21.2.2 第4课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过复习y=a(x-h)²+k的形状、位置、开口方向等特征，结合表格实例回顾旧知，再以“如何画一般式图象”设问，搭建从顶点式到一般式的学习支架。 其亮点在于以问题引导学生用数学眼光观察转化需求，通过配方步骤（提、配、化）和顶点坐标公式推导发展数学思维，借助表格、例题及“奇幻点”问题强化数学语言表达。采用归纳总结与针对训练，助力学生提升运算和推理能力，教师可依托清晰流程与丰富练习优化教学。

第21章 二次函数与反比例函数 复习导入 例题讲解 随堂演练 知识回顾 获取新知 21.2.2 第4课时　 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课堂小结 1.一般地，抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax² 的______ 相同，______不同. 形状 位置 上加下减 左加右减 y=a(x-h)²+k y=ax² 知识回顾 2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: （1）当a>0时，开口 ， 当a<0时，开口 ， 向上 向下 （2）对称轴是 ； （3）顶点坐标是 . 直线x=h (h,k) 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(x-2)2 - 6 直线x= –3 直线x=1 直线x=2 直线x=3 向上 向上 向下 向下 （－3，5） （1，－2） （3，7 ） （2，－6） 3.完成下列表格 问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？ y O x y=a(x-h)2+k x=h k -4 -2 y -6 -2 2 4 -4 O x 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下 直线x =-1 (-1，-1) 抛物线的开口大小由 决定 |a| 怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象? 复习导入 问题： 如何画出 的图象呢? 我们知道,像y =a(x-h)2+k 这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 要作 的图象，我们需转化为我们已知的y =a(x-h)2+k的形式来完成。 二次函数 也能化成这样的形式吗？ 问题引导 获取新知 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系 通过学生复习顶点式y=a(x+h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把转化成顶点式y=a(x+h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础. 6 dell (d) - 在学习新知识的同时要会把未知的转化为已知的去解决。 提取二次项系数 配方 化简 解： 问题1 怎样把函数y= x²-6x+21 转化成y=a(x-h)2+k的形式? 配方法 一起探究 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 归纳总结 有哪几种画图方法？ 根据顶点式 确定开口方向,对称轴,顶点坐标. 开口向上，顶点为（6，3)，对称轴为直线x=6. 画出二次函数 的图象，然后将这个图象向___平移___个单位，再将这个图象向____平移____个单位. 6 右 上 3 -1 -2 -3 1 3 2 4 1 2 3 4 5 y O x 方法一：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法二：描点法 先利用对称性列表: 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上 直线x=6 (6,3) x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 7.5 7.5 5 5 3.5 3.5 3 当_____时y随x的增大而减小 当_____时y随x的增大而增大 x>6 x<6 x＝6 画函数 y = -2x2-8x-7 的图象. y O 1 x 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 (1)将这个函数的表达式配方： = -2(x2+4x)-7 = -2(x2+4x+4)-7+8 y = -2x2-8x-7 = -2(x+2)2+1 (2)根据图象的对称性列表： x … -2 -1 0 … y=-2(x+2)2+1 … 1 -1 -7 … (3)描点、连线. 针对训练 配方: 提取：把二次项系数提出来 配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方. 整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项. 知识点2 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k Administrator (A) - 一般式向顶点式的变形的目的是建立一般式中各项系数与顶点和对称轴之间的联系，从而类似解方程可以有一个更一般化的公式来解决函数中的顶点和对称轴问题 归 纳 因此,二次函数y=ax2+bx+c 的图象是一条抛物线. 二次函数 y=a(x-h)2+k的形式 转 化 抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式， 即 归纳总结 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与性质 函数y=ax2+bx+c 图象 图象特点 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数性质 增减性 最值 a>0 a<0 开口向上 开口向下 ( - , ) b 2a 4ac-b2 4a 直线 x=- b 2a y x o y x o 即x>- 时， 在对称轴的左侧， 即x<- 时， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧， y随x的增大而增大； b 2a b 2a 即x>- 时， 在对称轴的左侧， 即x<- 时， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧， y随x的增大而减小； b 2a b 2a 当x= 时， y最小值= b 2a - 4ac-b2 4a 当x= 时， y最大值= b 2a - 4ac-b2 4a 例题讲解 例 已知：抛物线y＝2x2－4x－6. (1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2) 当x为何值时，y随x 的增大而增大？ 解： y＝2x2－4x－6=2(x2－2x+1-1)-6=2(x－1)2-8. (1)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)． (2)当x＞1时，y随x 的增大而增大． C 1.二次函数 y=-x2+2x+4 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如果抛物线 y=2x2+bx+c 的顶点坐标为 (1,-2) ,那么 b= ，c= . -4 0 随堂演练 1.用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( ) A.y＝(x－4)2＋7 B.y＝(x－4)2－25 C.y＝(x＋4)2＋7 D.y＝(x＋4)2－25 B 随堂演练 2.已知二次函数的表达式为y＝x2－4x＋5，则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A.(－2，1) B.(2，1) C.(2，－1) D.(1，2) B 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法中错误的是( ) A.图象关于直线x＝1对称 B.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4 C.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别是－1，3 D.当x＜1时，y随x的增大而增大 D 4.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－2x－1先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A.y＝(x＋1)2＋1 B.y＝(x－3)2＋1 C.y＝(x－3)2－5 D.y＝(x＋1)2＋2 A 5.(宣城期末)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A.a＜0 B.b＜0 C.c＜0 D.abc＞0 B 6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论的序号是( ) A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ C 7.(合肥第四十六中学月考)若抛物线y＝x2＋mx＋m＋2经过原点，则m＝ . 8.已知二次函数y＝－x2＋6x＋k上有两个点为(2，y1)，(5，y2)，则y1，y2的大小关系为y1 y2.(选填“>”“<”或“＝”) -2 > 9.(盐城中考)若点P(m，n)在二次函数y＝x2＋2x＋2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则m的取值范围是 ；n的取值范围是 . －2＜m＜2 1≤n＜10 10.已知抛物线y＝ax2－4x与x轴交于点A(4，0)，其顶点记作点P. (1)求此抛物线的顶点P的坐标； 解：(1)将点A(4，0)代入y＝ax2－4x， 得0＝16a－16，解得a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＝(x－2)2－4， ∴此抛物线的顶点P的坐标为(2，－4). (2)将抛物线y＝ax2－4x向左平移m(m>0)个单位，使其顶点落在直线y＝x上，求平移后新抛物线的表达式. 解：由题意得平移后的抛物线的表达式为 y＝(x－2＋m)2－4， 平移后的抛物线的顶点坐标为(2－m，－4)， ∵顶点落在直线y＝x上， ∴2－m＝－4， 解得m＝6， ∴平移后新抛物线的表达式为y＝(x＋4)2－4. 11.若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，即满足A(m，2m)，则称点A为“奇幻点”. (1)二次函数y＝x2－x－4图象上的“奇幻点”为 ； (－1，－2)和(4，8) (2)已知二次函数y＝tx2＋(t－2)x－4(t为常数，且t≠0)，当t为何值时，该二次函数只有唯一的“奇幻点”. 解：(2)令y＝2x，则2x＝tx2＋(t－2)x－4， 整理得tx2＋(t－4)x－4＝0， ∵该二次函数只有唯一的“奇幻点”， ∴方程tx2＋(t－4)x－4＝0有两个相同的实数解， ∴(t－4)2－4×t×(－4)＝0，解得t＝－4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质 图象 性质 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 课堂小结 $