21.2.3.2 二次函数表达式的确定(2) 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数表达式的确定，课堂导入先回顾待定系数法步骤及三种表达式形式，再通过已知三点求表达式的例题，引导学生从一般式到利用对称性设顶点式，搭建旧知到新知的学习支架。 特色在于一题多解与模型应用，通过课堂引入的两种解法、小组讨论归纳设式策略，培养数学思维的推理能力和创新意识，如探究新知中结合对称轴用交点式求表达式，应用举例中联立方程求交点并转化面积计算，提升学生思维灵活性，为教师提供结构化教学流程和分层训练素材。

第2课时　二次函数表达式的确定(2) 课题 第2课时　二次函数表达式的确定(2) 授课人 教 学 目 标 1.让学生利用已知条件设恰当的函数表达式,用待定系数法求二次函数的表达式. 2.指导学生利用二次函数的表达式和性质解决问题. 3.通过一题多解和不同形式不同解答的教学方式和方法,培养学生的思维能力和转化能力. 4.让学生在经历识图的过程中,培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识. 5.让学生感受数学的美,激发学生学习数学的兴趣;让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用. 教学 重点 　　如何根据已知条件设恰当的函数表达式. 教学 难点 　　体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质解决综合性问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.用待定系数法求函数表达式的基本步骤是什么? 2.学习过的二次函数的表达式有哪些形式? 师生活动:学生独立完成并进行口述,教师对学生的解答情况进行评价并总结. 用待定系数法求函数表达式的步骤: 1.设:设定含有待定系数的表达式; 2.代:将已知条件代入得到方程(组); 3.求:解方程(组)求出待定系数; 4.写:将系数代入写出表达式. 二次函数的表达式: 一般式:y=ax2+bx+c; 顶点式:y=a(x-h)2+k; 交点式:y=a(x-x1)(x-x2). 　　在学生解决两个问题的基础上进一步体验知识,有利于学生在最近发展区得到提升,为后面的学习做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 已知一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),,4三点,求这个函数的表达式. 师生活动:学生独立思考问题,教师提示设出合适的函数表达式,学生自主进行解答,教师做好辅导工作. 学生进行分析,根据图象经过三个点,可设二次函数的一般式,再把三个点的坐标代入后解三元一次方程组即可. 教师展示学生作业,然后展示问题答案. 解法1:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 　　根据题意,得解得 所以这个二次函数的表达式为y=2x2-3x+5. 师生互动:引导学生思考二次函数图象经过的点的坐标特征,提示学生后面两个点的纵坐标相同,进而得到其关于对称轴对称,可以考虑设顶点式,简化运算. 学生独立进行解答,老师做好引导和点拨,帮助学生开拓解题思路. 解法2:因为(1,4),,4的纵坐标相等,所以抛物线的对称轴为直线x==, 所以设二次函数的表达式为y=ax-2+k. 代入(1,4),(-1,10),得解得 所以二次函数的表达式为y=2x-2+. 　　运用前面所学内容解决问题,进而探究新的解题角度. 活动 二: 探究 与 应用 1.探究新知 已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=1,且与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C. (1)求这个抛物线的函数表达式及顶点坐标; (2)已知P是抛物线对称轴上的点,若S△PCA=4,求点P的坐标. 师生活动:教师指导学生根据课堂引入中例题的解答过程和步骤,运用类比思想解答此题. 学生独立进行解答,教师做好点拨和引导,帮助学生正确解答问题. 学生分析问题:根据已知抛物线的对称轴以及与x轴的交点坐标,可设函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2),把点C坐标代入后,求出a的值即可,也可以根据已知表达式求a. (1)解法1:∵抛物线对称轴为直线x=1,且与x轴交于A(-1,0),B两点,∴根据对称性可得B(3,0). 故可设y=a(x+1)(x-3). 又∵抛物线为y=ax2+bx+3,∴C(0,3), 将C(0,3)代入,得3=a(0+1)(0-3), 解得a=-1. 故抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-3),化为一般式为y=-x2+2x+3.当x=1时,y=4,∴顶点坐标为(1,4). 解法2:∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C,∴C(0,3). ∵抛物线对称轴为直线x=1,∴设y=a(x-1)2+k. 将A(-1,0),C(0,3)代入,得解得 ∴抛物线的函数表达式为y=-(x-1)2+4, ∴顶点坐标为(1,4). 图21-2-41 (2)画出抛物线如图21-2-41所示. 延长AC交直线x=1于点D. 易知直线AC的函数表达式为y=3x+3,故D(1,6). 设P(1,p), 故S△PCA=DP·(xC-xA)=××1=4, 可解得p=-2或14,故点P的坐标为(1,-2)或(1,14). 2.归纳总结 请学生以小组为单位,讨论总结求二次函数表达式的思路和方法,并讲给大家听. 师生活动:教师选派个别同学回答,其他同学进行补充,教师订正、总结: (1)已知图象上三个点或三对x,y的值,通常选择一般式:y=ax2+bx+c,把条件代入得到三元一次方程组,解方程组即可; (2)已知图象的顶点坐标或对称轴,通常选择顶点式:y=a(x-h)2+k,先把顶点坐标代入,再把另一点的坐标代入求出a的值; (3)已知抛物线的对称轴时,可以考虑利用二次函数的对称性,挖掘隐含条件,进而考虑用交点式,从而代入其他点的坐标或者利用等量关系求出a的值. 　　 1.运用类比的思想,用待定系数法求二次函数的表达式,通常可运用一般式求解. 2.在给定顶点坐标时,设一般式求解问题较麻烦,所以引导学生采用顶点式解答,这样学生对于不同类型的问题有不同的解答方案,有利于活跃学生的思维,养成善于总结的习惯. 【应用举例】 例　已知抛物线经过(-1,12.5),(1,4.5),(0,8)三点. (1)求这条抛物线对应的函数表达式; (2)若该抛物线的顶点为A,且与直线y=x+1交于B,C两点,在同一平面直角坐标系中画出它们的图象,并求出△ABC的面积. 师生活动:教师选派两名同学选择不同的解答方式进行板演,其他同学在练习本上书写解答过程,教师做好指导和评价. 解:(1)设所求抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+c,由抛物线经过(-1,12.5),(1,4.5),(0,8)三点,得 解方程组,得 所求抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+8. (2)如图21-2-42,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8. 图21-2-42 　　由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0). 解方程组 得B,C两点的坐标为B(2,2),C(7,4.5). 过B,C两点分别作x轴的垂线,垂足为点B1,C1,则△ABC的面积为 S△ABC=-- =(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1 =×(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5 =7.5. 教师评价:通过二次函数的性质找对称轴和顶点坐标,以及和坐标轴的交点,利用对称性找到关于对称轴对称的点,进而用光滑的曲线顺次连接这些点,而直线利用两点式即可画出. 方程联立可以求出交点坐标,同理数形结合也可以得到交点坐标.求面积的方法采用转化的思想,可以采用补形法来求,也可采用分割法来求,学生根据自己的情况适当选择. 　　通过前面所学内容拓展考查角度,激发学生的学习兴趣,运用所学知识,从不同的角度进行解答,既训练了学生解决问题的能力和思维的灵活性,又培养了学生深层次的思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (C) 图21-2-43 2.如图21-2-44,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OC=OB.求a的值. 图21-2-44 解:∵y=ax2-2ax-3a=a(x-3)(x+1),令y=0, ∴x1=3,x2=-1,∴B(3,0),A(-1,0). ∵OC=OB=3,∴C(0,-3),∴-3a=-3,∴a=1. 3.如图21-2-45,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3),与x轴交于点B,C,且对称轴是直线x=2. (1)求二次函数的表达式; (2)若该函数图象上存在点P,使△PBC的面积是△ABC的面积的,试求点P的坐标. 图21-2-45 解:(1)根据题意,得c=3,-=2,所以b=-4. 所以该二次函数的表达式为y=x2-4x+3. (2)(2+,2)或(2-,2). 学生进行当堂检测,完成后教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步,还有哪些困惑. 教师强调:①灵活运用待定系数法求二次函数表达式的三种类型;②二次函数与一次函数综合考查时,要深挖隐含条件,结合函数性质去解决. 　　课堂总结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,利用上一节课的问题引导学生深度思考,学生能够提高学习兴趣,对数学的应用价值有深入的体会;在探究新知活动中,学生能够在讨论、交流的同时,获得对于求得的新知有深入的理解,获得求解二次函数表达式的方法. ②[讲授效果反思] 教师强调本课的重、难点:(1)正确选择二次函数表达式的形式;(2)对于二次函数与一次函数的交点问题要深挖隐含条件,结合函数性质去解决. ③[师生互动反思] 从教学过程分析,学生运用充分的自主探究、合作交流的时间,能够起到较好的效果,教师点拨到位、举例说明,能够落实课时学习目标. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $