1.5 二次函数实际应用 专项练习 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过六大生活场景构建"问题情境-模型建立-性质应用"的完整解题链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拱桥问题|1例2变式|桥拱/隧道截面，求解析式与宽度|坐标系建立→抛物线顶点式→实际意义验证| |经济利润|2例2变式|销售利润、增长率，含最值与方案|利润公式→二次函数表达式→最值/方程求解| |面积最值|1例2变式|靠墙矩形、中间隔断，含墙长限制|矩形面积公式→函数关系式→定义域内求最值| |球类问题|2例2变式|抛射运动轨迹，求时间与最高点|顶点坐标→抛物线表达式→行程计算| |喷泉喷水|2例2变式|水流轨迹、消防喷水，含落点计算|顶点式设解析式→代入点坐标求解| |安检问题|1例1变式|排队人数与通道数，含动态变化|排队模型→二次函数关系式→最值分析|

二次函数实际应用 【类型1拱桥问题】 【例题1】（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【变式1】（2026•广东模拟）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽AB为4m时，拱顶与水面距离为2m． （1）请你在图（2）中，建立适当的平面直角坐标系，使该抛物线拱桥的函数关系式符合y＝ax2形式，并求此时，函数关系式； （2）当水面上升0.5m时，求水面宽度． 【变式2】（2026•南阳一模）某地为提升区域交通效率，促进经济发展，修建了一条隧道，如图是其截面图，轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线的宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【类型2经济利润问题】 【例题1】（2025秋•辛集市期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【例题2】（2026春•开封期末）某义乌玩具厂赶制2026马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026顶流网红马． （1）某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ （3）当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【变式1】（2025秋•青阳县期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为x元（x＞40），销售该品牌玩具获得的利润为w元． （1）求出w与x之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【变式2】（2026•漳州模拟）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是30≤x≤120． 小冉：该菜品每千克的生产成本y1（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本y1 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价y2（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段AB表示，AB所在直线与纵轴的交点为（0，m）（其中m＞70）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量＝每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本y1（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中m＝90． （1）任务一：请分别求出y1，y2与每日生产量x之间的函数关系式． （2）任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． （3）任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【类型3面积最值问题】 【例题1】（2026春•衢州期中）某居民小区要建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为40m的材料围成．如图，设AB＝x（m），问：当x＝　 　 m时，花园的面积最大，最大面积是　 　 m2． 【变式1】（2026春•衢州期末）综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园ABCD．现有可用的篱笆总长为20m．设边AB长为xm，请列方程解决下列问题． （1）若矩形菜园的面积为48m2，求AB的长； （2）矩形菜园的面积有可能是55m2吗？若有，求x的值；若无，说明理由； （3）当x取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【变式2】（2026春•杭州期中）2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用一面长为20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区ABCD，且留如图所示的两个1米宽的小门，设BC长为x米． （1）AB＝　 　 米（用含x的代数式表示）； （2）若宣传区ABCD的面积为96平方米，求BC的长度； （3）x取何值时，宣传区ABCD的面积最大，最大值是多少？ 【类型4球类问题】 【例题1】（2025秋•游仙区期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　 （s）． 【例题2】（2026春•金华期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6：5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为　 　 ． 【变式1】（2025秋•嘉兴期末）如图为小张的一次投篮示意图，其路线为抛物线．已知出手时篮球距地面的高度AB＝2m，当篮球运行的水平距离BD为2.5m时，达到距地面的最大高度CD为3.5m． （1）建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线所在的函数表达式； （2）若篮圈中心距地面的高度EF＝3.05m，若BF＝4.5m，则此次投篮是否能投进？请说明理由． 【变式2】（2026春•伊金霍洛旗期末）综合与实践：篮球的自由落地和反弹． 任务1：将同一个篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表： 下落高度x（单位：m） 0.8 0.9 1 1.1 1.2 反弹高度y（单位：m） 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 （1）请选择适当的函数模型描述该篮球的反弹高度y与下落高度x之间的关系，直接写出y与x之间的函数解析式　 　 ； 任务2：已知，篮球从下落高度x（单位：m）处自由下落与到达地面所用时间t（单位：s）始终满足：x＝5t2；篮球下落后从地面反弹，其反弹高度y（单位：m）与反弹时间t（单位：s）始终满足：y＝5t2． （2）根据任务1中发现的规律，分别求出篮球从高为1m处下落到地面所用时间和从地面第一次反弹到最高点所用的时间； （3）篮球从高为1m处自由下落，当篮球反弹高度小于2cm时，不再进行下一次反弹，直接写出篮球最后一次下落到达地面的时间． 【类型5喷泉、喷水问题】 【例题1】（2024秋•海伦市期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 　 　 ． 【例题2】（2026•西安模拟）某市消防中队引进一种新型高层专用消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度为OA，水流落地点为点B，喷出的水流呈抛物线型．以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计） 已知OA＝21m，OB＝7m，从A处喷出的水流高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣3x2+bx+c． （1）求b，c的值； （2）点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消防车从O点应至少前进多少米？ 【变式1】（2026•吴忠校级模拟）盛元广场中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究． （1）当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）； （2）第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式； （3）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式； （4）已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由． 【变式2】（2026•郏县一模）消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾．一次消防车演练时，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是：y＝﹣x2+mx+n（x＞0），水从距离地面的管道口点A喷出，点A正下方为车与地面接触点O，水流形状如图所示． （1）已知该消防车在距车水平方向8m处水流达到最高，最高点离地面81m，求该二次函数的解析式及OA的长； （2）若消防车停在与建筑有6m宽的绿化带旁时，此时水流恰能灭多高楼层的火势？ 【类型6安检问题】 【例题1】（2026•桂林模拟）综合与实践 【问题情境】2025年广西玉林首届马拉松赛吸引了近1.5万名跑者参赛，赛前运动员需在玉林市政广场的主检录区完成检录入场．组委会采用电子芯片核验与人脸识别技术，检录时间为赛前30分钟．某校数学兴趣小组针对该主检录区，开展“检录排队人数与开放通道之间的关系”进行探究活动．经调研与测算，该主检录区每个通道每分钟可检录10名运动员，每人完成核验后立即入场，不再排队；检录开始后，陆续到达该检录区的运动员总人数y（人）与时间x（分钟）满足关系式： y＝﹣x2+50x+24（0≤x≤30）； 任意时刻满足：排队人数＝到达总人数﹣已完成检录人数（通道空场时间忽略不计）． （1）若组委会先开放4个检录通道． ①直接写出排队人数m（人）与检录时间x（分钟）之间的函数关系式； ②求第几分钟后，该检录区不再有运动员排队等待检录． 【模型运用】 （2）根据赛事保障要求及尽可能减少检录通道，需在15分钟内（包含15分钟），排队等待检录的人数开始减少，至少要开放多少条检录通道？ 【变式1】（2026•舒城县校级模拟）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对进场看某次演出，研究了进场过程中排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请解决下列问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 课后小练习 1．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 2．（2026春•鼓楼区校级期末）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是　 　 s． 3．（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 4．（2026•临平区二模）物体自由下落的高度h（m）和下落时间t（s）的关系为ht2（g为重力加速度）．记地球重力加速度为g1，月球重力加速度为g2．当物体自由下落高度相同时，在地球上的下落时间为t1，在月球上的下落时间为t2．若6，则　 　 ． 5．（2025•龙华区三模）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 6．（2026•西湖区一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE＝8m，DF＝12m，则花园最大面积为（　　） A．72m2 B．80m2 C．81m2 D．96m2 7．（2026•白银模拟）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 8．（2025秋•蒙城县期末）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 9．（2026•烟台模拟）某景区为吸引游客，将门票单价定为x元/张，并且要求单价不能低于21元．经市场调查，每日游客人数y（人）与门票单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表： 门票单价x（元） 21 22 23 … 游客人数y（人） 110 100 90 … 景区每日运营成本为每人10元，另需支付固定维护费每日100元和环保费．经统计，环保费m元与游客人数y人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． （1）求游客人数y与门票单价x的函数表达式； （2）设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为W元，求W与单价x的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ （3）随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低a元（a＞3），且降低运营成本后的单价也不能低于21元．求在此条件下利润W的最大值（用含a的式子表示），并求当利润最大值为1429元时a的值． 10．（2026•榆林校级模拟）如图1，某洗手间的洗手台上放了一瓶洗手液，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口点A喷出，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线型．现以吸液管底为原点，洗手台水平面为x轴，吸液管所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知：喷口点A到台面的高度AB＝18cm，OB＝4cm，当一滴洗手液在水平方向喷出4cm时，到台面高度为13cm，此时该抛物线的表达式为y＝ax2+bx+15． （1）求这滴洗手液轨迹的函数表达式； （2）当这滴洗手液落到台面上时，求落点离喷口点A的水平距离． 11．（2026•让胡路区校级模拟）排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务10人（每人限购1份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数y（人）与开放窗口时间x（分钟）满足关系式y＝﹣x2+80x+129，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数＝用餐总人数﹣已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放4个服务窗口． ①直接写出排队人数m（人）与开放窗口时间x（分）间的函数关系式；（不需要写出x的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2） 根据学校活动安排，需要在15分钟内（包含第15分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为n个，直接写出n的取值范围． 12．（2026•秦都区校级模拟）数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动，如图①是一座三孔桥，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线形状相同，该三孔桥的截面图如图②所示，研究小组以线段AB所在的直线表示水平的水面，以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝20m，顶点C距离水面的高度OC为5m，小孔顶点距离水面的高度DE为4.2m． （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度MN≤10m时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 13．（2025秋•唐山期末）今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． （1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式． （2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm） 14．（2026春•温岭市期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如图所示．已知AB＝18m，BC＝32m． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即GH＝2BE＝2DF，且停车位的宽度不小于4.8m，其余部分是等宽的通道． 任务1 ①设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，求y与x之间的函数关系式； ②若停车位总面积为180m2，请计算停车位的宽度是否符合标准． 任务2 若通道的宽度要求 15．（2026•江夏区校级模拟）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 参考答案 【类型1拱桥问题】 【例题1】（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【解答】解：由题意得： 把x＝8代入为中得：y82＝﹣4， ∴B（8，﹣4）， ∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m， 故选：A． 【变式1】（2026•广东模拟）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽AB为4m时，拱顶与水面距离为2m． （1）请你在图（2）中，建立适当的平面直角坐标系，使该抛物线拱桥的函数关系式符合y＝ax2形式，并求此时，函数关系式； （2）当水面上升0.5m时，求水面宽度． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，抛物线顶点O坐标为（0，0）， 通过以上条件可设顶点式y＝ax2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，﹣2）， 到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2； （2）∵水面上升0.5m， ∴y＝﹣1.5， 故﹣0.5x2＝﹣1.5， 解得：x1，x2， 则水面的宽为（）＝2（m）． 【变式2】（2026•南阳一模）某地为提升区域交通效率，促进经济发展，修建了一条隧道，如图是其截面图，轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线的宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即（6．，8）． 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， ∵抛物线过 （12，0）， ∴a（12﹣6）2+8＝0． ∴． ∴； （2）能安全通过．理由如下： 如图，由题意得：， ∴将x＝2代入， ∴． ∵， ∴能安全通过． 【类型2经济利润问题】 【例题1】（2025秋•辛集市期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 【例题2】（2026春•开封期末）某义乌玩具厂赶制2026马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026顶流网红马． （1）某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ （3）当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【解答】解：（1）设月平均增长率为x，某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件． 根据题意得，1200（x+1）2＝1728， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， ∴月平均增长率为20%； （2）若售价每降价1元，每天可多售出10件． 设售价应降低y元， 根据题意得，（25﹣y﹣15）（40+10y）＝480， 解得y1＝2，y2＝4， ∵为了尽快清理库存， ∴40+10y要尽可能大， ∴售价应降低4元； （3）设每天的利润为w， 根据题意得，w＝（25﹣y﹣15）（40+10y）＝﹣10y2+60y+400＝﹣10（y﹣3）2+490， ∵﹣10＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当y＝3时，w取得最大值490， ∴当售价降低3元时，每天获利最大，最大利润为490元． 【变式1】（2025秋•青阳县期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为x元（x＞40），销售该品牌玩具获得的利润为w元． （1）求出w与x之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【解答】解：（1）由题意，∵销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，且购进时的单价为30元， ∴w与x之间的函数关系式为：w＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝﹣10x2+1300x﹣30000． 答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣10x2+1300x﹣30000（x＞40）． （2）由题意，∵w＝﹣10x2+1300x﹣30000， ∴令w＝6000，则6000＝﹣10x2+1300x﹣30000． ∴x＝40（不合题意，舍去）或x＝90． 答：该玩具销售单价为90元． （3）由题意，∵， ∴44≤x≤50． 又∵w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250， ∴当x＜65时，w随x的增大而增大． 又∵44≤x≤50， ∴当x＝50时，w取最大值，最大值为10000． 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为10000元． 【变式2】（2026•漳州模拟）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是30≤x≤120． 小冉：该菜品每千克的生产成本y1（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本y1 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价y2（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段AB表示，AB所在直线与纵轴的交点为（0，m）（其中m＞70）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量＝每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本y1（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中m＝90． （1）任务一：请分别求出y1，y2与每日生产量x之间的函数关系式． （2）任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． （3）任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b， 将（30，55），（60，50）代入， 得 解得 ∴． 当m＝90时，设y2＝k2x+90， 将（120，50）代入，得50＝120k2+90， 解得， ∴． （2）根据题意，得（y2﹣y1）x＝750，即， 解得x1＝30，x2＝150（不合题意，舍去）． 答：当日该菜品的生产量为30千克． （3）设该菜品日销售利润为ω元． ． ∵， ∴当x＝90时，ω有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 【类型3面积最值问题】 【例题1】（2026春•衢州期中）某居民小区要建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为40m的材料围成．如图，设AB＝x（m），问：当x＝　 　 m时，花园的面积最大，最大面积是　 　 m2． 【解答】解：由题意可得，花园的面积为：x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x）＝﹣2（x﹣10）2+200， ∴当x＝10时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是200，BC的长是40﹣2×10＝20， 即当x＝10时，花园的面积最大，最大面积是200m2． 故答案为：10；200． 【变式1】（2026春•衢州期末）综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园ABCD．现有可用的篱笆总长为20m．设边AB长为xm，请列方程解决下列问题． （1）若矩形菜园的面积为48m2，求AB的长； （2）矩形菜园的面积有可能是55m2吗？若有，求x的值；若无，说明理由； （3）当x取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【解答】解：（1）设边AB长为xm，则BC＝20﹣2x（m）， ∵矩形菜园的面积为48m2， ∴x（20﹣2x）＝48， 整理得，x2﹣10x+24＝0， 解得x1＝4，x2＝6， ∵20﹣2x＞0，x＞0， ∴0＜x＜10， ∴AB的长为4m或6m； （2）矩形菜园的面积不可能是55m2，理由如下： 根据题意得，x（20﹣2x）＝55， 整理得，2x2﹣20x+55＝0， ∴Δ＝（﹣20）2﹣4×2×55＝﹣40＜0， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是55m2； （3）设矩形菜园的面积为S， 根据题意得，S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50， ∵﹣2＜0， ∴当x＝5时，矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2． 【变式2】（2026春•杭州期中）2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用一面长为20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区ABCD，且留如图所示的两个1米宽的小门，设BC长为x米． （1）AB＝　 　 米（用含x的代数式表示）； （2）若宣传区ABCD的面积为96平方米，求BC的长度； （3）x取何值时，宣传区ABCD的面积最大，最大值是多少？ 【解答】解：（1）观察图形可知，垂直于墙面的边共有3条（左边AD、中间隔断、右边BC），且长度相等，均为x米，3条边的总长度需要减去门的宽度． 垂直方向实际使用的材料长度＝3条边的总长﹣2个门的宽度＝3x﹣2×1＝3x﹣2（米）， 材料总长度为34米．水平方向只有AB这一条边， ∴AB的长度＝材料总长度﹣垂直方向实际使用的材料长度． AB＝34﹣（3x﹣2）． 化简代数式：AB＝34﹣3x+2AB＝36﹣3x． ∴AB的长为（36﹣3x）米； 故答案为：36﹣3x； （2）矩形面积公式：面积＝长×宽． 已知面积为96平方米，宽为x米，长为（36﹣3x）， 列出方程：x（36﹣3x）＝96． 解方程：去括号：36x﹣3x2＝96． 移项并整理为一般形式（两边同时除以﹣3）：x2﹣12x+32＝0． 因式分解：（x﹣4）（x﹣8）＝0． 解得：x1＝4，x2＝8． 检验解的合理性：题目中墙长为20米，所以AB的长度不能超过20米，即 36﹣3x≤20． 解不等式：﹣3x≤﹣16，得（约5.33）． 当x＝4时，AB＝36﹣3×4＝24米，24＞20，超出墙长，不符合题意，舍去． 当x＝8时，AB＝36﹣3×8＝12米，12＜20，符合题意， ∴BC的长度为8米； （3）设宣传区ABCD的面积为S平方米． 根据面积公式：S＝x（36﹣3x）． 展开得：S＝﹣3x2+36x． 求最大值：这是一个开口向下的二次函数（a＝﹣3＜0），有最大值． 利用配方法求顶点坐标：S＝﹣3（x2﹣12x）， S＝﹣3（x2﹣12x+36﹣36）， S＝﹣3（x﹣6）2+108， 顶点坐标公式． 检验定义域：由第（2）问分析可知，x的取值范围需满足且x＞0． 计算出的对称轴x＝6满足（因为，所以在定义域内． ∴当 x＝6时，面积S取得最大值，最大值为108平方米． 【类型4球类问题】 【例题1】（2025秋•游仙区期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　 （s）． 【例题2】（2026春•金华期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6：5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为　 　 ． 【解答】解：由题意得：顶点B的横坐标＝24﹣14＝10， ∴抛物线的表达式为：y＝a（x﹣10）2+k， 把（24，0），（0，1.2）代入y＝a（x﹣10）2+k中得：， 解得：， ∴这条抛物线的表达式为：y（x﹣10）2， 故答案为：y（x﹣10）2． 【变式1】（2025秋•嘉兴期末）如图为小张的一次投篮示意图，其路线为抛物线．已知出手时篮球距地面的高度AB＝2m，当篮球运行的水平距离BD为2.5m时，达到距地面的最大高度CD为3.5m． （1）建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线所在的函数表达式； （2）若篮圈中心距地面的高度EF＝3.05m，若BF＝4.5m，则此次投篮是否能投进？请说明理由． 【解答】解：（1）以B为原点，BD所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图即为所求； 由题意得：A（0，2），顶点C（2.5，3.5）， 设抛物线表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5，将点A的坐标代入得： a（0﹣2.5）2+3.5＝2， 解得：， ∴该函数表达式为； （2）此次投篮不能投进；理由如下： 当x＝4.5时，得：， ∴此次投篮不能投进． 【变式2】（2026春•伊金霍洛旗期末）综合与实践：篮球的自由落地和反弹． 任务1：将同一个篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表： 下落高度x（单位：m） 0.8 0.9 1 1.1 1.2 反弹高度y（单位：m） 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 （1）请选择适当的函数模型描述该篮球的反弹高度y与下落高度x之间的关系，直接写出y与x之间的函数解析式　 　 ； 任务2：已知，篮球从下落高度x（单位：m）处自由下落与到达地面所用时间t（单位：s）始终满足：x＝5t2；篮球下落后从地面反弹，其反弹高度y（单位：m）与反弹时间t（单位：s）始终满足：y＝5t2． （2）根据任务1中发现的规律，分别求出篮球从高为1m处下落到地面所用时间和从地面第一次反弹到最高点所用的时间； （3）篮球从高为1m处自由下落，当篮球反弹高度小于2cm时，不再进行下一次反弹，直接写出篮球最后一次下落到达地面的时间． 【解答】解：（1）由表格数据知，对应的函数表达式为一次函数， 设y＝kx+b， 把（1，0.5），（0.8，0.4），代入可得， ， 解得， 所以y＝0.5x； （2）根据题意可得1＝5t2， 解得（负数舍去）， 当x＝1时，y＝0.5， 0.5＝5t2， 解得（舍去负数）， 答：篮球从高为1m处下落到地面所用时间为，从地面第一次反弹到最高点所用的时间为； （3）2cm＝0.02m， 篮球第一次反弹时，反弹高度为1×0.5＝0.5m， 篮球第二次反弹时，反弹高度为0.5×0.5＝0.25m， 篮球第三次反弹时，反弹高度为0.25×0.5＝0.125m， 篮球第四次反弹时，反弹高度为0.125×0.5＝0.0625m， 篮球第五次反弹时，反弹高度为0.0625×0.5＝0.03125m， 篮球第六次反弹时，反弹高度为0.03125×0.5＝0.015625m＜0.02m，不再进行下一次反弹， 0.015625＝5t2， 解得（负数舍去）， 答：当篮球反弹高度小于2cm时，不再进行下一次反弹，则篮球最后一次下落到达地面的时间为． 【类型5喷泉、喷水问题】 【例题1】（2024秋•海伦市期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 　 　 ． 【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 2.25＝a（0﹣1）2+3， 解得a＝﹣0.75， ∴y（x﹣1）2+3， 当y＝0时，（x﹣1）2+3＝0， 解得，x1＝﹣1，x2＝3， ∴点B的坐标为（3，0）， ∴OB＝3， ∴水流下落点B离墙距离OB的长度是3米． 故答案为：3米． 【例题2】（2026•西安模拟）某市消防中队引进一种新型高层专用消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度为OA，水流落地点为点B，喷出的水流呈抛物线型．以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计） 已知OA＝21m，OB＝7m，从A处喷出的水流高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣3x2+bx+c． （1）求b，c的值； （2）点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消防车从O点应至少前进多少米？ 【解答】解：（1）将A（0，21）和B（7，0）代入y＝﹣3x2+bx+c中，得 解得 ． （2）令y＝36，得﹣3x2+18x+21＝36， 解之，得x＝1或x＝5． ∴8﹣5＝3， ∴消防车从O点至少前进3米才能使C处的水流高度达到36米． 【变式1】（2026•吴忠校级模拟）盛元广场中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究． （1）当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）； （2）第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式； （3）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式； （4）已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣0.75）2+1.25， 将点（2，0）代入，得0＝a（2﹣0.75）2+1.25， 解得， ∴水柱所在的抛物线的函数表达式为； （2）∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为（0.75，1.25），且经过点（2，0）， ∴第二象限的抛物线的顶点坐标为（﹣0.75，1.25），且经过点（﹣2，0）， ∴抛物线的顶点式为； （3）根据题意得： ， 则； （4）能，理由如下： 当时，， 解得或（舍去）， ∵，2.1+0.5＝2.6， 则2.1＜2.351＜2.6， 所以绿化带能被水柱喷灌到． 【变式2】（2026•郏县一模）消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾．一次消防车演练时，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是：y＝﹣x2+mx+n（x＞0），水从距离地面的管道口点A喷出，点A正下方为车与地面接触点O，水流形状如图所示． （1）已知该消防车在距车水平方向8m处水流达到最高，最高点离地面81m，求该二次函数的解析式及OA的长； （2）若消防车停在与建筑有6m宽的绿化带旁时，此时水流恰能灭多高楼层的火势？ 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+mx+n的顶点坐标为（8，81）， y＝﹣（x﹣8）2+81＝﹣x2+16x+17， 将x＝0代入解析式，得 y＝﹣02+16×0+17＝17， ∴A（0，17）， ∴OA＝17． 答：y＝﹣x2+16x+17，OA的长为17m； （2）消防车与建筑间隔6m宽的绿化带， 因此水流到达建筑位置对应的水平距离x＝6， 将x＝6代入二次函数解析式： y＝﹣62+16×6+17＝﹣36+96+17＝77（m）， ∴若消防车停在与建筑有6m宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭高度为77m楼层的火势 【类型6安检问题】 【例题1】（2026•桂林模拟）综合与实践 【问题情境】2025年广西玉林首届马拉松赛吸引了近1.5万名跑者参赛，赛前运动员需在玉林市政广场的主检录区完成检录入场．组委会采用电子芯片核验与人脸识别技术，检录时间为赛前30分钟．某校数学兴趣小组针对该主检录区，开展“检录排队人数与开放通道之间的关系”进行探究活动．经调研与测算，该主检录区每个通道每分钟可检录10名运动员，每人完成核验后立即入场，不再排队；检录开始后，陆续到达该检录区的运动员总人数y（人）与时间x（分钟）满足关系式： y＝﹣x2+50x+24（0≤x≤30）； 任意时刻满足：排队人数＝到达总人数﹣已完成检录人数（通道空场时间忽略不计）． （1）若组委会先开放4个检录通道． ①直接写出排队人数m（人）与检录时间x（分钟）之间的函数关系式； ②求第几分钟后，该检录区不再有运动员排队等待检录． 【模型运用】 （2）根据赛事保障要求及尽可能减少检录通道，需在15分钟内（包含15分钟），排队等待检录的人数开始减少，至少要开放多少条检录通道？ 【解答】解：（1）①由题意得，m＝﹣x2+50x+24﹣10x×4＝﹣x2+10x+24， 即队人数m（人）与检录时间x（分钟）之间的函数关系式m＝﹣x2+10x+24； ②令m＝0，则﹣x2+10x+24＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）， 答：第12分钟后，该检录区不再有运动员排队等待检录； （2）设开放n条检录通道，则m＝﹣x2+50x+24﹣10x×n＝﹣x2+（50﹣10n）x+24， ∵a＝﹣1＜0， ∴排队人数开始减少的时间为顶点横坐标， 由题意得，0≤25﹣5n≤15， 解得2≤n≤5， 答：至少要开放2条检录通道． 【变式1】（2026•舒城县校级模拟）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对进场看某次演出，研究了进场过程中排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请解决下列问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 【解答】解：（1）根据题意列出已入场人数和现场总人数，再根据排队人数＝现场总人数﹣已入场人数列出函数关系式如下： 当开通3条安检通道时，安检时间x分钟，已入场人数为：3x×6＝18x（人）， ∵排队人数＝现场总人数﹣已入场人数，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30） ∴w＝y﹣18x＝﹣x2+60x+100﹣18x＝﹣x2+42x+100（0≤x≤30）； 故答案为：18x；w＝﹣x2+42x+100（0≤x≤30）； （2）由条件可知抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， ∵对称轴是直线， ∴当x＝21时，， ∴排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人． 课后小练习 1．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 2．（2026春•鼓楼区校级期末）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是　 　 s． 【解答】解：设h＝at2+bt， 将（0.5，2.75），（1.1，2.75）代入，得 ， 解得， ∴h＝﹣5t2+8t， ∴﹣5＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴足球到达最高点所需的时间是0.8s． 故答案为：0.8． 3．（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A． ﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 【解答】解：当x＝0时，y＝4a+2.8， ∵足球能射进球门， ∴0＜y＜2.44， ∴， 解得﹣0.7＜a＜﹣0.09， 则a的值可能是﹣0.1． 故选：B． 4.（2026•临平区二模）物体自由下落的高度h（m）和下落时间t（s）的关系为ht2（g为重力加速度）．记地球重力加速度为g1，月球重力加速度为g2．当物体自由下落高度相同时，在地球上的下落时间为t1，在月球上的下落时间为t2．若6，则　 　 ． 【解答】解：由题意，∵ht2， ∴t（负值舍去）． ∵6， ∴． ∴． 5．（2025•龙华区三模）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4， 把点代入得：， ∴， ∴； 当y＝0时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离OM为． 故答案为：． 6．（2026•西湖区一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE＝8m，DF＝12m，则花园最大面积为（　　） A．72m2 B．80m2 C．81m2 D．96m2 【解答】解：设AB＝xm，矩形花园的面积为Sm2，则BC＝（18﹣x）m， 根据题意得：S＝x（18﹣x）＝﹣（x﹣9）2+81， ∵DE＝8m，DF＝12m， ∴， 解得10≤x≤12， ∵﹣1＜0， ∴但x＝10m时，矩形的面积最大，最大面积为80m2， 故选：B． 7．（2026•白银模拟）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4． 又抛物线过点（0，1.8）， ∴16a+3.4＝1.8． ∴a＝﹣0.1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． 令y＝0， ∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． ∴x＝4±． 显然s＞0， ∴s＝4． ∵56， ∴9＜s＝410． 故选：B． 8．（2025秋•蒙城县期末）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4）， 设y＝a（x+4）（x﹣4）， 把D（﹣3，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4）， 得4＝a（﹣3+4）（﹣3﹣4）， 解得a， ∴y（x+4）（x﹣4）． 令x＝0得y，即（0，）， ∴OE ∴门的高度约为m． 故选：B． 9．（2026•烟台模拟）某景区为吸引游客，将门票单价定为x元/张，并且要求单价不能低于21元．经市场调查，每日游客人数y（人）与门票单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表： 门票单价x（元） 21 22 23 … 游客人数y（人） 110 100 90 … 景区每日运营成本为每人10元，另需支付固定维护费每日100元和环保费．经统计，环保费m元与游客人数y人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． （1）求游客人数y与门票单价x的函数表达式； （2）设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为W元，求W与单价x的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ （3）随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低a元（a＞3），且降低运营成本后的单价也不能低于21元．求在此条件下利润W的最大值（用含a的式子表示），并求当利润最大值为1429元时a的值． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， 将（21，110）、（22，100）代入：， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣10x+320（21≤x≤32）； （2）环保费m与y的函数关系设m＝ay2（a≠0），将（50，25）代入：25＝a×502， a， ∴my2， 利润W＝门票收入﹣运营成本﹣固定维护费﹣环保费xy﹣10y﹣100y2 ＝（﹣10x+320）（x﹣10）﹣100（﹣10x+320）2 ＝﹣10x2+420x﹣3200﹣100﹣（x2﹣64x+1024） ＝﹣11x2+484x﹣4324， 二次函数W＝﹣11x2+484x﹣4324开口向下，对称轴为：x＝22， ∵x≥21，且22在取值范围内， ∴当x＝22时，Wmax＝﹣11×222+484×22﹣4324＝1000， ∴函数关系式为W＝﹣11x2+484x﹣4324，当单价为22元时，利润最大为1000元； （3）运营成本变为（10﹣a）y，则：W＝xy﹣（10﹣a）y﹣100y2 ＝（﹣10x+320）（x﹣10+a）﹣100﹣（x2﹣64x+1024） ＝﹣11x2+（484﹣10a）x+320a﹣4324， 对称轴为：x＝22， ∵a＞3， ∴2221， 又∵x≥21，函数开口向下，在x≥21时单调递减， ∴最大值在x＝21时取得：Wmax＝﹣11×212+（484﹣10a）×21+320a﹣4324＝989+110a， 当Wmax＝1429时：989+110a＝1429， 解得a＝4， ∴利润最大值为110a+989，当最大值为1429元时，a＝4． 10．（2026•榆林校级模拟）如图1，某洗手间的洗手台上放了一瓶洗手液，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口点A喷出，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线型．现以吸液管底为原点，洗手台水平面为x轴，吸液管所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知：喷口点A到台面的高度AB＝18cm，OB＝4cm，当一滴洗手液在水平方向喷出4cm时，到台面高度为13cm，此时该抛物线的表达式为y＝ax2+bx+15． （1）求这滴洗手液轨迹的函数表达式； （2）当这滴洗手液落到台面上时，求落点离喷口点A的水平距离． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得， ∴这滴洗手液轨迹的函数表达式为； （2）令y＝0，即， 解得：x＝12或x＝﹣5（舍去）， 与喷口点A的水平距离为：12﹣4＝8cm， 答：这滴洗手液落点离喷口点A的水平距离是8cm． 11．（2026•让胡路区校级模拟）排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务10人（每人限购1份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数y（人）与开放窗口时间x（分钟）满足关系式y＝﹣x2+80x+129，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数＝用餐总人数﹣已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放4个服务窗口． ①直接写出排队人数m（人）与开放窗口时间x（分）间的函数关系式；（不需要写出x的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2） 根据学校活动安排，需要在15分钟内（包含第15分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为n个，直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）①m＝﹣x2+40x+129；理由如下： 食堂用餐人数y（人）与开放窗口时间x（分钟）满足关系式y＝﹣x2+80x+129， 食堂开放4个服务窗口x分钟，则已买到餐的人数为40x人， ∴排队人数m（人）与开放窗口时间x（分）间的函数关系式为m＝﹣x2+80x+129﹣40x＝﹣x2+40x+129； ②当m＝0时，得：﹣x2+40x+129＝0， 解得：x1＝43，x2＝﹣3（不合题意，舍去）， 答：第43分钟不再有同学排队就餐； （2）n的取值范围为n≥5（n为正整数）．理由如下： ∵开放服务窗口为n个，则第x分钟时已买到餐的人数为10nx人， ∴排队人数为m＝﹣x2+80x+129﹣10nx＝﹣x2+（80﹣10n）x+129， ∵需要在15 分钟内（包含第15分钟），排队用餐的人数开始减少， ∴， 解得：n≥5（n为正整数）． 12．（2026•秦都区校级模拟）数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动，如图①是一座三孔桥，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线形状相同，该三孔桥的截面图如图②所示，研究小组以线段AB所在的直线表示水平的水面，以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝20m，顶点C距离水面的高度OC为5m，小孔顶点距离水面的高度DE为4.2m． （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度MN≤10m时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 【解答】解：（1）已知抛物线的顶点为C（0，5）， ∴可设中间大孔抛物线的函数表达式为y＝ax2+5（a≠0）， ∵正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝20m，AB在x轴上，且O为坐标原点， ∴A点坐标为 （﹣10，0），B点坐标为（10，0）（因为AB关于y轴对称，AB的中点在y轴上，所以A、B到y轴的距离都是10）， 把B（10，0）代入y＝ax2+5中，可得：0＝a×102+5， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为； （2）当小孔刚好被淹没时，水位高度为DE＝4.2m，即此时y＝4.2． 把y＝4.2代入中间大孔抛物线的函数表达式中， ∴4，则x＝±4， ∴此时大孔水面宽度MN的长度为|4﹣（﹣4）|＝|8|＝8m． ∵8m＜10m， ∴根据“大孔水面宽度MN小于等于10米时桥面警戒，禁止通行”，故当小孔刚好被淹没时，桥面警戒，禁止通行． 13．（2025秋•唐山期末）今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． （1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式． （2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm） 【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， 由题意得OA＝OBAB＝12米，点C的坐标为（0，5）， ∴点A的坐标为（﹣12，0）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+5（a≠0）， 把A（﹣12，0）代入，得144a+5＝0， 解得：a， ∴该抛物线的表达式为yx2+5； （2）∵165+15+20＝200（cm）＝2（m）， ∴当y＝2时，x2+5＝2， 解得x1，x2， ∴在河道中可通行的安全范围是米． 14．（2026春•温岭市期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如图所示．已知AB＝18m，BC＝32m． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即GH＝2BE＝2DF，且停车位的宽度不小于4.8m，其余部分是等宽的通道． 任务1 ①设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，求y与x之间的函数关系式； ②若停车位总面积为180m2，请计算停车位的宽度是否符合标准． 【解答】解：任务1：①∵BE＝FD＝x，则GH＝2x， 由题意得：4x+2y＝32， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+16； ②∵停车位总面积为180m2， ∴2x（18﹣y）+2x（18﹣2y）＝180， 将①中y＝﹣2x+16代入，得2x[18﹣（﹣2x+16）]+2x[18﹣2（﹣2x+16）]＝180， 整理得：2x2﹣2x﹣15＝0， 解得：x＝5或x＝3， ∵停车位的宽度不小于4.8m， ∴x＝5； 任务2：设停车位的总面积为S， ∴S＝2x（18﹣y）+2x（18﹣2y） ＝12x2﹣24x ＝12（x2﹣2x） ＝12（x2﹣2x+1﹣1） ＝12（x﹣1）2﹣12， ∵y＝﹣2x+16≥4且x≥4.8 ∴4.8≤x≤6， ∵12＞0， ∴当x＝6时，， ∴当停车位宽度取6m时，停车位总面积最大，最大停车位总面积288m2． 15．（2026•江夏区校级模拟）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【解答】解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈． 1 学科网（北京）股份有限公司 $