4.3.1对数的概念（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数的概念、指对数互化及简单运算，通过庄子“一尺之棰”和景区游客人次等现实问题导入，从指数运算的逆向矛盾出发，建立与指数函数的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“问题情境—概念生成—性质探究—应用训练”为主线，通过互动探究（如指数式与对数式对比）和牛刀小试（互化辨析、求值练习），培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维推理对数性质的能力。小结部分梳理核心定义与易错点，帮助学生形成结构化知识，教师可借助分层训练提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.3.1对数的概念 4.3 对数 学 习 目 标 1 2 理解对数的定义，掌握对数式与指数式的互化关系，明确底数、真数、对数的取值范围； 熟记常用对数、自然对数的书写形式与含义； 能依据对数概念求解简单对数值，会将指数方程转化为对数形式求值。 通过指数方程无解的矛盾情境，经历对数概念的生成过程，体会对数是指数的逆运算；通过指数式、对数式互化练习，培养等价转化、数形结合的数学思维； 生活情境 知识讲解 互动探究 新课引入 我们熟悉的乘方是已知底数、指数，求幂；可这个问题变成了已知底数、幂，反过来求指数，现有的运算体系解决不了这个逆向问题.生活里还有很多同类场景：细胞分裂多少次数量翻倍、放射性物质衰减一半需要多久，都需要我们由幂和底数反求指数.为了解决这类逆向计算，今天我们就要引入一种全新的运算——对数. 1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世 （1）取4次，还有多长？ 2、在 4.2.1 的问题 1 中, 通过指数幂运算, 我们能从 y = 中求出经过 x年后 B 地景区的游客人次为 2001 年的倍数 y. 反之, 如果要求经过多少年游客人次是 2001 年的 2 倍, 3 倍, 4 倍, , 那么该如何解决? 1、(1). (2). 抽 象 2、问题实际上就是从 ，，，中分别求出 3 目标一：对数函数的概念 研究指数式 知识讲解 互动探究 新课引入 在式子中， 有三个数2(底),4(指数）和16（幂） 乘方 由2，4得到数16的运算是 乘方运算 记为: 开方 （2）由16，4得到数2的运算是 开方运算 记为: 对数 （3）由2，16得到数4的运算是 对数运算 记为： 那么，对数的概念是什么？它有什么结构特征？ 5 概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，如果，那么数叫做以为底的 对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 为什么规定a>0且a≠1呢?   当为某些值时，的值不存在. 如: 不存在. 的值不存在. 如: 不存在.   不唯一，即有无数个值. 的值不存在. 如: 不存在.  𝐚=1 可以为任意实数，是不唯一的，即有无数个值. 6 真数恒正 知识讲解 互动探究 新课引入 对数的真数相当于指数的幂，恒为正。这一点很重要，在以后学习对数函数图象和性质中，经常用到。 1.使式子有意义的的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.使对数有意义的的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：根据题意得解得或. 解析：要使有意义，则所以， 7 一般对数与常用对数及自然对数 知识讲解 互动探究 新课引入 例如, 由于 , 所以 就是以 1.11 为底 2 的对数, 记作 ; 再如, 由于 , 所以以 4 为底 16 的对数是 2, 记作 . 类型 底数 定义 记法 常用对数 以 为底的对数叫做常用对数 记为 自然对数 （无理数，） 以无理数 为底的对数称为自然对数 记为 8 目标二：指对数互化及应用 指对互化证明性质 知识讲解 互动探究 新课引入 根据对数的定义, 可以得到对数与指数间的关系: 当，且 时， 由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 负数和0没有对数； 证明: (1) 由，得，当且时，， 所以，故负数和0没有对数. 设, 则, 所以, 即. 设，则，所以，即. 10 指对互化 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ; （2） ; （3） ; ; （5） ;（6） . 典例分析 牛刀小试 解: (1) ; (2) ; (3); （4）; （5）; （6）.   （1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式（2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 互化辩析 （多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 典例分析 牛刀小试   答案：ABD 解析：对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD.   互化求值 已知，，则 A. B.C. D. 典例分析 牛刀小试  答案：D 解析: 由题可得，，所以.故选: D 对数恒等式 知识讲解 互动探究 新课引入 思考: 答: 设，则有，所以. 设，则有. 结论: 通过探究，我们进一步熟练掌握指对互化的流程与技巧以及对数的性质，对数运算更方便。 14 目标三：对数简单运算 求对数值 求下列各式的值. ① . ② . ③ . 典例分析 牛刀小试 解析 方法一 ①设,所以, 故,即. ②设,所以, 故,即. ③设,所以,故,即. 方法二 ①. ②. ③. 法一是利用对数化指数，法二是利用对数恒等式。 解对数方程 1.若 ，则 __________. 2.若方程 的两个不相等的实根分别为 ，则 __________.已知 ，求 的值. 典例分析 牛刀小试 1.答案：64 解析：由，得，所以，即 2.答案： 解析：， 由得，由得，所以 解析: 同理, 求得 目标四：针对训练 举一反三  1、使式子有意义的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析: 由对数的概念得，解得或，故的取值范围是.故选：D.  2、使式子有意义的的取值范围是( ) A. B. C. D.，且 解析: 故选：D. 举一反三 3.已知，则__________. 答案：12解析：由得，则，所以， 故答案为:12. 4. （多选）下列结论正确的有( ) B. C. 若，则 D. 若，则 答案：AB 解析：对于 A，因为，，所以，故 A 正确； 对于 B，因为，，所以，故 B 正确； 对于 C，因为，所以，故 C 错误； 对于 D，因为，所以，故 D 错误.故选 AB.   举一反三 5.若 ，（ 且 ），则 ________. 6.已知 ，则 ________. 5.答案：18 解析： ， ， ， . 6.答案：3 解析： 由， 可得， 即， 故.   目标五：小结 学海拾贝 一、核心定义 若 且 ，，则数 叫做以 为底 的对数，记作：。 其中： 为底数， 为真数； 取值范围：，（负数与零没有对数）。 二、指数式与对数式互化 指数式： 对数式： 二者是互逆运算，已知底数、幂求指数时，用对数表示。 学海拾贝 三、两类特殊对数 对数类型 底数 简写形式 常用对数 自然对数 四、两个重要对数恒等式 （任意正数的 0 次幂为 1） （任意数的 1 次幂为自身） 学海拾贝 五、核心思想与易错提醒 本质：对数是指数的逆运算，用来解决 “已知底数和幂，求指数” 的问题； 易错点： ① 真数必须大于 0， 中 无意义； ② 底数不能为 0、1、负数； ③ 、 是固定简写，不可随意更改底数。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $