专题21.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关系，系统梳理抛物线与x轴交点（对应方程根）、根的情况（判别式）、截线长、近似解及二次函数图像解不等式等知识点，构建从基础关系到综合应用的递进学习支架。 资料以8大题型（如抛物线与x轴交点、方程根的情况等）为主线，例题与变式题结合（含各地期中期末试题），通过数形结合培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

专题21.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 抛物线与x轴是否有公共点】 2 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 3 【题型3 抛物线与x轴的截线长】 4 【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】 4 【题型5 图象法解一元二次不等式】 7 【题型6 利用不等式求二次函数中参数】 8 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 8 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点比较大小】 10 考点1 二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： （示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 【题型1 抛物线与x轴是否有公共点】 【例1】已知二次函数的图象经过，两点． (1)求b，c的值； (2)二次函数的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知二次函数（m为常数），则该二次函数的图象与轴（   ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．没有公共点 D．无法确定公共点的个数 【变式1-2】（24-25九年级上·北京顺义·期中）若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）将二次函数的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________． 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【变式2-1】（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【题型3 抛物线与x轴的截线长】 【例3】如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则________．________． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】 【例4】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【变式4-2】二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 考点2 二次函数与一元二次不等式 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤 （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型5 图象法解一元二次不等式】 【例5】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【变式5-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【变式5-3】二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．    【题型6 利用不等式求二次函数中参数】 【例6】不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 【变式6-1】若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________． 【变式6-3】（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为． （1）______； （2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【变式7-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【变式7-2】（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【变式7-3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点比较大小】 【例8】（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线，抛物线与轴交于两点()，则，，的大小关系是___________． 【变式8-1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知抛物线的图象与轴的两交点的横坐标分别，，一元二次方程的两根为，，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（       ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 抛物线与x轴是否有公共点】 2 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 4 【题型3 抛物线与x轴的截线长】 7 【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】 9 【题型5 图象法解一元二次不等式】 13 【题型6 利用不等式求二次函数中参数】 16 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 18 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点比较大小】 21 考点1 二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： （示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 【题型1 抛物线与x轴是否有公共点】 【例1】已知二次函数的图象经过，两点． (1)求b，c的值； (2)二次函数的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有；和 【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得出b、c的方程组，解方程组即可； （2） 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得： ， 解得：． （2）解：有，理由如下： 由（1）知，抛物线的表达式为， 则， 故抛物线与x轴有两个公共点， 令，解得或8， 故公共点坐标为和． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤，正确进行运算． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知二次函数（m为常数），则该二次函数的图象与轴（   ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．没有公共点 D．无法确定公共点的个数 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，令，则，再求出，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， ∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个公共点， 故选：A． 【变式1-2】（24-25九年级上·北京顺义·期中）若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可． 【详解】解：函数的图象与轴有公共点， 方程有两个实数根，即， 解得：． 故选：C． 【变式1-3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）将二次函数的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程， 将二次函数的图像向上平移a个单位长度得，再根据抛物线与y有一个交点，可知抛物线与x轴只有一个交点，即可得；当抛物线与x轴有两个交点，且有一个交点为原点符合题意，分别求出答案即可. 【详解】解：∵将二次函数的图像向上平移a个单位长度得， ∴抛物线的开口向上， 当抛物线与y有一个交点，则抛物线与x轴只有一个交点， 即， 解得； 当抛物线与x轴有两个交点，且有一个交点为原点时， ∴， 解得. 当抛物线与两坐标轴有且只有2个交点时，a的值为3或7. 故答案为：3或7. 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式2-1】（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【答案】D 【分析】根据开口方向、与y轴交点、对称轴及抛物线对称性，逐一判断A、B、C选项，由方程等价于，利用对称性得是根，判断D选项． 【详解】解：A．∵二次函数图象开口向下， ∴，故选项错误，不符合题意； B．∵图象与y轴的交点在正半轴， ∴当时，，故选项错误，不符合题意； C．∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域， ∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意； D．方程 ， 即求二次函数图象上函数值为时对应的值． ∵对称轴为，且图象经过点； ∴点关于对称轴的对称点横坐标为： 即点也在二次函数图象上； 当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想，根据交点的坐标意义求解即可； 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零， 当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正， 故答案为：； 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【题型3 抛物线与x轴的截线长】 【例3】如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则________．________． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长． 【详解】解：∵中，，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为 ，则， 令，则， 解得： ∴, 故答案为：，． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】 【例4】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式4-2】二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． 考点2 二次函数与一元二次不等式 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤 （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型5 图象法解一元二次不等式】 【例5】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围． 【详解】解：令 ， 由图象得：当时，． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 【变式5-3】二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．    【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．先得到函数的图象与轴的交点为，，再利用数形结合的方法解题即可. 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方（包括交点）， ∴函数的图象与轴的交点为，，（把作为一个整体，代入上面的函数中，） ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【题型6 利用不等式求二次函数中参数】 【例6】不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，函数的最小值是当时取得，即为9； 当时，函数的最小值是当时取得，即为5； ∴， ∴， 即a的最大值为5． 【变式6-1】若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意二次函数的图像在的部分与x轴要有两个公共点，所以只需把x= 和x=5代入二次函数解析式中，使得它们对应的函数值大于或等于零即可，最后构建不等式组求解即可． 【详解】 二次函数的图像在的部分与x轴有两个交点 当 x=和x=5时，得 解得 此不等式的解集为 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像，关键是根据题意得到在自变量所对应的函数图像是在x轴的上方还是下方，也可以试着画函数图像来分析问题，进而构建不等式组来求解． 【变式6-2】已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________． 【答案】﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4 【分析】根据二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，设出P点坐标，由P在x轴下方得到t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，分两种情况谈论，即可解答． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P， ∴点P坐标为：（t，t2﹣（a+1）t+a）， ∵点P在x轴下方， ∴t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0， ①当a＞1时，则1＜t＜a， ∵t仅有两个整数， ∴3＜a≤4； ②当a＜1时，则a＜t＜1， 又∵t仅有两个整数， ∴﹣2≤a＜﹣1． 综上所述，实数a的取值范围为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式．解题的关键在于找出不等关系． 【变式6-3】（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为． （1）______； （2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 【答案】 1 或 【分析】（）代入可得，即，然后两边同时除以即可； （）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可． 【详解】解：（）代入可得，即， ∵， ∴， ∴； （）抛物线顶点纵坐标为， 由题意得：， ∴或， 解得或， 由（）得， ∴， ∴或， ∴或． 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 【变式7-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与不等式的关系，解题的关键是根据两函数图象的交点，确定抛物线在直线上方（含交点）对应的的取值范围． 【详解】解：不等式表示抛物线在直线上方（含交点）的部分对应的的取值． 已知两函数交点坐标为和，结合图象可知，此时或． 故答案为：或． 【变式7-2】（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 【变式7-3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点比较大小】 【例8】（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线，抛物线与轴交于两点()，则，，的大小关系是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的平移，设抛物线的解析式为，函数向下平移个单位得到函数，根据平移的性质画出两个二次函数图象的示意图，根据抛物线与交点的位置进行判断即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 则、是函数和轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移个单位得到函数， 则两个函数的图像如图所示（省略了轴）， 由图像可得:， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知抛物线的图象与轴的两交点的横坐标分别，，一元二次方程的两根为，，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．抛物线图象是由向下平移5个单位所得，作出图象，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的两个交点的横坐标为，， ∵的图象是由向下平移5个单位所得，如图， ∴，选项A符合题意， 故选：A． 【变式8-2】已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出函数和y=2的图象草图，根据函数图象可直接求解． 【详解】解：∵a=1>0 ∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、 又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且 ∴抛物线的图象如图，    由图象可知： 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图象． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（       ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】C 【分析】分情况讨论：或，注意抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系. 【详解】解：当时，如图所示： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，且； 当时，如图所示： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，且． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质和平移；由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $