21.3.1 二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数图象与一元二次方程根的关系，通过小球飞行问题创设情境，回顾一元二次方程根的判别式、求根公式及二次函数表达式等知识，搭建前后知识联系的学习支架。 资料以情境探究为主线，用小球飞行问题引导学生用数学眼光观察现实世界，结合函数图象与方程求解培养数学思维的推理意识，通过根的判别式与交点个数的对应关系强化数形结合的数学语言表达。三个二次函数图象观察实例帮助学生直观理解知识，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率与学生学习效果。

第1课时　二次函数的图象与一元二次方程的根 之间的关系 课题 第1课时　二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系 授课人 教 学 目 标 1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,准确表述何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根. 2.通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步体会数形结合思想. 教学 重点 　　掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 教学 难点 　　理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.一元二次方程的一般形式是　ax2+bx+c=0(a≠0)　,其根的判别式是　b2-4ac　,求根公式是　x=　.  2.二次函数的一般式是　y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)　,顶点坐标是　(-,)　.  3.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是　直线x=-1　,开口向　上　,顶点坐标是　(-1,-5)　.  4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点坐标为　(2,0),(3,0)　.  5.已知抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(1,0),并且经过点(0,1),则抛物线所对应的函数表达式为　y=-x2+1　.  师生活动:学生自主解答上述问题,教师进行个别指导,然后进行点评和总结. 　　通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识,巩固以前所学知识,为学好本节课的新知识做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图21-3-6 问题:如图21-3-6所示,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要飞行多长时间? (2)球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要飞行多长时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多长时间? 师生活动:教师进行引导,飞行高度h与飞行时间t的表达式为h=20t-5t2,所以将h的值代入函数表达式,得到关于t的一元二次方程即可求解. 让学生完成解答过程,教师巡视指导. 　　从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系,为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境,激发学生的学习热情. 活动 二: 探究 与 应用 1.探究新知 活动一:针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程: (1)解方程15=20t-5t2,t2-4t+3=0.t1=1,t2=3. 当球飞行1 s和3 s时,它的高度为15 m. (2)解方程20=20t-5t2,t2-4t+4=0.t1=t2=2. 当球飞行2 s时,它的高度为20 m. (3)不能.理由:解方程20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0. 因为16-4×4.1<0,所以此方程无实数根,所以球的飞行高度不能达到20.5 m. (4)解方程0=20t-5t2,t2-4t=0.t1=0,t2=4. 当球飞行0 s和4 s时,高度均为0 m,即0 s时球从地面飞出,4 s时球落回地面,所以球从飞出到落地要用4 s. 教师总结:把函数值代入函数表达式,得到关于自变量的一元二次方程,解方程即可得到自变量的值. 活动二:画出二次函数h=20t-5t2的图象,体会以上问题的答案. 问题提示: (1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图; (2)教师巡视指导,与学生合作、交流; (3)教师引导学生观察函数图象,体会得到问题答案的过程; (4)学生小组讨论、交流、总结二次函数与一元二次方程的关系. 活动三: 思考: 图21-3-7 已知二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2-x+1. (1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少? (2)当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗? 师生活动:教师展示二次函数的图象,学生观察图象,展开讨论,并回答问题. (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是x1=-2,x2=1. (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点,这个点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根是x1=x2=3. (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根. 教师总结:一般地,若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点,则交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 2.归纳总结 通过以上学生间、师生间的观察、交流、讨论,进行总结: 一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,只有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根. 由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.因为作图或观察时可能存在误差,所以由图象求得的根一般是近似的. 　　1.利用函数图象解决方程根的问题,让学生把方程与函数统一起来,体会数与形结合带来的方便. 2.设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法,并把方程与函数建立联系,促使学生能够积极主动地投入到探索活动中. 3.提升归纳 问题:(1)观察二次函数y=x2-6x+9和y=x2-2x-3的图象,分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x-3=0的根的情况. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 师生活动:师生共同讨论总结: 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有两个交点; 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴只有一个交点; 当Δ<0时,方程没有实数根,抛物线与x轴没有交点. 　　3.利用函数图象解决方程根的问题,让学生把方程与函数统一起来,体会数与形结合带来的方便. 【应用举例】 例1　已知抛物线y=x2-(2a-3)x+2(a-3).求证:不论a为何实数,这个抛物线与x轴总有两个交点. 师生活动:教师引导学生根据对应方程的根的判别式的值来判断抛物线与x轴的交点情况. 证明:令y=0,得x2-(2a-3)x+2(a-3)=0. ∵Δ=[-(2a-3)]2-4×1×2(a-3) =4a2-12a+9-8a+24 =4a2-20a+33 =+8>0, ∴不论a为何实数,这个抛物线与x轴总有两个交点. 师生活动:学生自主进行解答,老师巡视、指导点评. 　　通过推理证明让学生明确恒成立问题的解题思路,也提升了逻辑推理能力. 【拓展提升】 例2　已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个交点. (1)求m的取值范围; (2)判断点P(1,1)是否在该抛物线上. 师生活动:学生自主解答后,教师进行讲解,学生再次审题,完成对题目的重新整理. 　　由抛物线与x轴的交点个数逆向求函数表达式中的字母参数的取值范围,进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识,提升学生灵活运用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.二次函数y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为　(3,0),(-1,0)　,两个交点间的距离为　4　.  2.抛物线y=x2-2x-8与x轴有　2　个交点.  3.若抛物线y=x2-4bx+4的顶点在x轴上,则b=　±1　.  4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图21-3-8所示,则一元二次方程ax2+bx+c=5的根为 (A) 图21-3-8 A.0,4　　　　　B.2,9　　　　　C.0　　　　　D.4 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步,还有哪些困惑. 教师总结:抛物线与x轴的交点有三种情况,分别是有两个交点、有一个交点、没有交点,可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示,使学生能够理解“数”与“形”之间的关系;当堂训练环节中,教师给予学生自主解答问题的时间,教师做好点评. ②[讲授效果反思] 教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与坐标轴交点的求法,即把已知坐标代入;(2)抛物线与x轴交点个数可通过计算b2-4ac进行判断. ③[师生互动反思] 教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $