21.3 第1课时 二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数图象与一元二次方程根的关系，通过知识回顾一次函数与一元一次方程的联系，结合小球飞行高度的情景问题，搭建从一次到二次的知识迁移支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以情景问题引导观察探究，体现数学眼光中的几何直观，通过表格归纳判别式与交点、根的关系培养推理意识，随堂演练结合图象与代数提升模型意识。小结清晰，学生能建立数形联系，教师可高效教学。

第21章 二次函数与反比例函数 21.3 第1课时 二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系 知识回顾 例题讲解 随堂演练 情景导入 获取新知 课堂小结 在学习八上第12章的时候我们学习了通过观察一次函数的图象，研究了一次函数与一次方程、一次不等式之间的关系. 想一想，通过一次函数的图象可以得出哪些结论？ 知识回顾 x y y = 2 x 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 O 2 Administrator (A) - 首先复习一次函数的相关知识点，启发学生通过类比的学习方法提出和解决二次函数与一元二次方程的关系问题。 由一次函数y=2x-3的图象可知： 它与x轴的交点坐标是( ，0 )， 即当x= 时，y=0 即x= 是一元一次方程2x-3=0的根。 一次函数与一元一次方程的关系 　 求一元一次方程kx+b=0 的解． 从“函数值”的角度看 　 求一次函数 y=kx+b 中 y=0 时 x的值 . 求一元一次方程kx+b=0 的解． 从“函数图象”的角度看 　 求直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标. 当x> 时，图象在x轴上方,即y>0， 所以x> 为一元一次不等式2x-3>0的解集； 当x< 时，图象在x轴下方,即y<0， 所以x< 为一元一次不等式2x-3<0的解集. 一次函数与一元一次不等式的关系 求kx+b＞0 (或kx+b＜0)的解 从“函数值”的角度看 就是求一次函数y=kx+b中y>0(或y<0)时，x的范围. 求kx+b＞0 (或kx+b＜0)的解 从“函数图象”的角度看 就是求直线y=kx+b在x轴上方（或下方）部分所对应的x的取值范围. 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 情景导入 （1）球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1 s或3 s时，它的高度为15 m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15 m吗？ h=20t-5t2 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2 s时，它的高度为20 m. h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5 m. h=20t-5t2 8 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 解方程： 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m. 即0 s时球地面飞出，4 s时球落回地面. h=20t-5t2 从上面探究过程可以发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. y为一个常数 （定值） 10 观察左图，说一说二次函数 的图象与x轴有几个交点?交点的横坐标与一元二次方程 的根有什么关系? 探索：二次函数的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程根的关系. 获取新知 观察图象可知，二次函数 的图象与x轴有两个交点。 两交点分别为（-2,0）（-1,0）， 交点横坐标可看作是方程 的根. 对于一元二次方程 ，当 时有实数根，这个实数根就是对应二次函数 的值等于0时自变量x的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标. 二次函数 当 一元二次方程 ， 当时，有实数根 发现 抛物线与x轴的交点的个数、一元二次方程的根与b2-4ac 的关系如下表： b2-4ac的符号 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况 图象 与x轴的交点情况 a>0 a<0 ∆＝0 ∆＜0 ∆＞0 y x o x2 x1 y x o x2 x1 y x o y x o y x o y x o 与x轴有两个交点 (x1,0),(x2,0) 与x轴有一个交点 ( - , 0) b 2a 与x轴没有交点 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 x=x1，x=x2 归纳总结 1.如图是二次函数y＝－x2＋2x＋c的部分图象，则关于x的一元二次方程 x2－2x－c＝0的解是（ ） A.x1＝1，x2＝－3 B.x1＝－2，x2＝3 C.x1＝－1，x2＝3 D.x1＝3，x2＝－3 C 随堂演练 2.(商河县月考)二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( ) A.2和－3 B.－2和3 C.2和3 D.－2和－3 A 3. 如图是二次函数 的图象，若 关于的方程 总有一正一负两 个实数根，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 17 【点拨】如图所示，当时，抛物线 与 直线 有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一个 交点的横坐标为负.所以当关于的方程 总 有一正一负两个实数根时，的取值范围是 ,故选A. 18 4. 已知，若关于 的方程 的解为，，关于 的方程 的解为， .则下列结论正确 的是( ) B A. B. C. D. 19 【点拨】关于的方程 的解为抛物线 与直线的交点的横坐标，关于 的方程 的解为抛物线 与直线 的交点的横坐标.画示意图如图.由图可知， ，故选B. 20 5. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则 ___. 9 6. 若关于的一元二次方程 的两个根为 ,，则二次函数 的图象的对称 轴为__________. 直线 21 7. 二次函数的图象过点 ，则 关于的方程 的解为_______________. , 【点拨】抛物线的对称轴为直线 ，而抛物线与 轴的一个交点坐标为，所以抛物线与 轴的另一个交 点坐标为.所以关于的方程 的解为 ， . 22 8.(庐阳区校级期中)已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数. (1)求证：不论x为何值时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； 证明：令y＝0，即x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0， ∵Δ＝b2－4ac＝[－2(m－1)]2－4(m2－2m－3) ＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12＝16＞0， ∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点. (2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)和B(x2，0)，且＋＝，求这个二次函数的表达式. 解：令y＝0，即x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0， ∵x1＋x2＝2(m－1)，x1x2＝m2－2m－3，＋ ，即=， ∴＝，解得m＝0或5， ∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12. 9. 已知关于的二次函数 ，其中 为实数. （1）求证：该抛物线与 轴没有交点； 【证明】 , ， 该抛 物线与 轴没有交点. 25 （2）若与轴平行的直线与这条抛物线相交于， 两点 （点在点的左侧），已知点到轴的距离为，求点 到 轴的距离； 【解】抛物线 的对称轴为直线 与轴平行的直线与这条抛物线相交于, 两点（点在点的左侧），,关于直线对称. 点 到轴的距离为,的横坐标为或 ， 点的横坐标为或， 点到轴的距离为或 . 26 （3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为，当 时， 求 的取值范围. 【解】， 抛 物线顶点的纵坐标,当时， 的最小值为3； 当时，；当时，， 当 时，的取值范围为 . 27 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 课堂小结 $