重难点培优01 直线与圆中的最值、范围问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆中的最值、范围问题，以数形结合与转化化归为核心思想，将考点按距离与长度、代数式几何意义、折线段与对称三类系统梳理，通过知识精讲聚焦重难、题型深研提炼通法、分层训练强化实战，帮助学生构建完整解题框架。 讲义突出数学思维培养，采用几何法优先策略，针对11类题型设计典例与变式训练，如切线长最值转化为点到圆心距离问题，培养学生抽象能力与逻辑推理。分层练习兼顾基础巩固与创新提升，配合即时反馈，高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优01 直线与圆中的最值、范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 1 题型01 切线长的最值问题 2 题型02 切点弦的最值问题 3 题型03 弦长的最值问题 3 题型04 两点间距离的最值问题 4 题型05 点到直线距离的最值问题 4 题型06 切线角的最值问题 5 题型07 面积的最值问题 5 题型08 线段和与差的最值问题 6 题型09 斜率型代数式的最值 7 题型10 截距型代数式的最值问题 7 题型11 距离型代数式的最值问题 8 分层进阶·双阶训练验成效 8 巩固过关 8 创新提升 10 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 直线与圆中最值问题的题型 高中数学中直线与圆的最值与范围问题，核心思想是数形结合与转化化归。常见题型可归纳为以下几类： 1、距离与长度最值问题 （1）定点到圆上动点的距离：转化为定点到圆心的距离与半径的关系。若点在圆外，最大值为 ，最小值为 ；若点在圆内，最大值为 ，最小值为 。 （2）圆上动点到定直线的距离：转化为圆心到直线的距离 与半径 的关系。最大值为 ，最小值为 （若直线与圆相离，最小值为 ）。 （3）切线长与弦长：切线长 ，求切线长最值等价于求点到圆心距离 的最值。过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦。 2、代数式的几何意义问题 （1）斜率型：形如 的最值，转化为圆上动点与定点 连线的斜率最值，通常在连线与圆相切时取得。 （2）截距型：形如 的最值，转化为动直线 在 轴上的截距最值，利用圆心到直线距离等于半径（相切）求解。 （3）距离平方型：形如 的最值，转化为圆上动点到定点 距离的平方，利用几何法或三角换元求解。 3、折线段与对称问题（将军饮马模型） 涉及直线上动点到两定点距离之和或差的最值。口诀为“和最小，化异侧；差最大，转同侧”。通过作定点关于直线的对称点，将折线段转化为直线段，利用三点共线求最值。 知识点2 求解策略 （1）几何法（首选）：充分利用圆的对称性、切线性质、三角形三边关系等平面几何性质，直观快捷。 （2）代数法：建立目标函数，利用参数方程（三角换元）、配方法、判别式法或基本不等式求解。 （3）三角换元法：利用圆的参数方程 ，将几何最值转化为三角函数的值域问题。 题型深研·通法变式提能力 题型1 切线长的最值问题 【典例1-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【变式1-1】已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-2】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 题型2 切点弦的最值问题 【典例2-1】（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    题型3 弦长的最值问题 【典例3-1】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【变式3-1】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式3-3】（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【变式3-4】（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 题型4 两点间距离的最值问题 【典例4-1】（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式4-1】（多选）（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【变式4-3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 题型5 点到直线距离的最值问题 【典例5-1】（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式5-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-4】（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 题型6 切线角的最值问题 【典例6-1】（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【变式6-3】（25-26高二上·山东·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____. 题型7 面积的最值问题 【典例7-1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【典例7-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式7-1】（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【变式7-3】（多选）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 【变式7-4】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 题型8 线段和与差的最值问题 【典例8-1】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式8-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【变式8-3】（2026高二·全国·专题练习）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 题型9 斜率型代数式的最值 【典例9-1】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【变式9-1】已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________. 【变式9-2】已知为圆上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 题型10 截距型代数式的最值问题 【典例10-1】已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（     ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 【变式10-1】（2026高二·全国·专题练习）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【变式10-2】已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 . 【变式10-3】已知实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型11 距离型代数式的最值问题 【典例11-1】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【变式11-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 【变式11-2】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 一、单选题 1．（2026·吉林通化·三模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃定西·期中）若实数满足等式，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·期中）已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值为（ ） A．72 B．88 C．75 D．86 二、多选题 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设坐标原点为，直线，，则（　　） A．的充要条件是或 B．若，则 C．点到直线的距离的最大值是 D．若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 7．已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最大值为6 8．（2026·广东佛山·一模）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 三、填空题 9．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知直线：恒过定点，点为圆：上的动点：为坐标原点，则面积的最大值为______. 10．已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为______． 四、解答题 11．（25-26高二下·上海·期中）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 12．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 创新提升 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 2．（2026·北京房山·二模）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 二、多选题 7．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 8．（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 三、填空题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 10．（25-26高三·全国·一轮复习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 四、解答题 11．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 直线与圆中的最值、范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 1 题型01 切线长的最值问题 2 题型02 切点弦的最值问题 4 题型03 弦长的最值问题 6 题型04 两点间距离的最值问题 9 题型05 点到直线距离的最值问题 11 题型06 切线角的最值问题 14 题型07 面积的最值问题 17 题型08 线段和与差的最值问题 23 题型09 斜率型代数式的最值 25 题型10 截距型代数式的最值问题 28 题型11 距离型代数式的最值问题 29 分层进阶·双阶训练验成效 32 巩固过关 32 创新提升 40 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 直线与圆中最值问题的题型 高中数学中直线与圆的最值与范围问题，核心思想是数形结合与转化化归。常见题型可归纳为以下几类： 1、距离与长度最值问题 （1）定点到圆上动点的距离：转化为定点到圆心的距离与半径的关系。若点在圆外，最大值为 ，最小值为 ；若点在圆内，最大值为 ，最小值为 。 （2）圆上动点到定直线的距离：转化为圆心到直线的距离 与半径 的关系。最大值为 ，最小值为 （若直线与圆相离，最小值为 ）。 （3）切线长与弦长：切线长 ，求切线长最值等价于求点到圆心距离 的最值。过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦。 2、代数式的几何意义问题 （1）斜率型：形如 的最值，转化为圆上动点与定点 连线的斜率最值，通常在连线与圆相切时取得。 （2）截距型：形如 的最值，转化为动直线 在 轴上的截距最值，利用圆心到直线距离等于半径（相切）求解。 （3）距离平方型：形如 的最值，转化为圆上动点到定点 距离的平方，利用几何法或三角换元求解。 3、折线段与对称问题（将军饮马模型） 涉及直线上动点到两定点距离之和或差的最值。口诀为“和最小，化异侧；差最大，转同侧”。通过作定点关于直线的对称点，将折线段转化为直线段，利用三点共线求最值。 知识点2 求解策略 （1）几何法（首选）：充分利用圆的对称性、切线性质、三角形三边关系等平面几何性质，直观快捷。 （2）代数法：建立目标函数，利用参数方程（三角换元）、配方法、判别式法或基本不等式求解。 （3）三角换元法：利用圆的参数方程 ，将几何最值转化为三角函数的值域问题。 题型深研·通法变式提能力 题型1 切线长的最值问题 【典例1-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    【变式1-1】已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 【变式1-2】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【解答过程】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 题型2 切点弦的最值问题 【典例2-1】（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得以为直径的圆的方程，与圆方程相减得到直线方程，进而可求解. 【详解】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 【变式2-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    【变式2-2】如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【详解】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为：. 题型3 弦长的最值问题 【典例3-1】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 【变式3-1】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 【变式3-3】（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 【变式3-4】（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 题型4 两点间距离的最值问题 【典例4-1】（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 【变式4-1】（多选）（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【答案】BC 【分析】根据对称求出圆N的方程，根据两圆的方程可判断A,B，根据点和圆心的距离可判断C,D. 【详解】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆. 圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确； 因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确； 因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误. 【变式4-3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【变式4-4】已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【解答过程】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 题型5 点到直线距离的最值问题 【典例5-1】（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 【变式5-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设点，依题意点，在以为直径的圆上，求出该圆的方程，由两圆的方程相减求得两圆公共弦的所在直线方程，整理可得该圆经过定点，由圆的相关性质可得当直线时，原点到直线的距离取得最大值即可. 【详解】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故选：C.    【变式5-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即 的取值范围为 . 故选：A . 【变式5-3】已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【解答过程】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 【变式5-4】（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】先确定点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】如图： 设， 因为在线段的垂直平分线上，所以. 又直线与相切，所以. 所以， 所以，整理得：. 即点的轨迹为直线. 所以的最小值为点到直线的距离，为. 题型6 切线角的最值问题 【典例6-1】（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 【变式6-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【分析】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【详解】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26高二上·山东·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】先表示出，问题转化为求解，即求解圆半径的最小值求解. 【详解】设圆心为，则，. 由题意可知， 所以，因为， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 题型7 面积的最值问题 【典例7-1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 【典例7-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 【变式7-1】（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 【变式7-2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 【变式7-3】（多选）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 【答案】BCD 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆M上的点到直线l的最小和最大距离，分析可判断A的正误；根据切线长公式，结合圆心到直线的距离，分析可判断B的正误；根据B选项中的最小距离，代入面积公式，即可判断C的正误；求出点P的轨迹方程，与圆M方程联立，可得直线AB的方程，分析可判断D的正误. 【详解】对于A，由圆M：，可知圆心，半径r＝1， 所以圆心到直线的距离为， 圆M上的点到直线l的最小和最大距离分别为和， 由于，圆M上有两个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值， 又，所以，故B正确； 对于C，因为四边形AMBP面积为， 因为，所以四边形AMBP面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点A，B在以PM为直径的圆上， 又，所以点P的轨迹为， 即， 又圆M：，即， 两式子相减得直线AB的方程为：，即， 令，得，即直线AB恒过定点，故D正确．    【变式7-4】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 题型8 线段和与差的最值问题 【典例8-1】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 【变式8-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 【变式8-3】（2026高二·全国·专题练习）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 题型9 斜率型代数式的最值 【典例9-1】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 【变式9-1】已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据的几何意义，作图分析可知. 【详解】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式9-2】已知为圆上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 依题意，， 可看作圆上任意一点与定点确定直线的斜率， 当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图， 当直线切圆于点时，取得最大值，切圆于点时，取得最小值， 直线，， 直线的斜率， 所以的最小值为. 故选：D    【变式9-3】如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为： 题型10 截距型代数式的最值问题 【典例10-1】已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（     ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 【答案】A 【详解】即为 y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距， 当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9． 故选A. 【变式10-1】（2026高二·全国·专题练习）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【变式10-2】已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 . 【答案】 【详解】解：因为，即，表示以为圆心，半径的圆，令，即，则圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，最小值为； 故答案为：；； 【变式10-3】已知实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，将其看作直线，由题知直线和圆有公共点，则利用圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求出结果. 【解答过程】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为 故选：D. 题型11 距离型代数式的最值问题 【典例11-1】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【答案】D 【分析】先由题设求出两条直线垂直及其所过的定点，进而求出点P的轨迹为圆，再将转化为圆上点到原点距离的平方即可分析求解. 【详解】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：D 【变式11-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 【答案】 【详解】根据题意，把，，的坐标，分别代入，， ，方程组两式平方相加得， ， 即 ，，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆.，即 ，表达式的几何意义可以理解为到直线的距离的倍. 而的最大值是圆上一点到直线最大距离的倍，所以圆心到直线的距离， 圆上一点到直线的最大距离为，故的最大值为. 【变式11-2】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【解答过程】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B. 【变式11-3】已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 一、单选题 1．（2026·吉林通化·三模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 2．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线过定点，结合圆的性质，利用最短弦来求角的余弦值即可. 【详解】 由直线， 所以当时，可得，所以动直线经过定点， 要使得取最大值，即满足最小， 根据是等腰三角形，则只需要满足弦长最短， 故由圆的几何性质可知：，由于， 从而有：，解得：， 此时，， 即 故选：A. 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可. 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 4．（25-26高二上·甘肃定西·期中）若实数满足等式，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，从而得到，求出圆心坐标与半径，依题意可得直线与圆有交点，根据点到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可. 【详解】设，则，即， 又表示以为圆心，半径的圆， 依题意可得，解得，所以的最大值为. 故选：D 5．（25-26高二上·全国·期中）已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值为（ ） A．72 B．88 C．75 D．86 【答案】B 【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式列式，并结合圆的点的坐标范围即可求得所求式的最大值. 【详解】设，由点P在圆上，得， 因点， 则， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为88. 故选：B 二、多选题 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设坐标原点为，直线，，则（　　） A．的充要条件是或 B．若，则 C．点到直线的距离的最大值是 D．若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程，解方程可判断A选项；根据垂直列方程，解方程可判断B选项；易知直线过定点，可知点到直线的最大距离为，易知直线过定点，过，根据直线与始终垂直，可得垂足的轨迹是以为直径的圆，即可判断D选项. 【详解】A选项：若，则，解得， 所以或是的必要不充分条件，A选项错误； B选项：由，则，解得，B选项正确； C选项：由，即，可知过定点， 所以点到直线的最大距离为，C选项正确； D选项：由直线，即，可知直线过定点， 又过，且直线与始终垂直， 则垂足的轨迹是以为直径的圆， 又，且，中点， 所以垂足的轨迹是， 又原点在圆外， 所以点与原点距离的最大值是，D选项正确； 故选：BCD. 7．已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最大值为6 【答案】ABD 【分析】对于AB，结合两点之间的距离可知，，，算出即可；对于CD，结合直线与圆的位置关系可知，当直线过圆心时，最大，当时，最小． 【详解】对于AB，由题意知，则点在圆内，    所以，故AB正确； 对于CD，    当直线过圆心时，，当时，，故C错误，D正确． 故选：ABD． 8．（2026·广东佛山·一模）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 三、填空题 9．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知直线：恒过定点，点为圆：上的动点：为坐标原点，则面积的最大值为______. 【答案】 【分析】先求出定点坐标，根据圆心到直线的距离可得的高的最大值，结合面积公式可得答案. 【详解】由，得，由，得定点，; 直线的方程为，圆心到直线的距离为. 点 B 到直线 OA 的最大距离为, 所以面积的最大值为. 故答案为： 10．已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为______． 【答案】 【分析】根据题意，确定两圆心与半径及位置关系作出图像，由相切可知PC为四边形PACB的外接圆的直径，然后求出PC得最大值即可求解. 【详解】如图，圆C：，即圆，则圆心． 圆，即圆，设圆心为D，半径为r， 则，．因为P是圆上一动点， 所以． 因为PA，PB分别切圆C于点A，B，所以PC为四边形PACB的外接圆的直径， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高二下·上海·期中）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 12．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 创新提升 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 2．（2026·北京房山·二模）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出且为圆的切线时的的值，由是最大角可得的范围． 【详解】如图，固定，则在圆上移动过程中， 当为切线时，最大， 设其最大值为，最小值为，且能取得内所有值， 所以的范围是， 若在圆上存在点，，则有, 所以，由图可知，所以. 3．（2026高二·全国·专题练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得，以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，从而得点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 5．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 6．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】由方程确定曲线的形状，再确定曲线上的点到原点距离最大的点，进而求出最大面积. 【详解】曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称， 当时，曲线方程为，即， 此时曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点）及原点， 因此曲线是上述圆弧及其关于坐标轴、原点对称而得的图形，加上原点， 圆弧到原点距离最大值为，对应的点为， 点关于坐标轴、原点对称点为，点顺次连接得正方形， 并且是符合条件的面积最大的正方形，所以正方形的面积的最大值为4. 二、多选题 7．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 8．（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 三、填空题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 【答案】64 【分析】根据斜率关系确定点的轨迹，结合目标式的几何意义求解即可. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：， 当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 四、解答题 11．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 47 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $