以a(0－6)2＋6＝0，解得a＝－， 所以这条抛物线的函数关系式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x； (3)设OB＝m，则点A的坐标为(m，－m2＋2m)，所以AB＝DC＝－m2＋2m. 根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m， 所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m， 所以l＝AB＋AD＋DC＝－m2＋2m＋12－2m－m2＋2m＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米. 【板书设计】 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题 【教学目标】 1.能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；(重点、难点) 2.经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学建模的思想和数学的应用价值. 【教学过程】 一、情境导入 跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，设拿绳的手此时距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？ 要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？ 二、合作探究 探究点一：二次函数在建筑问题中的应用 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面下降1米时，水面的宽度为________米. 解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2. 方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数解析式解决实际问题. 探究点二：二次函数在体育活动中的应用 【类型一】 运动轨迹问题 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小. 解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点. 设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4. 将点C的坐标代入上式，得左边＝右边，即点C在抛物线上.所以此球一定能投中； (2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功. 【类型二】 落点问题 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)? (3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取2＝5)? 解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4).根据顶点式可求得抛物线关系式.因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长.求解的方法有多种. 解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4， 由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－. 所以函数表达式为y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1； (2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0， 所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去). 所以足球第一次落地距守门员约13米； (3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位). 所以2＝－(x－6)2＋4，解得x1＝6－2，x2＝6＋2， 所以CD＝|x1－x2|＝4≈10. 所以BD＝13－6＋10＝17(米). 方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件.常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答. 【板书设计】 建立二次函数模型 第3课时 二次函数应用中的其他问题 【教学目标】 1.掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点) 2.进一步体会数形结合的数学思想方法. 【教学过程】 一、情境导入 红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？ 二、合作探究 探究点一：利用二次函数解决利润问题 深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件. （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元.在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）由题意，设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元. 3000-10（x-10）=2600，解得：x=50. 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元. （2）由题意，①当0＜x≤10时，y=（3000-2400）x=600x,∴当x=10时，y最大=600×10=6000（元）； ②当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x=-10x2+700x=-10（x-35）2+12250， ∴当x=35时，y最大=12250（元）. ③当50＜x≤60时，y=（2600-2400）x=200x,∴当x=60时，y最大=200×60=12000（元）. 综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元. 探究点二：利用二次函数进行决策和判断 某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示. (1)求演员运动过程中距离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演能否成功？请说明理由. 解析：(1)转化为求二次函数y＝－x2＋3x＋1的最大值问题；(2)求x＝4时对应的y值，然后与BC比较，若等于3.4，即表演成功，否则就不成功. 解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋.∵a＝－<0，∴函数有最大值为.∴演员运动过程中距离地面的最大高度是m； (2)将x＝4代入函数关系式中得y＝3.4.∵BC＝3.4m，∴这次表演能成功. 方法总结：将生活中的问题转化为二次函数问题求解，要把握函数的相关性质与生活中实际问题的对应关系. 探究点三：二次函数的综合运用 如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)和(2，0)，且BC＝2.直线AC与直线x＝4交于点E.求以直线x＝4为对称轴，且过点C与原点O的抛物线对应的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E. 解析：以x＝4为对称轴的抛物线，我们一般可以设其对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，然后再根据抛物线经过点O与点C求出a与m的值. 解：由已知得点C的坐标为(2，2). 设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，∵该抛物线过点O(0，0)，C(2，2)， ∴解得 ∴所求抛物线对应的函数关系式为y＝－(x－4)2＋. 设直线AC对应的函数表达式为y＝kx＋b，则解得 ∴直线AC对应的函数表达式为y＝x＋，∴点E的坐标为(4，). 当x＝4时，y＝－(x－4)2＋＝，∴抛物线一定过点E. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.已知正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，手到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如果小刚站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时恰好通过他的头顶，请你计算出小刚的身高； (3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合图象，写出t的取值范围. 解析：对于第(1)问，由题意可知E点的坐标为(1，1.4)，B点的坐标为(6，0.9)，将这两点的坐标代入y＝ax2＋bx＋0.9，可以求出抛物线对应的函数表达式；对于第(2)问，实质是求当x＝3时的函数值；对于第(3)问， 结合图象，并根据轴对称性求t的取值范围. 解：(1)由题意得点E(1，1.4)、B(6，0.9)在抛物线上，将它们代入y＝ax2＋bx＋0.9，得 解得 ∴所求抛物线对应的函数表达式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9； (2)当x＝3时，y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8.∴小刚的身高是1.8米； (3)由抛物线的轴对称性可知1<t<5. 【板书设计】 二次函数的综合应用 1 学科网（北京）股份有限公司 $