重难点培优01 三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质，涵盖任意角定义、同角关系、诱导公式及周期性、奇偶性等核心考点，按知识重构梳理根基、题型精研提炼通法、实战检测分层突破的流程，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破难点。 资料以“技巧通法·提分快招”为特色，如用定义法求三角函数值、五点法确定解析式，培养学生数学思维与模型观念。设置真题改编题与分层练习，通过对称中心求参数、图象变换规则应用等实例，高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

重难点培优01 三角函数的图象与性质 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 三角函数的定义与求值（★★） 2 题型二 同角关系与诱导公式综合（★★★） 3 题型三 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（★★★★）……………………………………… …4 题型四 中、的取值问题（★★★★）………………………………… ……5 题型五 三角函数图象变换与解析式确定（★★★★）………………………………………… ……6 03 实战检测・分层突破验成效 7 重难知识巩固 7 创新能力提升 8 知识重构·重难梳理固根基 知识点1 任意角与弧度制 1. 终边相同的角： 2.弧长 3.扇形面积 知识点2 任意角的三角函数 3. 任意角的三角函数 设角终边上一点，，则，， 4. 同角三角函数基本关系 ， 5. 诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 知识点3 三角函数的图象与性质 6. 三角函数的图象与性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称轴 无 对称中心 7. 的图象与性质 - ，五点法作图，图象变换规则 题型精研·技巧通法提能力 题型1 三角函数的定义与求值（★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 定义法：已知终边上一点，，直接代入求值。 2. 弦切互化：齐次分式分子分母同除以，转化为的代数式。 3. 扇形公式：，，注意。 4. 易错警示：三角函数值符号由终边所在象限决定。 1.（2025·全国新高考Ⅰ卷）若点（）是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·安徽示范高中皖北协作区第28届联考·改编）已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026届·湖南长沙·长郡中学月考）已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 4.（2026·山西三晋联盟名校高三1月联考·改编）的值为（ ） A． B． C． D． 5.（2026·河南郑州·高三质检）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型二 同角关系与诱导公式综合（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 与的关系：，知一求二。 2. 诱导公式整体代换：观察已知角与所求角的和或差是否为的整数倍，整体代换。 3. 弦切互化构造齐次式：分母为时，用代换。 4. 易错警示：平方关系求值时，必须根据象限确定符号。 1.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·经典题·改编）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·新高考Ⅱ卷·第7题）已知为第二象限角，，则（ ） A． B． C． D． 4.（2026·广东深圳·高三一模）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 5.（2025·浙江杭州·高三质检）已知，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型三 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 周期：，周期；周期。 2. 对称轴：中，令；中，令。 3. 对称中心：型令；型令；型令。 4. 奇偶性：为奇，为偶；型相反。 1.（2025·天津·模拟检测）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后所得函数为偶函数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·新高考Ⅰ卷·第13题）已知（，）是偶函数，且在区间上单调递增，则，． 3.（2026·山西三晋联盟名校高三1月联考·多选）已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A．直线是图象的一条对称轴 B．点是图象的一个对称中心 C．的单调递减区间为（） D．在内恰有6个零点 4.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数（），且．则的值为（ ） A． B． C． D． 5.（2026·高考题·改编）已知函数（，）在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型四 中、的取值问题（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 求：利用周期，通过图象中特殊点间距离（相邻对称轴距、相邻零点距等）确定。 2. 求：代入最高点、最低点或零点，结合范围确定。 3. 取值范围：利用零点个数、对称轴条数、单调区间长度建立不等式，数形结合求解。 4. 易错警示：注意的正负性和整数要求；注意平移量在伸缩前后的区别。 1.（2026·陕西宝鸡·高考模拟检测）已知函数（，）的最小正周期为，且图象过点，则和的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 2.（2026·高考题·改编题）已知函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·新高考Ⅰ卷·改编）已知（，）是奇函数，且在上单调递减，则和的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 4.（2026·高考题·改编）若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数，设，则的值域为（ ） A． B． C． D． 题型五 三角函数图象变换与解析式确定（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 图象变换：平移针对本身（系数为1时”左加右减”），伸缩变换乘以系数。先伸缩后平移时，平移量为。 2. 由图象求解析式：，；；代入特殊点求。 3. 五点法对应关系：第一点（上升零点），最高点，下降零点，最低点。 1.（2026·陕西宝鸡·模拟检测）将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·高考题·改编）已知函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·东北师范大学附属中学·模拟检测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数（），且．若，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5.（2026·高考题·改编）已知函数，的最大值为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.（2026·陕西宝鸡·模拟检测）已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·山西三晋联盟名校·高三1月联考）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·新高考Ⅰ卷·改编）已知，则是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4.（2026·东北师范大学附属中学·模拟检测）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 5.（2025·全国新高考Ⅰ卷·改编）函数的对称中心为（ ） A． B． C． D． 6.（2026·东北师范大学附属中学·模拟检测）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 7.（2026·山西三晋联盟名校·高三1月联考）已知函数，则在上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 8.（2026·陕西宝鸡·模拟检测）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 9.（2025·全国新高考Ⅱ卷·第15题改编）已知，则在上的值域为（ ） A． B． C． D． 10.（2026届·新高考Ⅰ卷第13题·改编）已知（，）是偶函数，且在上单调递增，则的值为（ ） A． B． C． D． 创新能力提升 1.（2026·山西三晋联盟名校·高三1月联考·多选）已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A．直线是图象的一条对称轴 B．的单调递减区间为 C．在内有2个零点 D．的最大值为 2.（2026·高考题·改编）已知函数，恰有两个极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数，，则的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 4.（2026·云南·模拟检测）函数在上的最大值与最小值之和为（ ） A． B． C． D． 5.（2026·湖南长郡中学·模拟检测）将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到的图象。若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 三角函数的图象与性质 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 三角函数的定义与求值（★★） 2 题型二 同角关系与诱导公式综合（★★★） 3 题型三 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（★★★★）……………………………………… …4 题型四 中、的取值问题（★★★★）………………………………… ……4 题型五 三角函数图象变换与解析式确定（★★★★）………………………………………… ……6 03 实战检测・分层突破验成效 8 重难知识巩固 8 创新能力提升 12 知识重构·重难梳理固根基 知识点1 任意角与弧度制 1. 终边相同的角： 2.弧长 3.扇形面积 知识点2 任意角的三角函数 3. 任意角的三角函数 设角终边上一点，，则，， 4. 同角三角函数基本关系 ， 5. 诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 知识点3 三角函数的图象与性质 6. 三角函数的图象与性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称轴 无 对称中心 7. 的图象与性质 - ，五点法作图，图象变换规则 题型精研·技巧通法提能力 题型1 三角函数的定义与求值（★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 定义法：已知终边上一点，，直接代入求值。 2. 弦切互化：齐次分式分子分母同除以，转化为的代数式。 3. 扇形公式：，，注意。 4. 易错警示：三角函数值符号由终边所在象限决定。 1.（2025·全国新高考Ⅰ卷）若点（）是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 方法一（平移法）： 的对称中心为 （）。将 的图象向右平移 个单位得到 ，其对称中心相应变为 。 ，取 得 的最小值为 。故选B。 方法二（整体代换）：令 ，解得 ，后续同上。 【命题立意】以正切函数为载体考查对称中心，属于基础题。注意正切函数对称中心横坐标公式为 （区别于正弦/余弦的 ），且整体平移时对称中心同步平移。 2.（2026·安徽示范高中皖北协作区第28届联考·改编）已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，，， ．故选A． 3.（2026届·湖南长沙·长郡中学月考）已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 设扇形半径为，弧长为，则，（）， ， 当时，．故选B． 4.（2026·山西三晋联盟名校高三1月联考·改编）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ， 原式．故选A． 5.（2026·河南郑州·高三质检）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 分子分母同除以得．故选A． 题型二 同角关系与诱导公式综合（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 与的关系：，知一求二。 2. 诱导公式整体代换：观察已知角与所求角的和或差是否为的整数倍，整体代换。 3. 弦切互化构造齐次式：分母为时，用代换。 4. 易错警示：平方关系求值时，必须根据象限确定符号。 1.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 两边平方得，， 且，，，． ，． 联立解得，，．故选A． 2.（2026·经典题·改编）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由，利用（分子分母同乘）， 得，．故选A． 3.（2026·新高考Ⅱ卷·第7题）已知为第二象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由诱导公式得，． 为第二象限角，，． 由．故选A． 【命题溯源】 2026年新高考Ⅱ卷第7题，考查诱导公式+同角关系+象限符号判断，一道题串联三个知识点。体现高考”基础性”考查要求。 4.（2026·广东深圳·高三一模）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ， ．故选A． 5.（2025·浙江杭州·高三质检）已知，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ， ，，．故选B． 题型三 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 周期：，周期；周期。 2. 对称轴：中，令；中，令。 3. 对称中心：型令；型令；型令。 4. 奇偶性：为奇，为偶；型相反。 1.（2025·天津·模拟检测）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后所得函数为偶函数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 向左平移个单位得。为偶函数（），。，取得。故选A。 2.（2026·新高考Ⅰ卷·第13题）已知（，）是偶函数，且在区间上单调递增，则，． 【答案】 ； 【解析】 为偶函数 对任意 恒成立。 利用和差化积公式 ， 令 ，，则左边减右边为 ，化简得： 对任意 恒成立，。又 ， 或 。 当 时，。若 ， 在 上单调递减，不符合题意，舍去。 当 时，。在 上单调递增，需 且 ，解得 。 又 ， 或 。 代入求值： 时，； 时，。 无论 取 还是 ， 均为 。 【命题立意】 2026年新高考Ⅰ卷真题，两空填空题，重点考查偶函数定义的代数变形（和差化积）与单调性筛选，体现了“候选值检验”的思维链。 3.（2026·山西三晋联盟名校高三1月联考·多选）已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A．直线是图象的一条对称轴 B．点是图象的一个对称中心 C．的单调递减区间为（） D．在内恰有6个零点 【答案】 ACD 【解析】 由得，． A：，为最小值，是对称轴，A正确． B：，不是对称中心，B错误． C：的递减区间满足，即，的递减区间为，C正确． D：令得，，， 在内，共6个零点，D正确． 故选ACD． 4.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数（），且．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ，，．故选B． 5.（2026·高考题·改编）已知函数（，）在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 当时，， 的递增区间为， 取，由得 ，解得，，最大值为．故选C． 题型四 中、的取值问题（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 求：利用周期，通过图象中特殊点间距离（相邻对称轴距、相邻零点距等）确定。 2. 求：代入最高点、最低点或零点，结合范围确定。 3. 取值范围：利用零点个数、对称轴条数、单调区间长度建立不等式，数形结合求解。 4. 易错警示：注意的正负性和整数要求；注意平移量在伸缩前后的区别。 1.（2026·陕西宝鸡·高考模拟检测）已知函数（，）的最小正周期为，且图象过点，则和的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】 A 【解析】 由得， 代入得，，．故选A． 2.（2026·高考题·改编题）已知函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 右移后与原图象重合，（）， ，的最小值为．故选B． 【技巧点拨】 “平移后与原图象重合”平移距离是周期的整数倍。 3.（2026·新高考Ⅰ卷·改编）已知（，）是奇函数，且在上单调递减，则和的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】 A 【解析】 为奇函数（为偶函数时要变奇需平移）． 为奇函数，或． 当时，，在上递减递增且，，． ，选A． 4.（2026·高考题·改编）若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 当时，令， （）． 在上恰有2个的解． 需分和讨论（可正可负）． 时，右端点为，左端点， 对应应在内，时应在外． ，解得． 当 时，令 ，则 ，区间为 。恰有2个零点即 在内，而 不在：综上得 。 选D． 5.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数，设，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】，。 。 利用和差化积公式 ， 令 ，，则： ，。故选A。 题型五 三角函数图象变换与解析式确定（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 图象变换：平移针对本身（系数为1时”左加右减”），伸缩变换乘以系数。先伸缩后平移时，平移量为。 2. 由图象求解析式：，；；代入特殊点求。 3. 五点法对应关系：第一点（上升零点），最高点，下降零点，最低点。 1.（2026·陕西宝鸡·模拟检测）将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ．故选C． 2.（2026·高考题·改编）已知函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 右移后与原图象重合（），，．故选B． 3.（2026·东北师范大学附属中学·模拟检测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 横坐标伸长到原来的倍，变为，得， 再右移得．选C． 4.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数（），且．若，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 由且得． ，， ． 令，， ．故选C． 5.（2026·高考题·改编）已知函数，的最大值为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 令，当 时，要求 的最大值为 ，即 的最大值为 。而 时，，所以区间内不能出现 的点。包含 的满足 的最大连续区间是因此：，解得：又因为 ，所以选B． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.（2026·陕西宝鸡·模拟检测）已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ．故选A． 2.（2026·山西三晋联盟名校·高三1月联考）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 分子分母同除以得．故选A． 3.（2026·新高考Ⅰ卷·改编）已知，则是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】 B 【解析】 ，，为偶函数．故选B． 4.（2026·东北师范大学附属中学·模拟检测）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ．故选C． 5.（2025·全国新高考Ⅰ卷·改编）函数的对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 令，，．故选A． 6.（2026·东北师范大学附属中学·模拟检测）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，最大值为．故选A． 7.（2026·山西三晋联盟名校·高三1月联考）已知函数，则在上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 令得，，， 时，（舍），共2个,故选A． 8.（2026·陕西宝鸡·模拟检测）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 右移：．选B． 9.（2025·全国新高考Ⅱ卷·第15题改编）已知，则在上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 当时，， ，，值域为．选A． 10.（2026届·新高考Ⅰ卷第13题·改编）已知（，）是偶函数，且在上单调递增，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 为偶函数，或． 时，在上递减，舍去． 时，在上递增．故选B． 创新能力提升 1.（2026·山西三晋联盟名校·高三1月联考·多选）已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A．直线是图象的一条对称轴 B．的单调递减区间为 C．在内有2个零点 D．的最大值为 【答案】 ABC 【解析】 ，． A：为最小值，是对称轴，正确． B：得，正确． C：，，， 在内共2个，正确． D：，，，最大值为，错误． 故选ABC． 2.（2026·高考题·改编）已知函数，恰有两个极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，的极值点为． 恰有2个极值点和在区间内，不在． 分和讨论，可得，选A． 3.（2025·全国新高考Ⅱ卷·改编）已知函数，，则的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A【解析】 由题型四第5题得， 令，． 单调递减区间为．选A． 4.（2026·云南·模拟检测）函数在上的最大值与最小值之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 辅助角公式：。当 时，令 ，则 。 考察 在 上的图像：最大值：在 处取得，； 最小值：需比较区间两端点值。左端点 ，右端点 。显然右端点更小，。最大值与最小值之和为 。故选D。 5.（2026·湖南长郡中学·模拟检测）将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到的图象。若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 。当时，。（）。恰有3个零点在区间内，不在。即且，解得。故选A。 1 学科网（北京）股份有限公司 $