专题05 二次函数背景的面积与周长问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以坐标法为核心，系统整合二次函数背景下面积与周长问题的9类题型，通过解题通法+题型模版构建“几何量代数化→函数求解”的完整方法体系，强化知识迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|坐标法转化几何量，面积用底高/铅垂高/割补，周长用轴对称/将军饮马，结合二次函数性质|二次函数坐标表示→几何量代数化→函数建模求解，体现数形结合| |题型归纳|9题型+多变式|每题型明确特征与解法，如面积最值用二次函数顶点，面积关系转化线段比|从单一图形到组合图形，从正向计算到逆向求解，层层递进| |压轴挑战|多道综合题|综合运用通法与题型技巧，强化分类讨论与多解验证|对接中考压轴命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题05 二次函数背景的面积与周长问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形面积的最值问题 题型2、已知三角形面积解决问题 题型3、已知两个三角形的面积关系解决二次函数问题 题型4、二次函数背景下的图形面积不等关系问题 题型5、二次函数背景下的四边形面积问题 题型6、二次函数背景下的图形面积的分割问题 题型7、二次函数背景下的三角形周长最值问题 题型8、二次函数背景下的四边形周长最值问题 题型9、已知周长关系解答二次函数问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的面积与周长问题，核心在于用坐标法把几何量转化为代数表达式；面积问题要善于利用“底×高÷2”“水平宽×铅垂高÷2”及割补法，把三角形、四边形面积表示为动点坐标的函数；周长最值问题则要抓住轴对称、将军饮马、三角形三边关系等几何模型，把折线拉直后求最短；无论是求最值还是由面积、周长关系反求参数，都必须注意动点的取值范围、等号成立条件及多解取舍，最后回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形面积的最值问题 典例1 如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的周长最小 (3)存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求； （3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，过点P作轴于E， ， ∴当有最大值时，有最大值， ， ， ∵， 当时，最大值， 最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上给定动点，与定点构成三角形，求该三角形面积的最大或最小值． 2.方法：用“底×高÷2”或“水平宽×铅垂高÷2”表示三角形面积；将面积表示为动点横坐标的二次函数，利用顶点、对称轴或区间端点求最值，注意动点坐标范围． 变式1-1 已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；；③，，， 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解； （2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解； ②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； ③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 对称轴为直线 （2）解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴ ∵ ，，且 两式相减得 设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得 ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线： 整理得 设 ， 由根与系数的关系得 则： 的高为 ，故面积 ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为 ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​​ 综上所述，的值为，，，． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点（点在的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求的值和点，点的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交轴于点，连结，过点作交轴于点，连结，求面积的最大值． 【答案】(1)1，， (2)15 【分析】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可，然后令，求出方程的解，即可求出A、B的坐标； （2）分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度，然后根据三角形的面积公式求出，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； （2）解：， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ∴， ∴随m的增大而增大， 又 当时，有最大值为， 即面积的最大值为15． 变式1-3 综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 题型2、已知三角形面积解决问题 典例2 （25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）已知二次函数（其中a为常数）， (1)将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值． (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值． (3)当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)顶点式为，最小值为． (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案； （2）求出的长度和点的坐标，根据三角形面积公式列出方程并解方程即可； （3）根据的取值范围分情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 即二次函数化为顶点式， ∵抛物线开口向上， ∴当时，它的最小值为． （2）解：当时，， ∴， 解得 ∵点A在点B左侧， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 则或（不合题意，舍去） 解得或； （3）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当即时，在上，随着的增大而减小， ∴当时，有最大值，当时，有最小值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当时，在上，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当即时，当时有最小值， 比较与值求最大值， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴存在的值，或． 题型模版 1.特征：已知三角形面积（或面积比、定值），反求动点坐标、二次函数解析式或相关参数． 2.方法：设出动点坐标，用面积公式列出方程；解方程求出坐标或参数，并回代验证结果． 变式2-1 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为， 顶点的坐标为 (2) (3)； 【分析】（1）利用待定系数法可求得，的值，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据平行四边形的性质可得点的坐标，再结合点在抛物线上， 即可得到、之间的关系式； （3）先求出直线的解析式，进而根据平移的性质得到点，的坐标，然后分别表示出，，根据面积比列式计算即可求出的值；先求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式，确定交点坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，顶点在直线上， ，， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 点在抛物线上， ， ； （3）解：设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 由平移可得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点， 当时，，即， 当时，代入得， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， 即的值为； 设直线的解析式为， 当时，， ，， ，， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得，， 直线与的交点为， ， 抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为， ． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图2，过点A作的平行线交抛物线于点D，点E在延长线上，，求的长．（用含a的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的面积为，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，四点共圆，全等三角形的判定及性质，解一元二次方程，综合运用相关知识是解题的关键． （1）令，则，解方程即可解答； （2）由A，B坐标得到，由，得到点A，B，E，D四点共圆，则，进而得到，从而证得，根据全等三角形的性质即可解答； （3）令，求得，运用待定系数法求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线和直线的解析式，求得．求出可得到轴，从而，根据两点间距离公式得到，因此，又，即有，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得，， ∵点A位于点B的左侧， ∴，． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A，B，E，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（2）有， ∴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． 变式2-3 （2025九年级上·浙江·专题练习）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，根与系数的关系，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 题型3、已知两个三角形的面积关系解决二次函数问题 典例3 （25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． (1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； (3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【详解】（1）解∶直线，当时，． 当时，． ，． 将，代入得 解得 抛物线的表达式． （2）解∶根据题意得∶，， ． ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 当时，． 此时； （3）解：存在． 当时，． 解得，． ． 分两种情况讨论： 若点P在x轴上方时，如图1，此时， 根据题意得∶ ，， ． ． ． 解得， 若点P在x轴下方，如图2，此时． ． ． ． 解得，(舍去) 的值为或或． 此时点的横坐标为或或． 题型模版 1.特征：两个三角形同底、同高、共顶点或存在倍数关系，利用面积关系解决二次函数问题． 2.方法：由面积关系转化为线段比、底边长或高的关系；结合二次函数解析式列方程求解，注意分类讨论不同位置． 变式3-1 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与图形，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可； （2）分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可； （3）过点作于点，作，过点作交于点，利用等腰三角形的性质，先求出时，直线的解析式，利用求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， ∴， 当时，， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ， 直线过点，则， 解得，， 直线， 如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，， ， ， ∵ 过点作轴与直线交于点， ∴， ，， ， ∴当时，， ，， ， 的值是一个定值，这个定值为； （3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点， ， ，点是的中点， ，，设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线， ，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式可得，， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， ， 解得，， ， 直线的表达式为：， 联立， 解得， ． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②存在， 【分析】（1）由题意，再由，可得，把B代入二次函数解析式得到关于a的一元二次方程，解方程得到a值，即可算出抛物线的解析式，由此即可解决问题． （2）①如图1中，设，作，，连接，．想办法构建方程，求出点E的坐标即可解决问题． ②存在．如图2中，设．作于H，于E．由，可知， ，推出，把点Q坐标代入直线的解析式为，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意， ∴， ∵， ∴， ∴得， 解得或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为， ∴，． （2） 解：①如图1中，设，作，，连接，． 由（1）可知，，， ∴ 由题知， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∴ 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． ②存在．如图2中，设．作于H，于E． ∵， ， ∴直线的解析式为， ∵是等腰直角三角形， ∴，，则， ∴， ， 易知， 把点Q坐标代入直线的解析式为，得到， 解得． 此时点P坐标． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用此方法构建方程解决问题，属于中考压轴题． 变式3-3 （24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点、，交y轴于点C．连结．点D在该抛物线上，过点D作，交直线于点E，连结．设点D横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， ，， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， 设直线表达式为， 由题意得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 变式3-4 （24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)若M是抛物线上的一动点，且，求点M的坐标； (3)点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)， (3)P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，分两种情况：在y轴正半轴上取，在y轴负半轴上取，分别验证，求出点M的坐标即可； （3）先求出点Q的坐标为，过点Q作轴于点H，求出，得出，过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，设点P的坐标为，直线的解析式为，把代入求出直线的解析式为，求出点的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在y轴正半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时点符合题意， 设直线的解析式为：，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍）， 把代入得， ∴点； 在y轴负半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时点符合题意， 设直线的解析式为：，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍）， 把代入得， ∴点； 综上分析可知：点，； （3）解：把代入得：， ∴点Q的坐标为， 过点Q作轴于点H，如图所示： ∴点H的坐标为：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴顶点E的坐标为， 过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，如图所示： ∵将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P， ∴点P在过点E平行于轴的直线上， 设点P的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移，求一次函数解析式等知识，解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想解决问题． 变式3-5 已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)① 或 ② ③最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）①根据是以为底边的等腰三角形，可得，建立方程求解即可得出答案； ②过点作轴于点，则，证得，可得，即，解方程即可； ③设，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，即可得出：，，即，，再运用三角形面积公式即可求得，再利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线，经过，两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点的坐标为； （2）令，得， 解得：，， ，， 设，且， ①， ， ， ， 是是以为底边的等腰三角形， ∴，即， ， 整理得：， 解得：或， ∴ 或； ②如图，过点作轴于点，则，   ， ， ，即， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； ③设，如图，   ， 直线的解析式为， 令，得， ， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 令，得， ， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性． 变式3-6 如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，韦达定理，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 题型4、二次函数背景下的图形面积不等关系问题 典例4 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求该函数表达式与顶点坐标． (2)当时，二次函数有最大值，求的值． (3)若抛物线与题（1）中抛物线交于，两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是与，两条抛物线在，两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)证明：由题（1）知抛物线的顶点为， 与轴的交点为，抛物线与轴交点为，连接，如下图所示 ， 将与分别代入， 得，， 四边形的面积， 设直线的解析式为， 将点，点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点， ，， 的面积， 四边形的面积的面积， 封闭曲线所围成的图形面积大于． 【分析】（1）运用待定系数法和顶点的坐标公式即可求出； （2）抛物线的对称轴为直线，根据对称轴在区间的位置，分类讨论取得最大值的条件，求出的值； （3）求出抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标，抛物线与轴交点坐标，以及，两点的坐标，再以轴为底，点B与点D两点的横坐标之差为高，求出四边形的面积；求出过、两点的直线的解析式，过点作轴交于点，以为底，求出的面积，四边形的面积与的面积之和大于2，证明成立． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得， 该函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， ，顶点坐标为． （2）解：抛物线，开口向下，对称轴为直线， ①若，即，当时，，解得， 这与矛盾，舍去； ②若，即，当时，， 解得，， ， ； ③若，即，当时，，解得； 综上所述，或． （3）略 题型模版 1.特征：在二次函数背景下比较两个图形面积大小，或证明面积满足某种不等关系． 2.方法：作差法比较面积表达式，化为二次函数或不等式；利用开口方向、判别式、最值证明不等关系成立． 变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) 如图所示， 抛物线 (2) (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． 【详解】（1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 变式4-2 （24-25九年级下·辽宁大连·阶段检测）已知，抛物线交x轴于、，交y轴于，若或，那么就称二次函数为“和协二次函数”． (1)判断函数是否为“和协二次函数” （填“是”或“否”）； (2)若是“和协二次函数”，求值； (3)已知“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． ①如图（1），在直线上方的抛物线上有、两点，是否存在这样的点，使总是大于，若存在，求点坐标，若不存在请说明理由； ②如图（2），逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离． 【答案】(1)是 (2)或 (3)①，② 【分析】（1）先求解二次函数与坐标轴的交点坐标，再根据新定义的含义可得答案； （2）先求解二次函数与坐标轴的交点坐标，再根据新定义的含义建立方程求解可得答案； （3）①说明不重合，当总是大于，的面积最大，过作的平行线，设为，可得，此时，再进一步求解即可；②求解，直线为，设；过作轴的平行线，交轴于，过作轴的平行线，与过作轴的平行线的交点为，可得平移后的抛物线为，求解，证明，可得，解得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴函数是“和协二次函数”； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴； ∴，， ∵是“和协二次函数”， 当时， 当时， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当时， 当时， ∴， 解得：；经检验符合题意； （3）解：①存在，理由如下： ∵在直线上方的抛物线上有、两点， ∴不重合， 当总是大于， ∴的面积最大， 如图， ∵“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． 同理可得：，，， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为， 过作的平行线，设为， ∴，即， 此时， 解得：， ∴，， ∴，， ∴； ②∵， ∴， ∴设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 设；过作轴的平行线，交轴于，过作轴的平行线，与过作轴的平行线的交点为， ∴平移后的抛物线为， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的根， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，求解二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与图形面积，二次函数的平移，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键． 题型5、二次函数背景下的四边形面积问题 典例5 如图1，抛物线与y轴交于点A，直线经过点A，与x轴交于点B，且与抛物线的另一交点C的横坐标为5． (1)求点A、C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)将沿y轴向上平移到，点恰好与点A重合，点B的对应点为点B′，判断点B′是否在抛物线上，说明理由； (3)如图2，点P是直线上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点在抛物线上，理由： 当时，， ， 平移至， 且， ∵点与点A重合， ∴点的纵坐标为2， ， ∵当时，， ∴点在抛物线上； (3)存在，Q点坐标为或或 【分析】（1）求出，将点A与C代入即可求解析式； （2）由平移至，可知且，再由点与点A重合，可求，即可判断点是在抛物线上； （3）过P作轴于点D，交于点E，设，，过C作于点F，由，当时，最大值，以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积，所以当最大时，平行四边形面积最大，即可求，当时，或； ；当时，或． 【详解】（1）解：∵C的横坐标为5， ， ， ∵直线经过点A， ∴当时，， ， ∵抛物线经过点A、C， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）略 （3）过P作轴于点D，交于点E， 设，， ， 过C作于点F， ， ∵， ∴当时，最大值， ∵以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积， ∴当最大时，平行四边形面积最大， ∴将代入抛物线表达式，得， ∴， ∴过点P平行直线为， ， 设Q点为， 当时， ， 或， 或； 当时，， 设直线的解析式为， 得， ， ， ∴过C点与平行的直线为， 设， ， 或， 或； 综上所述：Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合，二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合、分类讨论是解题的关键． 题型模版 1.特征：动点与抛物线、坐标轴构成平行四边形、梯形或一般四边形，求面积或最值． 2.方法：用割补法把四边形拆成三角形或梯形；分别表示各部分面积为坐标的函数，求和后再求最值． 变式5-1 如图，抛物线（a，c是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是，，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若E为线段上的一个动点，其横坐标为m，过点E作轴，垂足为点F，当m为何值时，四边形的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，若线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出直线的解析式，得到点E，F的坐标，根据面积公式得到四边形的面积，再根据二次函数的性质得到最值； （3）抛物线的对称轴为直线，分当P点在x轴上方时和当P点在x轴下方时两种情况讨论． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设所在直线解析式为 把，代入得， 解得， ∴所在直线解析式为， ∵E在上， ∴，． 当时，， ∴， 由题意可知，，，， ∴， ∴当时，； （3）解：由知对称轴为， 当P点在x轴下方时，如图2，易知与B重合， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当P点在x轴上方时，如图，易知点与点C重合， 过点作直线，垂足为M，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，P点坐标为或． 变式5-2 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 变式5-3 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形的面积最大为16； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得∶ ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16； （3）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， ； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 题型6、二次函数背景下的图形面积的分割问题 典例6 （24-25九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)存在的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为 (3)直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为 【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点为，运用顶点坐标公式，代入计算即可求解； （2）根据两点之间距离的计算可得，如图所示，作点关于轴对称点，则，连接，当点三点共线时，的值最小，最小值为，的周长为，此时周长最小，设直线的解析式为，运用待定系数法可得直线的解析式为，由此可得点的坐标，再根据两点之间距离公式的运用可得的长，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得，设，根据题意，分类讨论：①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点，由坐标与图形的关系可得，结合，可解；②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点，同理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，顶点为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，作点关于轴对称点，则，连接， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， ∵的周长为， ∴的周长为，此时周长最小， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为； （3）解：由（1）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上方抛物线上的一个动点， ∴设， ①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点， ∴，， ∴， ∵直线将四边形的面积分为的两部分， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 把点代入直线得，， 解得，，， ∴不符合题意，，此时直线的解析式为； ②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点， 同理，，， ∴， 解得，， ∴（不符合题意，舍去），， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，把点代入得，， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形-轴对称最短路径，二次函数与四边形的综合，两点之间的距离公式的运用，二次函数与图形面积的计算，掌握二次函数与几何图形的综合，两点之间距离公式的计算方法是解题的关键． 题型模版 1.特征：按给定面积比或定值直线分割抛物线相关图形，确定分割位置或直线方程． 2.方法：设分割点坐标或分割线方程，用面积公式列方程；通过解方程或二次函数最值确定分割位置． 变式6-1 （24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 变式6-2 如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 题型7、二次函数背景下的三角形周长最值问题 典例7 如图，已知平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点B在x轴的负半轴，点且，，抛物线过点A、B、C，点P是抛物线对称轴的一个动点． （1）求A，B两点坐标及抛物线的解析式； （2）在对称轴上确定点P使的周长最小，求出P点坐标及的周长； （3）若点M是抛物线在第一象限图象上的一个动点，点N是坐标平面内的动点，是否存在点P，M，N使以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（4，0），B（-2，0），；（2）（1，3），；（3）（，）或（，3）或（2，4） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接AC，与对称轴交于点P，此时△PBC周长最小，求出直线AC的解析式，令x=1可得点P坐标，再利用BC+AC求出最小周长； （3）找出以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形的情况，画出图形，利用全等三角形的性质得到相等线段，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点且，， ∴OA=4，OB=2， ∵点A在x轴正半轴，点B在x轴的负半轴， ∴A（4，0），B（-2，0）， ∵抛物线经过三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，∵点P在抛物线对称轴上，即直线x=1， 点A和点B关于对称轴对称，连接AC，与对称轴交于点P， 此时PC+PB最短，即为AC， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 则，解得：， ∴直线AC的解析式为y=-x+4， 令x=1，则y=3， ∴此时点P坐标为（1，3）， 则△PBC的周长为： BC+AC==； （3）如图，过点M作对称轴和x轴的垂线，垂足为E，F， ∵四边形AMPN为正方形， ∴AM=MP，∠PMA=90°， ∴∠PMF+∠AMF=90°，又∠EMP+∠PMF=90°， ∴∠EMP=∠AMF，又∠MEP=∠MFA=90°， ∴△MEP≌△MFA（AAS）， ∴ME=MF， 设点M（m，）， 则， 解得：m=或（舍）， ∴M（，）； 如图，过点M和点P作y轴垂线，过点A作x轴垂线，交于E，F， 同理可证：△AEM≌△PFA（AAS）， ∴ME=AF，AE=PF， 则， 解得：m=或（舍）， ∴M（，3）； 过点M作对称轴的垂线，垂足为E，则F（1，0）， 同理：△PME≌△APF（AAS）， 则ME=PF，PE=AF，则EF=ME+AF， 即， 解得：m=2或m=-2（舍）， ∴M（2，4）； 综上：M点的坐标为（，）或（，3）或（2，4）． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，最短路径问题，知识点较多，难度较大，解题的难点是在三个动点中寻找正方形的情况． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上动点与两定点构成三角形，求该三角形周长的最小或最大值． 2.方法：利用轴对称（将军饮马）把折线拉直，化周长为定点到对称点距离加第三边；结合二次函数确定动点位置，注意取等条件． 变式7-1 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求△AEM的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.    【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）. 【详解】试题分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标； （2）设M点横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=，将配方，由二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积； （3）设F（n，），由已知若FG=DQ，即可求得． 试题解析：解：（1）由抛物线可知，C（0，3），令y=0，则，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）由抛物线可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（）×2==，∴当m=﹣2时矩形的周长最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=AM•EM=； （3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC=，∵FG=DQ，∴FG=4，设F（n，），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）． 考点：1．二次函数综合题；2．代数几何综合题；3．压轴题． 变式7-2 如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于点 ，交轴于点，其中点的横坐标为，若直线为抛物线的对称轴，点为直线 上的一动点，则轴上是否存在一点，使、，、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，；最小值为 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，然后将点的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，交对称轴于，四边形的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点、的坐标； （3）首先设的坐标为，求得与的长，由平行线分线段成比例定理，求得的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得，则可得到关于的一元二次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 点的坐标为． ， ， 此抛物线的解析式为：； （2）解：存在． 抛物线的对称轴方程为：， 点的横坐标为， 点， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 点， 与关于对称， 作关于轴的对称点， 连接交轴于，交对称轴于， 四边形的周长即为最小， 设直线的解析式为：， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，，得， 即， 当时，， ，，，， 使、、、四点所围成的四边形周长最小值为：； （3）解：存在． ， 设， ， ∴， 即， ，， 要使， 需，即， 可得：， 解得：或舍去． 当时，． 存在，点的坐标为 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的应用，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 变式7-3 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点P的坐标； (3)点Q在x轴上，且，请直接写出点Q的坐标. 【答案】(1)解析式为，点的坐标为； (2)点的坐标为； (3)点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标； （2）A，P，D三点在同一直线上时的周长最小，求出直线的解析式即可解决问题； （3）分两种情形①作交x轴于点Q，此时，满足条件；②设线段的垂直平分线交于E，直线与x的交点为，此时，满足条件，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， 点的坐标为； （2）解：连接，如图，   点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 为定值，， 当值最小，即三点在同一直线上时的周长最小， 由解得，， 在的左侧， ， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 当的周长最小时，点的坐标为； （3）解：如图，    ①作交轴于点，此时，满足条件． ，， 由待定系数法易得，直线的解析式为， 直线的解析式为， 令得， ． ②设线段的垂直平分线交于，直线与的交点为，此时，满足条件， 作轴于点F，则， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴线段的垂直平分线经过点F，以及的中点， ∵线段过G、F两点，可得其解析式为， 由解得， ， 直线的解析式为， 令得到， ． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型8、二次函数背景下的四边形周长最值问题 典例8 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点．点为抛物线上第一象限内的动点，设点的横坐标为． (1)求的值． (2)当时，记二次函数的最大值、最小值分别为，．若，求的值． (3)过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足分别为点，，当矩形的周长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式，即可求解； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标，进而由，得出，分两种情况：①若，则，②若，则，分别求得，根据，列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）由题意得，，设矩形的周长为L，分两种情况讨论，①点P在对称轴左侧时，②点P在对称轴右侧时，表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由，得． （2）由（1）得，令，得，， 所以． 分两种情况： ①若，则， 当时，； 当时，； 因为，所以， 解得（舍去），． ②若，则，当时，；因为，所以． 又因为当时，，所以该情况不存在满足条件的点P． 综上所述， （3）由题意得，，设矩形的周长为L，则： ①点P在对称轴左侧时，如图，， 时L最大． 当L最大时，点． ②点P在对称轴右侧时，根据对称性得． 所以点P坐标为或． 题型模版 1.特征：四边形顶点含抛物线上的动点，求该四边形周长的最值． 2.方法：分析各边定长与动边，用对称转化动边；将周长表示为动点坐标的函数，利用二次函数最值或几何最短路径求解． 变式8-1 （24-25九年级下·广西南宁·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于，且对称轴，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上位于对称轴左侧x轴上方的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，作x轴的垂线交x轴于点F，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，四边形的周长为C： ①当周长C最大时，求点P的坐标； ②如图2，当周长C最大时，点P，D的位置分别记为，将抛物线平移，使其顶点始终在直线，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①当C最大时，点P的坐标为；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）①设点P的横坐标为p，根据对称性得出点D的横坐标为，求出，，则周长，求出最大值即可； ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出平移后抛物线的解析式为，分两种情况：当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时，当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时，这个公共点在线段上，求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴； 令，则， 解得，， 由（1）知，抛物线的对称轴为直线． 设点P的横坐标为p， 由对称性可知，点D的横坐标为，    当时，， ∴， 由题意可得：四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，C取最大值18，此时． ∴当C最大时，点P的坐标为； ②由①可知，， 设的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理由，可求得直线的解析式为， 当时，， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为．    当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时， ， 整理得， ∴， 解得：； 当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时， 这个公共点在线段上(不包括点H)， 当在平移后的抛物线上时，， 解得(舍去)，， ∴， 综上可知，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 变式8-2 （24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值． 【答案】(1)，顶点 (2)当时，l取最大值为12 【分析】（1）求出C点坐标，将，代入，即可求出抛物线的解析式；即可求出a，c，再进一步求解顶点坐标即可； （2）令=0，求出代入，得k的值；设，则E点坐标由点D，E的纵坐标相等得到， 表示出，，， 由矩形周长l：，从而求出周长的最大值及的坐标． 【详解】（1）解：直线经过点，当时，， ∴， 将，代入，得， 得， ∴抛物线的解析式为：； 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当=0时， 解得：， ∴， 将代入， 得：， ∴ ， ∴直线为：， ∵D在直线上，设， 则E点坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 矩形周长；   ∴当时，l取最大值为12， 此时． 【点睛】主要考查了一次函数，二次函数的解析式的求法，二次函数的图像与性质，二次函数的最大值；以及与几何图形结合的综合能力的培养，利用数形结合的思想，把代数与几何图形结合起来，以及利用点的坐标的意义表示线段的长度，用二次函数表示矩形的周长，从而求出二次函数的最值，是解本题的关键． 变式8-3 （25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．点在点左边，设点的横坐标为，矩形的周长为． ①______； ②在①的条件下，求关于的关系式（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）①求出对称轴，求出两点的坐标，进而求出点坐标，两点间的距离求出即可；②根据矩形的周长公式，即可求得答案； （3）过点D作轴于点K，根据二次函数的性质可知，当时矩形的周长最大，此时，可证明N与原点重合，Q点与C点重合，求得，即得，设，则，即得，求出n的值，即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， M点的横坐标为m，轴，轴，轴， ∴，点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴； ②∵ ， ∵， 矩形的周长， 即； （3）解：过点D作轴于点K， 由， 当时矩形的周长最大， 设直线解析式为；， 将，代入，得， 解得，， 直线解析式为， ∵M点的横坐标为，抛物线的对称轴为， N应与原点重合，Q点与C点重合， ， 把代入，解得， ， ， ， ， 设， 则， ， 解得或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数的线段周长问题，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等，利用参数表示线段的长度及在动点变化过程中画出相应的图形是解题的关键． 题型9、已知周长关系解答二次函数问题 典例9 如图，抛物线与轴的正半轴交于点． （1）求点的坐标和该抛物线的对称轴． （2）点在轴的正半轴上，轴交抛物线于点、（点在点的左侧），设， ①当是的中点时，求的值； ②连结，设与的周长之差为，求关于的函数表达式． 【答案】（1）；对称轴为直线；（2）①；② 【分析】（1）令，解方程即可求出点的坐标，根据二元一次方程的对称轴即可求出抛物线的对称轴； （2）①把的坐标用的代数式表示并代入抛物线即可求出的值； ②根据抛物线的对称性，可知AB=OC，与的周长之差可转化为OA和BC的差． 【详解】解：（1）令，，解得，（不符合题意）， ∴； 由抛物线可知，，， ∴对称轴为直线． （2）①∵是的中点，∴， 把代入抛物线， ∴，解得：（舍去），． ②∵抛物线具有对称性，∴， ，OA=4， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．二次函数具有对称性，点坐标转换为线段长度，水平线段长度等于两点的横坐标的差是解题的关键． 题型模版 1.特征：已知三角形或四边形周长（或周长关系），反求动点坐标、参数或解析式． 2.方法：用两点间距离公式表示各边长，列周长方程；解方程并回代检验，注意多解取舍． 变式9-1 抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C,T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点M和N)．过M,N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g．若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、二次函数的性质、新定义“特征矩形”以及分类讨论思想，解题的关键是准确理解“特征矩形”的定义，并根据点的位置进行分类讨论，正确确定抛物线弧上的最高点和最低点，从而列出对应的周长表达式． （1）将点代入抛物线解析式，求出的值； （2）先求出抛物线顶点的坐标，再表示出和的长度，代入化简求值； （3）①根据点的横坐标的取值范围，分、、三种情况，确定抛物线弧的最高点和最低点，进而求出特征矩形的周长关于的函数解析式；②由轴可知、关于对称轴对称，得到点坐标，再分三种情况求出抛物线弧的特征矩形周长，结合列方程求解，最后计算的长度． 【详解】（1）解：把A，0）代入，得， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴T（1， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴，， ∴； （3）解：①当时，，当时， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 时，抛物线弧的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴，解得：（舍去）或， ∴，综上：． 变式9-2 已知抛物线（其中为常数且）与轴交于和两点，与轴交于点．连接，线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点轴上存在一点（异于点）使得． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，，，的周长记为，的周长记为，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入中即可得到答案； （2）根据（1）所求得到，再求出抛物线对称轴为直线，则；设，，线段垂直平分线的性质得到，则由勾股定理得到，据此推出，则，再由，得到点P在线段的垂直平分线上，设点D的坐标为，则，据此可得； （3）根据（2）所求，先求出，进而利用勾股定理分别求出两个三角形的三边长，再由三角形周长公式求出，进而求出对应的比值即可． 【详解】（1）解：把代入中得， 解得； （2）解：由（1）得； ∴抛物线解析式， 在中，当时， ， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴； ∵线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点， ∴设，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 设点D的坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，抛物线对称轴为直线，点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴； ∵，， ∴， ， ， ∴； ∵， ∴ ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，线段垂直平分线的性质等等，熟知两点距离计算公式是解题的关键． 变式9-3 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； (2)当点落在直线上时，求点的坐标； (3)连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为，对称轴为． (2)点的坐标为或 (3)①；②或 【分析】（1）待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式，可求出其对称轴． （2）根据题意的点的纵坐标为，把代入中，利用公式法求解一元二次方程即可求点的坐标． （3）①过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，可得三点共线，设点为，表示和，即，得出四边形为平行四边形，进而证明为的中位线，即可求出． ②由上易证四边形为菱形，故菱形的周长为，周长为，即，代入数值，利用公式法即可求解或，再根据当在对称轴左侧时，，从而得出的值． 【详解】（1）解：把代入 得：， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为， ∴对称轴为直线，即． （2）解：由题意可得，直线为，点在直线上 ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）①解：过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，如图 又∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，延长交抛物线对称轴于点， ∴三点共线， 设点为， 又∵抛物线对称轴是直线，点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴点为， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线，即， ∴， ②∵为的中位线，垂直平分，四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， ∵抛物线对称轴是，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴周长为， ∵四边形的周长与周长之比为， ∴， ∵点为，点的坐标为， ∴， 将和代入， 化简可得， 整理得：， ∴或， 解得：，，， ∵在对称轴左侧，即， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法，抛物线的对称轴，菱形的性和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的公式法求根，熟练掌握待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，解方程是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 38．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断． 39．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 40．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O顺时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，     ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O顺时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 41．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？ 【答案】(1) (2)时，四边形的周长最大，最大周长为 【分析】本题考查了二次函数与几何，正确求出二次函数的解析式，熟练利用二次函数的性质找最值是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）设的横坐标为，则可用表示P的纵坐标，即可得到点的坐标，再表示出四边形的周长，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：当时，， , 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 直线的解析式为 设， 轴， 的纵坐标为， 代入直线可得， 解得， ， 轴，轴， , 四边形为矩形， 四边形的周长为， ， 当，即时，四边形的周长最大，最大周长为． 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． （1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出，的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，   过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或； 43．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)当时，取最大值，此时 (3)N点横坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【详解】（1）解：∵与x轴交于点两点， ∴； （2）解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 44．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 45．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的两点． (1)求，的值； (2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问： ①求面积的最大值； ②当垂直平分线段时，求点的坐标； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最大值． 【答案】(1)， (2)①，② (3) 【分析】将点坐标代入抛物线的解析式，从而求得的值，进而求得的值； 作轴，交于，设，可求得直线的解析式，从而表示出点坐标，从而表示出，进而表示出，从而得出结果； 设，根据垂直平分线的性质，得，故，解得即可； 过点B作于点G，设直线的解析式为，根据题意，得，设，，则是方程的两个根，根据根与系数关系定理得，过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M，，证明，，故直线过定点，故，根据直角三角形的斜边大于直角边，当点G与R重合时，取得最大值． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 作轴，交于， 设，则，故， ∴， ∵ ∴当时，面积取得最大值，且． 设，根据垂直平分线的性质，得，故， ， 整理，得， 解得（舍去）， 故， 故点． （3）解： 过点B作于点G， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 得， 设，， 则是方程的两个根， ∴， 过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵E，B，F是不同点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 故 ∴， 故直线过定点， 故， ∵边上的高， 根据直角三角形的斜边大于直角边， 当点G与R重合时，取得最大值， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，三角形相似的判定和性质，公式法解一元二次方程，直线过定点，一元二次方程根与系数关系定理，直角三角形的性质，熟练掌握最值，直线过定点，一元二次方程的解法，根与系数关系定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 46．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 此时，，点Q不在在点P上方时， 故舍去 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 47．如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标． (3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点的坐标； （2）过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解； （3）过点作轴，使，连接，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）抛物线过，， ， 解得， 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为． （2）如图1，过点作交轴于，连接，     ， 的面积为， ， 解得， ， ， ，， 求直线的表达式为， ， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为， 联立与抛物线得， ， 解得，， 点的坐标为或； （3）如图2，过点作轴，使，连接，，   轴， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小为的长， 直线的表达式为， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 48．给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式； (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求该二次函数的表达式，并写出，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，，；②；③或． 【分析】（1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为； （2）解：①∵交轴于点，交轴于点， ∴，∴， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，． ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为； ③∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图： 由题意得：， ∴； 当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 49．如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 50．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ①点与点重合，则， ∵点为中点，， ∴, 设直线的解析式为，代入, ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴，在直线上 即，，三点共线； ②的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：对于，令， 解得： ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）①略 ②设， ∵，，三点共线； ∴设的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， 设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴的面积为是定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51．如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作于点F，点D、E的坐标分别为，，连接、、． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点P也是一个“好点”．请求出周长最小时“好点”的坐标，并直接写出所有“好点”的个数． 【答案】（1）； （2）正确，理由如下： 设，，则， 过P作轴于M，则， ， ， ∴猜想正确 （3）共有11个好点，P坐标为． 【分析】（1）因为抛物线对称轴是y轴，所以根据点坐标即可写出解析式； （2）把任意一点P的坐标表示出来，并表示出的长，用验证； （3）先求出使的周长最小的点P的坐标，因为是定值，考虑PE与的和最小，由上题得出的结论转化成与的关系进而得出使的周长最小的点P点坐标；想找到“好点”的个数，先把三角形的面积表示出来，用梯形面积减去两个直角三角形的面积，由x的取值范围确定S的整数值有几个，再加上前面的使的周长最小的一个点，就知道一共“好点”的个数． 【详解】解：（1）设，将代入， 解得，， ； （2）略 （3）①在P点运动时，大小不变， 与的和最小时，的周长最小， ， ， ，当P，E，F三点共线时，最小，此时，点P，E横坐标都为， 将代入，得， ，此时的周长最小， ， ， 点P恰为“好点”， 的周长最小时“好点”的坐标； ②作于H，的面积梯形面积减去两个直角三角形， ， ，， 当时，最大值 为，当时，的最小值为4，即， 的整数点有10个， 当时，，解得，即对应的“好点”有2个，但其中一个点与上面重复， 所有“好点”共有11个． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，点到坐标轴距离，二次函数动点问题，定值问题，新定义问题，三角形周长最小问题，正确二次函数的性质是解题的关键． 52．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)w有最大值为，此时 (3)直线过定点． 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H． 则，，利用两点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可． （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，， 解得：，， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）∵ ∴，， ∴，， 另，则， ∴点， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：． 设， 过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H．    ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 当时，w有最大值为，此时． （3）直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得： ，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， 当时， 整理得∶ ， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数背景的面积与周长问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形面积的最值问题 题型2、已知三角形面积解决问题 题型3、已知两个三角形的面积关系解决二次函数问题 题型4、二次函数背景下的图形面积不等关系问题 题型5、二次函数背景下的四边形面积问题 题型6、二次函数背景下的图形面积的分割问题 题型7、二次函数背景下的三角形周长最值问题 题型8、二次函数背景下的四边形周长最值问题 题型9、已知周长关系解答二次函数问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的面积与周长问题，核心在于用坐标法把几何量转化为代数表达式；面积问题要善于利用“底×高÷2”“水平宽×铅垂高÷2”及割补法，把三角形、四边形面积表示为动点坐标的函数；周长最值问题则要抓住轴对称、将军饮马、三角形三边关系等几何模型，把折线拉直后求最短；无论是求最值还是由面积、周长关系反求参数，都必须注意动点的取值范围、等号成立条件及多解取舍，最后回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形面积的最值问题 典例1 如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上给定动点，与定点构成三角形，求该三角形面积的最大或最小值． 2.方法：用“底×高÷2”或“水平宽×铅垂高÷2”表示三角形面积；将面积表示为动点横坐标的二次函数，利用顶点、对称轴或区间端点求最值，注意动点坐标范围． 变式1-1 已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点（点在的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求的值和点，点的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交轴于点，连结，过点作交轴于点，连结，求面积的最大值． 变式1-3 综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 题型2、已知三角形面积解决问题 典例2 （25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）已知二次函数（其中a为常数）， (1)将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值． (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值． (3)当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：已知三角形面积（或面积比、定值），反求动点坐标、二次函数解析式或相关参数． 2.方法：设出动点坐标，用面积公式列出方程；解方程求出坐标或参数，并回代验证结果． 变式2-1 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图2，过点A作的平行线交抛物线于点D，点E在延长线上，，求的长．（用含a的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的面积为，求a的值． 变式2-3 （2025九年级上·浙江·专题练习）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 题型3、已知两个三角形的面积关系解决二次函数问题 典例3 （25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． (1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； (3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：两个三角形同底、同高、共顶点或存在倍数关系，利用面积关系解决二次函数问题． 2.方法：由面积关系转化为线段比、底边长或高的关系；结合二次函数解析式列方程求解，注意分类讨论不同位置． 变式3-1 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3 （24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点、，交y轴于点C．连结．点D在该抛物线上，过点D作，交直线于点E，连结．设点D横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求的最大值． 变式3-4 （24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)若M是抛物线上的一动点，且，求点M的坐标； (3)点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 变式3-5 已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 变式3-6 如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 题型4、二次函数背景下的图形面积不等关系问题 典例4 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求该函数表达式与顶点坐标． (2)当时，二次函数有最大值，求的值． (3)若抛物线与题（1）中抛物线交于，两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是与，两条抛物线在，两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于． 题型模版 1.特征：在二次函数背景下比较两个图形面积大小，或证明面积满足某种不等关系． 2.方法：作差法比较面积表达式，化为二次函数或不等式；利用开口方向、判别式、最值证明不等关系成立． 变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 变式4-2 （24-25九年级下·辽宁大连·阶段检测）已知，抛物线交x轴于、，交y轴于，若或，那么就称二次函数为“和协二次函数”． (1)判断函数是否为“和协二次函数” （填“是”或“否”）； (2)若是“和协二次函数”，求值； (3)已知“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． ①如图（1），在直线上方的抛物线上有、两点，是否存在这样的点，使总是大于，若存在，求点坐标，若不存在请说明理由； ②如图（2），逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离． 题型5、二次函数背景下的四边形面积问题 典例5 如图1，抛物线与y轴交于点A，直线经过点A，与x轴交于点B，且与抛物线的另一交点C的横坐标为5． (1)求点A、C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)将沿y轴向上平移到，点恰好与点A重合，点B的对应点为点B′，判断点B′是否在抛物线上，说明理由； (3)如图2，点P是直线上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：动点与抛物线、坐标轴构成平行四边形、梯形或一般四边形，求面积或最值． 2.方法：用割补法把四边形拆成三角形或梯形；分别表示各部分面积为坐标的函数，求和后再求最值． 变式5-1 如图，抛物线（a，c是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是，，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若E为线段上的一个动点，其横坐标为m，过点E作轴，垂足为点F，当m为何值时，四边形的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，若线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标． 变式5-2 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 变式5-3 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6、二次函数背景下的图形面积的分割问题 典例6 （24-25九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 题型模版 1.特征：按给定面积比或定值直线分割抛物线相关图形，确定分割位置或直线方程． 2.方法：设分割点坐标或分割线方程，用面积公式列方程；通过解方程或二次函数最值确定分割位置． 变式6-1 （24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 变式6-2 如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 题型7、二次函数背景下的三角形周长最值问题 典例7 如图，已知平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点B在x轴的负半轴，点且，，抛物线过点A、B、C，点P是抛物线对称轴的一个动点． （1）求A，B两点坐标及抛物线的解析式； （2）在对称轴上确定点P使的周长最小，求出P点坐标及的周长； （3）若点M是抛物线在第一象限图象上的一个动点，点N是坐标平面内的动点，是否存在点P，M，N使以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上动点与两定点构成三角形，求该三角形周长的最小或最大值． 2.方法：利用轴对称（将军饮马）把折线拉直，化周长为定点到对称点距离加第三边；结合二次函数确定动点位置，注意取等条件． 变式7-1 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求△AEM的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标. 变式7-2 如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于点 ，交轴于点，其中点的横坐标为，若直线为抛物线的对称轴，点为直线 上的一动点，则轴上是否存在一点，使、，、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-3 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点P的坐标； (3)点Q在x轴上，且，请直接写出点Q的坐标. 题型8、二次函数背景下的四边形周长最值问题 典例8 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点．点为抛物线上第一象限内的动点，设点的横坐标为． (1)求的值． (2)当时，记二次函数的最大值、最小值分别为，．若，求的值． (3)过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足分别为点，，当矩形的周长最大时，求点的坐标． 题型模版 1.特征：四边形顶点含抛物线上的动点，求该四边形周长的最值． 2.方法：分析各边定长与动边，用对称转化动边；将周长表示为动点坐标的函数，利用二次函数最值或几何最短路径求解． 变式8-1 （24-25九年级下·广西南宁·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于，且对称轴，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上位于对称轴左侧x轴上方的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，作x轴的垂线交x轴于点F，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，四边形的周长为C： ①当周长C最大时，求点P的坐标； ②如图2，当周长C最大时，点P，D的位置分别记为，将抛物线平移，使其顶点始终在直线，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求m的值． 变式8-2 （24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值． 变式8-3 （25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．点在点左边，设点的横坐标为，矩形的周长为． ①______； ②在①的条件下，求关于的关系式（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，直接写出点的坐标． 题型9、已知周长关系解答二次函数问题 典例9 如图，抛物线与轴的正半轴交于点． （1）求点的坐标和该抛物线的对称轴． （2）点在轴的正半轴上，轴交抛物线于点、（点在点的左侧），设， ①当是的中点时，求的值； ②连结，设与的周长之差为，求关于的函数表达式． 题型模版 1.特征：已知三角形或四边形周长（或周长关系），反求动点坐标、参数或解析式． 2.方法：用两点间距离公式表示各边长，列周长方程；解方程并回代检验，注意多解取舍． 变式9-1 抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C,T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点M和N)．过M,N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g．若，直接写出的长． 变式9-2 已知抛物线（其中为常数且）与轴交于和两点，与轴交于点．连接，线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点轴上存在一点（异于点）使得． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，，，的周长记为，的周长记为，试求的值． 变式9-3 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； (2)当点落在直线上时，求点的坐标； (3)连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 38．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 39．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 40．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 41．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？ 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 43．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 44．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的两点． (1)求，的值； (2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问： ①求面积的最大值； ②当垂直平分线段时，求点的坐标； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最大值． 46．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 47．如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标． (3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________． 48．给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式； (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求该二次函数的表达式，并写出，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，请直接写出的取值范围． 49．如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 50．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 51．如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作于点F，点D、E的坐标分别为，，连接、、． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点P也是一个“好点”．请求出周长最小时“好点”的坐标，并直接写出所有“好点”的个数． 52．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $