专题01 二次根式及其性质（7题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以7题型为框架，提炼解题通法与易错点，构建从概念到复合应用的完整逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式有意义范围|2典例+3变式|四条件联立不等式组|从被开方数非负拓展至分式、零次幂综合条件| |双重非负性|2典例+3变式|非负性构造方程求解|性质应用：利用√a≥0与a≥0建立等量关系| |含字母化简|4典例+6变式|定符号→转绝对值→去绝对值→合并|结合数轴抽象字母符号，培养几何直观| |参数范围|2典例+5变式|分类讨论根号成立条件|性质逆向应用，发展推理意识| |根号内外因式移动|2典例+3变式|正负因式移动符号规则|深化对√a(a≥0)的理解，强化运算严谨性| |最简二次根式判断|1典例+3变式|最简判断标准（被开方数不含分母、质因数）|化简结果检验，建立规范意识| |复合二次根式化简|1典例+4变式|标准型拆分与无2倍根号凑系数法|进阶应用，提升数学思维灵活性|

专题01 二次根式及其性质（7题型突破·举一反三） 题型01 求二次根式有意义的字母取值范围 题型02 二次根式双重非负性 题型03 含字母二次根式基础化简 题型04 求参数范围 题型05 根号内外因式移动 题型06 最简二次根式判断 题型07 复合二次根式化简 ▌题型01 求二次根式有意义的字母取值范围 解题通用规则： 1. 二次根式被开方数； 2. 分式分母； 3. 零次幂底数； 4. 联立不等式组求解，取公共解集。 易错点：极易遗漏分母不为0的条件 【典例1-1】要使式子有意义，则的取值范围是______． 【典例1-2】(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)当 满足_____时， 有意义． 【变式1-1】(25-26八上·上海风华初级中学·月考)要使代数式有意义，那么的取值范围是______． 【变式1-2】(25-26八上·上海青浦区实验中学·期中)当______时，有意义． 【变式1-3】(23-24八上·上海竹园中学（五四制）·)当________时，有意义． ▌题型02 二次根式双重非负性 【典例2-1】(25-26八上·上海北蔡中学·期中)已知，则________． 【典例2-2】(25-26八·上海进才实验学校·月考)已知，求___________． 【变式2-1】(23-24八上·上海金山初级中学·月考)如果 ，那么_____________． 【变式2-2】(25-26八上·上海南洋模范中学·期中)已知，为实数，，则的平方根是______． 【变式2-3】(25-26八上·上海上宝中学·月考)已知实数x、y满足，求的立方根． ▌题型03 含字母二次根式基础化简 解题四步：定符号→转绝对值→去绝对值→合并化简 【典例3-1】已知，化简：________． 【典例3-2】(25-26八上·上海奉贤区·期末)已知，化简的结果是___________． 【典例3-3】 (25-26八上·上海黄浦区震旦外国语中学·期中)若，化简______． 【典例3-4】(25-26八上·上海存志学校·月考)、在数轴上的位置如图，化简：______． 【变式3-1】(25-26八上·上海奉贤区实验中学·期中)当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】(25-26八上·上海杨浦实验中学·月考)________． 【变式3-3】(25-26八上·上海实验西校·)化简： _____． 【变式3-4】已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【变式3-5】(25-26八上·上海杨浦区·期中)实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 【变式3-6】(25-26八上·上海虹口区·期中)已知，，三个实数在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果是______． ▌题型04 求参数范围 【典例4-1】(25-26八上·上海南洋模范中学·月考)能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【典例4-2】对于，当是整数时，最小的正整数______． 【变式4-1】如果，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】(25-26八上·上海浦东新区张江集团中学·月考)等式成立的的取值范围是______． 【变式4-3】(25-26八上·上海建平实验中学·期中)如果有意义，那么的取值范围是___________． 【变式4-4】已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【变式4-5】如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． ▌题型05 根号内外因式移动 1. 正数移入：； 2. 负数移入：负号必须留在根号外，不可带入根号内。 【典例5-1】把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例5-2】(25-26八上·上海五浦汇实验学校·期中)若，则（） A． B． C． D． 【变式5-1】将根号外面的字母移入根号内，则有_______． 【变式5-2】(25-26八上·上海民办文绮中学·月考)化简二次根式______． 【变式5-3】(25-26八上·上海交通大学附属第二中学·月考)化简：________． ▌题型06 最简二次根式判断 非最简：；最简： 【典例6】(25-26八上·上海杨浦区复旦大学第二附属学校·)下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】(25-26八上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤实验中学·期中)下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】(25-26八上·上海青浦区实验中学·期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】(25-26八上·上海奉贤区实验中学·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 复合二次根式化简 类型1：标准2倍根号形式（直接拆分） 例题1：化简 解：，满足 原式 例题2：化简 解：，原式 类型2：无2倍根号（凑系数法，高频难点） 式子形如，处理方法：根号内整体乘2凑标准型 例题：化简 【典例7】(25-26八·上海竹园中学（五四制）·)计算：_______． 【变式7-1】计算： （1）______； （2）______． 【变式7-2】观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【变式7-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【变式7-4】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质（7题型突破·举一反三） 题型01 求二次根式有意义的字母取值范围 题型02 二次根式双重非负性 题型03 含字母二次根式基础化简 题型04 求参数范围 题型05 根号内外因式移动 题型06 最简二次根式判断 题型07 复合二次根式化简 ▌题型01 求二次根式有意义的字母取值范围 解题通用规则： 1. 二次根式被开方数； 2. 分式分母； 3. 零次幂底数； 4. 联立不等式组求解，取公共解集。 易错点：极易遗漏分母不为0的条件 【典例1-1】要使式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例1-2】(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)当 满足_____时， 有意义． 【答案】且 【详解】解：由题意，得：， 解得且； 故答案为：且． 【变式1-1】(25-26八上·上海风华初级中学·月考)要使代数式有意义，那么的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ； 第二，分母不为零即，解得； 故且； 故答案为：且． 【变式1-2】(25-26八上·上海青浦区实验中学·期中)当______时，有意义． 【答案】且 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 【变式1-3】(23-24八上·上海竹园中学（五四制）·)当________时，有意义． 【答案】 【详解】∵有意义， ∴ 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． ▌题型02 二次根式双重非负性 【典例2-1】(25-26八上·上海北蔡中学·期中)已知，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 【典例2-2】(25-26八·上海进才实验学校·月考)已知，求___________． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，， 解得， 将代入，得， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】(23-24八上·上海金山初级中学·月考)如果 ，那么_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， ∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】(25-26八上·上海南洋模范中学·期中)已知，为实数，，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式2-3】(25-26八上·上海上宝中学·月考)已知实数x、y满足，求的立方根． 【答案】 【详解】解：∵实数、 满足， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴， ∴， ∵分母 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的立方根为， ∴的立方根为 ． ▌题型03 含字母二次根式基础化简 解题四步：定符号→转绝对值→去绝对值→合并化简 【典例3-1】已知，化简：________． 【答案】 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 【典例3-2】(25-26八上·上海奉贤区·期末)已知，化简的结果是___________． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：1． 【典例3-3】 (25-26八上·上海黄浦区震旦外国语中学·期中)若，化简______． 【答案】 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 【典例3-4】(25-26八上·上海存志学校·月考)、在数轴上的位置如图，化简：______． 【答案】 【详解】解：由、在数轴上的位置可得：，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3-1】(25-26八上·上海奉贤区实验中学·期中)当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】(25-26八上·上海杨浦实验中学·月考)________． 【答案】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】(25-26八上·上海实验西校·)化简： _____． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 【变式3-5】(25-26八上·上海杨浦区·期中)实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 【答案】 【详解】由数轴可知，且． ，． ，根号有意义，，． 因此，原式化简为． 故答案为：． 【变式3-6】(25-26八上·上海虹口区·期中)已知，，三个实数在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果是______． 【答案】 【详解】由图可知：，，，， ． 故答案为：． ▌题型04 求参数范围 【典例4-1】(25-26八上·上海南洋模范中学·月考)能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【典例4-2】对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【变式4-1】如果，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 【变式4-2】(25-26八上·上海浦东新区张江集团中学·月考)等式成立的的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵等式成立， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】(25-26八上·上海建平实验中学·期中)如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 【变式4-4】已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【答案】 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 【变式4-5】如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． ▌题型05 根号内外因式移动 1. 正数移入：； 2. 负数移入：负号必须留在根号外，不可带入根号内。 【典例5-1】把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 【典例5-2】(25-26八上·上海五浦汇实验学校·期中)若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 【变式5-1】将根号外面的字母移入根号内，则有_______． 【答案】 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】(25-26八上·上海民办文绮中学·月考)化简二次根式______． 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式． 故答案为：． 【变式5-3】(25-26八上·上海交通大学附属第二中学·月考)化简：________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，即， ∴． 故答案为：． ▌题型06 最简二次根式判断 非最简：；最简： 【典例6】(25-26八上·上海杨浦区复旦大学第二附属学校·)下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 【变式6-1】(25-26八上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤实验中学·期中)下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】(25-26八上·上海青浦区实验中学·期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式6-3】(25-26八上·上海奉贤区实验中学·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 = = ，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B、 被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 被开方数不含能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式； D、 含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：C ▌题型07 复合二次根式化简 类型1：标准2倍根号形式（直接拆分） 例题1：化简 解：，满足 原式 例题2：化简 解：，原式 类型2：无2倍根号（凑系数法，高频难点） 式子形如，处理方法：根号内整体乘2凑标准型 例题：化简 【典例7】(25-26八·上海竹园中学（五四制）·)计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式7-1】计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 【变式7-2】观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【变式7-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 【变式7-4】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $