专题06 二次函数背景的特殊三角形问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以坐标法为核心，通过分类讨论构建二次函数与特殊三角形存在性问题的解题体系，注重几何条件代数化的思维迁移，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|坐标法转化几何条件，分类讨论等腰/等边/直角三角形|二次函数与几何图形的数形结合| |题型归纳|6题型（含典例+变式）|按边/角分类列方程，距离公式/相似/全等工具应用|从一般到特殊的题型递进| |压轴挑战|14题|综合运用通法与题型技巧，突破复杂存在性问题|知识应用的综合拓展|

专题06 二次函数背景的特殊三角形问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等腰三角形的存在性问题 题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题 题型3、等边三角形的存在性问题 题型4、直角三角形的存在性问题 题型5、特定边角的直角三角形存在性问题 题型6、等腰直角三角形的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的特殊三角形存在性问题，核心在于用坐标法把几何条件转化为代数方程；等腰三角形要按“谁为底、谁为腰”分类讨论，等边三角形要同时满足三边相等和内角60°，直角三角形要按直角顶点分类并用勾股定理或垂直条件；等腰直角三角形则需兼顾等腰与直角双重条件；解题中要注意利用二次函数解析式设出动点坐标，通过距离公式、相似、全等、轴对称等工具建立方程，求出坐标后必须回代检验是否符合题意． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等腰三角形的存在性问题 典例1 （25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，判断是否存在或求满足条件的动点坐标． 2.方法：按“哪两边相等”分三种情况讨论；用两点间距离公式列方程，结合二次函数解析式求解，注意去重和回代检验． 变式1-1 （24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点的坐标为时，求的面积； (3)请过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3 （2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题 典例2 （25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 题型模版 1.特征：给定某一边、一角或顶点位置，求满足特定条件的等腰三角形． 2.方法：先固定已知边或角，再按等腰关系分类；利用三角函数、相似或坐标关系列方程求解． 变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 变式2-2 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与x轴交于另一点B． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)求点B坐标； (3)设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M．交直线于点N． ①若点P在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰的面积． 题型3、等边三角形的存在性问题 典例3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上找点，使其与两定点构成等边三角形． 2.方法：利用三边相等且内角60°，或旋转60°进行转化；列距离方程和角度关系，结合抛物线解析式求解． 变式3-1 已知二次函数（，均为常数）． (1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)若函数图象上有两点，，且，求的取值范围； (3)将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由． 变式3-2 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．将抛物线向右平移个单位得到抛物线与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线在第一象限交于点M． （1）求抛物线的解析式，并求出其对称轴； （2）①当时，直接写出抛物线的解析式； ②直接写出用含m的代数式表示点M的坐标； （3）连接．在抛物线平移的过程中，是否存在是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 变式3-3 已知二次函数． （1）图象经过点时，则_________； （2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型4、直角三角形的存在性问题 典例4 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． (3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 题型模版 1.特征：动点与两定点构成直角三角形，需确定直角顶点位置． 2.方法：按直角顶点分类讨论；用勾股定理列方程，结合二次函数求解． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________． 变式4-2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5、特定边角的直角三角形存在性问题 典例5 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：给定某一边、一角或直角边条件，求满足特定条件的直角三角形． 2.方法：固定已知边或角，按直角顶点分类；利用三角函数、勾股定理建立方程求解． 变式5-1 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 变式5-2 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6、等腰直角三角形的存在性问题 典例6 如图①，已知抛物线的图象经过点，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； (2)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：动点与定点构成等腰直角三角形，需同时满足等腰和直角条件． 2.方法：按直角顶点分类，利用两腰相等且互相垂直列方程；结合二次函数解析式求解，注意多解取舍． 变式6-1 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． (1)求这个二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2 （25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 变式6-3 我们约定：在平面直角坐标系中，对于两条抛物线和，若这两条抛物线有公共顶点，则称这两条抛物线互为“同源”抛物线． (1)下列选项中，与抛物线互为“同源”抛物线的是___________； ①；②；③ (2)若点不在抛物线上，也不在其任意一条“同源”抛物线上，求出所有符合题意的点坐标； (3)已知抛物线及其“同源”抛物线．若抛物线，与直线各有两个公共点，从左到右依次记为点，，，，且以，，为边的三角形是等腰直角三角形，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做这个三角形的“智汇中线”． (1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“”） ①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”． ②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线． (2)如图1，中，，，，求证：是“智汇三角形”． (3)如图2，点，在抛物线上，且轴，若是“智汇三角形”，求的“智汇中线”的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 26．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 27．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图①，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．连接，，P是抛物线上第一象限内的一个动点，设，过点P作轴于点D，交于点E，作于点P，使且点F在左侧，以，为邻边作矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)当点F落在抛物线上时，则________； (3)当矩形的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； (4)如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围． 29．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，且为斜边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等．我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． （1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程； （2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长； （3）M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值． 32．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 34．【定义】若点与平面内的，两点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于点，的斜方点． 如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图1，若函数上存在一点是关于点，的斜方点，则的值为_____． (2)如图2，过点作交抛物线于点，点是抛物线上，之间的一个动点，设，当最大时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，连接交于点，点是直线上的一个动点，点在线段上，且点是关于点，的斜方点，求点的坐标． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线F的函数表达式； (2)点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ (3)设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 37．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数背景的特殊三角形问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等腰三角形的存在性问题 题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题 题型3、等边三角形的存在性问题 题型4、直角三角形的存在性问题 题型5、特定边角的直角三角形存在性问题 题型6、等腰直角三角形的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的特殊三角形存在性问题，核心在于用坐标法把几何条件转化为代数方程；等腰三角形要按“谁为底、谁为腰”分类讨论，等边三角形要同时满足三边相等和内角60°，直角三角形要按直角顶点分类并用勾股定理或垂直条件；等腰直角三角形则需兼顾等腰与直角双重条件；解题中要注意利用二次函数解析式设出动点坐标，通过距离公式、相似、全等、轴对称等工具建立方程，求出坐标后必须回代检验是否符合题意． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等腰三角形的存在性问题 典例1 （25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 【答案】(1)， (2)，M的坐标为 (3)1或2 【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题． 代入A、C求抛物线解析式，求与x轴交点得B，再求直线解析式； 设P点横坐标得M、N坐标，表出并配方求最值，进而得M坐标与最大面积； 分、、三种情况列方程，求解并舍去不合题意值． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 解得， 故点， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， 直线解析式为； （2）解：由题意，点， 则，，其中， ， 配方得， 当时，最大值为， ， 当最大时，最大，最大值为， 将代入，得， 故M的坐标为； （3）解：由（2）知，点，点，点， ， ， 当时，， 解得舍； 当时，， 解得不合题意舍， 当，， 解得舍去， 综上或 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，判断是否存在或求满足条件的动点坐标． 2.方法：按“哪两边相等”分三种情况讨论；用两点间距离公式列方程，结合二次函数解析式求解，注意去重和回代检验． 变式1-1 （24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 变式1-2 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点的坐标为时，求的面积； (3)请过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)存在，，，， 【分析】（1）将点和代入解析式即可求解； （2）连接，可求，，由 即可求解； （3）用待定系数法可求直线的表达式为，设，由平行四边形的性质得，即可求解； （4）①为顶点时， 在轴上分别截取，即可求解；②为顶点时，由等腰三角形的性质得，即可求解；③为顶点时，过的中点作交轴于，作轴交轴于，可证，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点和点， 交轴于点， ， 解得， ； （2）解：如图，连接， ， 令， 即， 解得，， ， ， ，， ， ，         ； （3）解：如图， ， 设直线的表达式为 ，解得 作轴，交于点， 设， ， 四边形是平行四边形， ， 解得， ， 点的坐标为； （4）解：①如图，为顶点时， 在轴上分别截取， ， ， ， ，； ②如图，为顶点时， ， ， ； ③如图，为顶点时， 过的中点作交轴于，作轴交轴于， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， 解得：， ， ； ，，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握判定方法及性质，能根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 变式1-3 （2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2) 证明：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）略 （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 题型2、特定边角的等腰三角形存在性问题 典例2 （25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 题型模版 1.特征：给定某一边、一角或顶点位置，求满足特定条件的等腰三角形． 2.方法：先固定已知边或角，再按等腰关系分类；利用坐标关系列方程求解． 变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 变式2-2 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； (3)存在，或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，设，则，求得，设面积，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）利用勾股定理得，①当，在点C的上方时，②当，在点C的下方时，③当时，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得， 物线的解析式为； （2）解：如图1，过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G， 设直线的解析式为， 直线经过，， ， 解得， 直线的解析式为， 点P是抛物线上的点且在直线上方， 设，则， ， 设面积为， ， ， 当最大值为时，，此时， 当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； （3）解：当时，， ， ， ①当，在点C的上方时， ， 点的坐标为； ②当，在点C的下方时， ， 点的坐标为； ③当时， 设，则， ， 点的坐标为； 综上所述，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与x轴交于另一点B． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)求点B坐标； (3)设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M．交直线于点N． ①若点P在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰的面积． 【答案】(1) (2) (3)①线段的长度的最大值为；②点的坐标为，，的面积为；或点的坐标为，，的面积为． 【分析】（1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）令，得，解得：，即可求出点B的坐标； （3）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1），，且点、在抛物线上， ∴， 解得， 该抛物线所对应的函数关系式为； （2）令，得， 解得：， ； （3）①如图2中， 已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 点在抛物线上，且轴，点N在直线的图象上， 设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在第一象限， ∴， ， ， 当时， 线段的长度的最大值为． ②解：如图3中， 由题意知，点在线段的垂直平分线上， 又由①知，， 的中垂线同时也是的平分线， 设点的坐标为， 又点在抛物线上，于是有， ， 解得，， 点的坐标为：，或，， 若点的坐标为，，此时点在第一象限， 在和中，， ， ， ， ， 若点的坐标为，，此时点在第三象限， 则． 综上所述的面积为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 题型3、等边三角形的存在性问题 典例3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）根据的图象经过点，即可求解． （2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画出图象，则，即可得，即可证明是等腰直角三角形． （3）根据点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，将代入，可解得，即可得．要使是正三角形，设点为，过点作轴，交轴于点，分三种情况：当时， 当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图． ， ， 又∵， ， ， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设， 将代入，可解得． ， 要使是正三角形， 设点为，过点作轴，交轴于点， 分三种情况： 当时，， ， ， ∴， 解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）． 当时，则有：， ， 解得， 根据正三角形对称性，点在轴上， ∴点坐标为． 当时，则有：， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图像和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上找点，使其与两定点构成等边三角形． 2.方法：利用三边相等且内角60°，或旋转60°进行转化；列距离方程和角度关系，结合抛物线解析式求解． 变式3-1 已知二次函数（，均为常数）． (1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)若函数图象上有两点，，且，求的取值范围； (3)将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）结合二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线，再建立方程组求解即可； （2）计算，，结合，再进一步求解即可； （3）设顶点，可得平移后的解析式为：，求解，可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数为． （2）解：∵函数图象上有两点，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上， ∴设顶点， ∴平移后的解析式为：， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴， ∴， ∵为等边三角形，点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， 解得：，， ∴存在满足条件的点，的值为或． 变式3-2 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．将抛物线向右平移个单位得到抛物线与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线在第一象限交于点M． （1）求抛物线的解析式，并求出其对称轴； （2）①当时，直接写出抛物线的解析式； ②直接写出用含m的代数式表示点M的坐标； （3）连接．在抛物线平移的过程中，是否存在是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），其中对称轴是直线；（2）①；②点M的坐标为；（3）存在，． 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴； （2）①利用抛物线平移规律即可求得C2解析式； ②利用抛物线平移规律即可求得M的横坐标，进而代入C1抛物线解析式即可； （3）过点M做于点N，分别表示出点D、M、N、A的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN、MN，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为．则 解得 抛物线的解析式为， 其中对称轴是直线 （2）①由（1）知：抛物线的解析式为， 即， 当时，根据抛物线平移规律可得： 抛物线解析式为： ②根据抛物线平移规律可得，抛物线向右平移个单位得到抛物线解析式为： ， 其对称轴为： ∴交点M横坐标为： 将其代入抛物线解析式可得： ∴点M的坐标为； （3）存在m值使是等边三角形．理由如下： 过点M做于点N ∵， ∴ 若是等边三角形，则， ∴即 解得（不合题意，舍去）， ∴当时，是等边三角形． 【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质． 变式3-3 已知二次函数． （1）图象经过点时，则_________； （2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面积是与m无关的定值，S△AMN＝. 【分析】（1）将点代入二次函数解析式即可求出m； （2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围； （3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN的面积是与m无关的定值． 【详解】解：（1）将点代入可得：， 解得：m=4； （2）二次函数的对称轴是：x＝m， ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， ∴m≥2； （3）的面积是与m无关的定值； 如图：顶点A的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B， ∵tan∠AMB＝tan60°＝， ∴AB＝BM＝BN， 设BM＝BN＝a，则AB＝a， ∴点M的坐标为（m＋a，a−m2＋4m−8）， ∵点M在抛物线上， ∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8， 整理得：， 解得：a＝或a＝0（舍去）， ∴△AMN是边长为的正三角形， ∴AB=3，S△AMN＝，与m无关. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键． 题型4、直角三角形的存在性问题 典例4 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． (3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能，，； (3)，． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积问题； （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当能否是直角三角形时，由函数的对称性，则为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）由＜得到＜则＜，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点、、， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令， 则， 即抛物线与轴的交点坐标为：，； （2）能，理由： 当时，则抛物线的对称轴为直线， 当时，如下图， 当能否是直角三角形时， 由函数的对称性，则为等腰直角三角形， 则， 即，则， 即， 解得：； 当时， 同理可得：； 综上，； （3）， 即 则， 即， 当时，， 则， 同理可得：当时，， 即． 题型模版 1.特征：动点与两定点构成直角三角形，需确定直角顶点位置． 2.方法：按直角顶点分类讨论；用勾股定理列方程，结合二次函数求解． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，根据抛物线解析式，可得定点，进而可证明为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得交点坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； 【详解】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 变式4-2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（）； (3)存在．点N的坐标为或或或． 【分析】（1）对于，令，求出值，令，求出的值，进而得到、的坐标，待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴、， ∵抛物线经过点A，B ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）解：存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 题型5、特定边角的直角三角形存在性问题 典例5 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或； 【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可； （3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标是， ， ， ，， ，， 抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 与轴交于点， ， 解得：， ， 即抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上之间的动点， 设， 轴，交直线于点， ， ， ， ， 当时，有最大值为8， ， 即当的面积最大时，求出点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ； ②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ， 综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 题型模版 1.特征：给定某一边、一角或直角边条件，求满足特定条件的直角三角形． 2.方法：固定已知边或角，按直角顶点分类；利用三角函数勾股定理建立方程求解． 变式5-1 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)存在，或； (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线， 点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为即可得顶点； （2）设， 可得 根据是以为斜边的直角三角形，有 即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时， 随的增大而减小，可得 ②当 即 时， 时最小值为这种情况不存在最小值为；③当 时，随的增大而增大，有 ，分别解方程可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ， 点的坐标为， ∴， 将代入得： ，解得 ∴抛物线的解析式为， 当 时， ， ， 故答案为：； （2）解：存在点， 使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令 得 ， ∴， ∵， ，， ， 是以AC为斜边的直角三角形， ， ， 解得或 ∴或； （3）解：由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得 (舍去)或 ， ∴此时 ； ②当 即时， 时最小值为 ， ∴这种情况不存在最小值为； ③当时， 随的增大而增大， 时， 取最小值， ， 解得(舍去)或 ； ∴此时 ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． 变式5-2 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，或 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． （2）解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． （3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． 题型6、等腰直角三角形的存在性问题 典例6 如图①，已知抛物线的图象经过点，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； (2)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，设直线交于点M，交于点N，求出的坐标，根据点F在内（包括的边界），列出不等式进行求解即可； （3）分四种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点， ∴ ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 顶点为，抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵的平分线交线段于点E， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴，解得； （3）解：设，分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作轴，交y轴于M，交l于N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 解得：或， ∵，不合题意，舍去， ∴，此时， ∴P的坐标为； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：， 解得：或， ∵，不合题意，舍去， ∴，此时， ∴P的坐标为； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作轴于N，过F作于M， 同理得， ∴，则，解得：，； ∵，不合题意，舍去， ∴，此时， P的坐标为； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5， 同理得，解得：或（舍）， P的坐标为：； 综上所述，点P的坐标是：或或或． 题型模版 1.特征：动点与定点构成等腰直角三角形，需同时满足等腰和直角条件． 2.方法：按直角顶点分类，利用两腰相等且互相垂直列方程；结合二次函数解析式求解，注意多解取舍． 变式6-1 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． (1)求这个二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值是 (3)点N坐标为或或或． 【分析】（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得； （2）过作轴交于，求出的对称轴直线，，设，则，利用三角形面积公式可得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，分，和，，两种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得： ， 解得， ； （2）解：过作轴交于，如图： 在中，对称轴为直线， 当时，， ， 设，则， ， ∴ ， ， 当时，取最大值为5； ∴面积的最大值为5； （3）解：∵，对称轴为直线， 设， 当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图， ∴， ∴， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴点N坐标为或； 当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图， 同理，则，即， 整理得， 解得， ∴点N坐标为或； 综上，点N坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 变式6-2 （25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 变式6-3 我们约定：在平面直角坐标系中，对于两条抛物线和，若这两条抛物线有公共顶点，则称这两条抛物线互为“同源”抛物线． (1)下列选项中，与抛物线互为“同源”抛物线的是___________； ①；②；③ (2)若点不在抛物线上，也不在其任意一条“同源”抛物线上，求出所有符合题意的点坐标； (3)已知抛物线及其“同源”抛物线．若抛物线，与直线各有两个公共点，从左到右依次记为点，，，，且以，，为边的三角形是等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1)①② (2)符合题意的点坐标为，， (3) 【分析】（1）根据题中所给的新定义进行验证即可； （2）根据题意易得抛物线的顶点坐标为，然后可得要使点既不在此抛物线上，也不在此抛物线的“同源”抛物线上，则需满足：且或且，进而求解即可； （3）由题意可设点，是抛物线与直线的交点，则点，是抛物线与直线的交点，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，，则根据等腰直角三角形的性质及抛物线的对称性可知，进而可得，最后化简即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：顶点坐标为，根据“同源”抛物线的定义逐一验证： ①由可知：顶点坐标为，是抛物线的“同源”抛物线； ②由可知：顶点坐标为，是抛物线的“同源”抛物线； ③由可知：顶点坐标为，不是抛物线的“同源”抛物线； （2）解：由抛物线可知：顶点坐标为，则与此抛物线的“同源”抛物线的顶点坐标也为， ∴要使点既不在此抛物线上，也不在此抛物线的“同源”抛物线上，则需满足：且或且， 解得：或， 当时，点；当时，点；当时，点； 综上所述：符合题意的点坐标为，，； （3）解：由题意可知：抛物线M，N顶点坐标相同，对称轴相同，且， ∴，即抛物线N比抛物线M的开口窄， 设点，是抛物线与直线的交点，则点，是抛物线与直线的交点， ∴联立抛物线与直线，消去y得：， ∴，且是该方程的两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 同理可得：， ∴， ， ∵抛物线，是“同源”抛物线，且抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵以，，为边的三角形是等腰直角三角形，且抛物线，是“同源”抛物线，即抛物线，的对称轴都为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， ∵， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做这个三角形的“智汇中线”． (1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“”） ①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”． ②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线． (2)如图1，中，，，，求证：是“智汇三角形”． (3)如图2，点，在抛物线上，且轴，若是“智汇三角形”，求的“智汇中线”的长． 【答案】(1)①×；②√ (2)证明见解析 (3)2或 【分析】（1）根据“智汇三角形”的定义判断即可； （2）由勾股定理得，，作边上的中线，可得，利用勾股定理得，即可得出结论； （3）作的中线，过点作轴于，过点作于，设点，，根据“智汇三角形”的定义分类讨论即可． 【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线是斜边的一半， 斜边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， ，， 等腰直角三角形直角边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， 等腰直角三角形一定不是“智汇三角形”． 故答案为：； ②直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 斜边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， 较短直角边上的中线大于较长直角边， 较短直角边上的中线大于较短直角边， 较短直角边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， “智汇中线”一定是较长直角边上的中线， 故答案为：； （2）解：中，，，， ，， 如图，作的中线， ， ， ， 是“智汇三角形”； （3）解：如图，作的中线，过点作轴于，过点作于， 设点，， ，在抛物线上，且轴， 为等腰三角形， ①若边上的中线时，即， 解得：，（舍去）， “智汇中线”； ②若边上的中线时， 点，， ，， ， ， ， 解得：（0舍去）， ， ∴“智汇中线”， 综上，“智汇中线”的长为2或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点P， 使得是以为底的等腰三角形，P点坐标为 (3)N点的坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法直接求二次函数解析式即可． （2）过点P作轴于点D，利用等腰三角的性质得出，进而求出点P的横坐标，然后代入二次函数解析式即可求出点P的纵坐标． （3）利用平移的性质得出的解析式，设，，并分三种情况：当①，为平行四边形的对角线时，②当，为平行四边形的对角线时，③当，为平行四边形的对角线时，按照平行线分线段成比例列出等式，分别求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得∶， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）存在点P，使得是以为底的等腰三角形，理由如下∶ 如图，当时，过点P作轴于点D，则． ∵， ∴ ∴，即P点横坐标为， 当时，， ∴P点坐标为 ∴在抛物线上存在点P， 使得是以为底的等腰三角形，P点坐标为． （3）令，则， ∴． ∵， ∴抛物线沿x轴正方向平移的距离与沿y轴正方向平移的距离之比为． ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴正方向平移个单位长度，沿y轴正方向平移个单位长度， ∴ ∴新抛物线的对称轴为直线：， 设，， ①当，为平行四边形的对角线时， 解得：， ∴． ②当，为平行四边形的对角线时， 解得： ∴ ③当，为平行四边形的对角线时， 解得： ∴ 综上所述，N点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例， 具有较强的综合性，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活运用知识结合的思想是解题的关键． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标是 (3)，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图，作直线，过点P作轴，交于点K， ∵对称轴为直线， ∴点D的坐标是， 当时，， ∴点，直线解析式为， 则， ∴， ∴， 设P的坐标为，则点K的坐标是， ∴， ∴， 则， 则， ∴当时，有最大值10，此时P点的坐标是； （3）设点， 由点O、P、M的坐标得，，，， 当时，即， 解得：； 即点或； 当时，则， 解得：或， 则点或． 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键． 26．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 27．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 28．如图①，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．连接，，P是抛物线上第一象限内的一个动点，设，过点P作轴于点D，交于点E，作于点P，使且点F在左侧，以，为邻边作矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)当点F落在抛物线上时，则________； (3)当矩形的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； (4)如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出，即，由题意可知，根据点F落在抛物线上，P是抛物线上第一象限内的一个动点得到，，求解即可； （3）先求出的面积，进而得到矩形的面积，设直线的解析式为，求出直线的解析式，进而得到E点坐标，可知，进而得到矩形的面积，求解即可； （4）分三种情况根据勾股定理结合函数图象求出n的取值范围，取公共部分即可． 【详解】（1）解：已知抛物线过点和， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：解得， ∴，即， ∵，，点F在左侧，， ∴， ∵点F落在抛物线上， ∴， ∵P是抛物线上第一象限内的一个动点， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵矩形的面积是面积的3倍， ∴矩形的面积为， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 即直线的解析式为， ∵，轴于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 整理得， 解得：或， 对应得或， ∴点P的坐标为或； （4）解：抛物线顶点的横坐标为， ∴， ∵，， ∴，，， 当为直角时，如图： 此时，即， 解得：， 根据图象可知，当为锐角时，； 当为直角时，如图： 此时，即， 解得：， 根据图象可知，当为锐角时，； 当为直角时，如图： 此时，即， 解得：， 根据图象可知，当为锐角时，或； 综上所述，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，则或． 29．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，且为斜边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）利用两点之间的距离公式得出，，，利用勾股定理得出，解出n的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ． 解得． ，则； （2）解：当时，则， ∴， 如图，作轴交于点， ，， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ， 同理：，， 当时，，即 整理得： 解得或． 当时，则， 当时，则． 综上：或． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)或 (3)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的的取值范围为或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 31．研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等．我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． （1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程； （2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长； （3）M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值． 【答案】（1）焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1；（2）8；（3）4． 【分析】（1）根据焦点坐标为（0，），准线方程为y＝−，即可得出答案． （2）根据题意可设A（x，y），B（-x，y），从而根据等边三角形及抛物线的性质可得出∠AOE=30°，继而可得出，代入可得出x和y的值，也可求出等边三角形的边长． （3）点P到点F的距离等于点P到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点M的位置，结合图形可得出这个最小值． 【详解】解：（1）由题意得，焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1； （2）设A（x，y），B（-x，y）， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOE=∠AOB=30°， ∴y=x， 将点A坐标（x，y）=（x，x）代入函数解析式，可得x=x2， 解得：x=4， 故可得点A坐标为（4，12），三角形的边长=OA==8． （3）过点M作MN⊥准线，交准线于点N， 则由题意可得，MN=MF， 故可得：MP+MF=MP+MN， 结合图形可得过点P作PE⊥准线，交准线于点E，则PE与抛物线的交点M'能满足MP+MF最小， 此时M'P+M'F=PE=4． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是仔细审题得出函数的准线与焦点，综合性较强，注意解答过程中将所学知识融会贯通． 32．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 33．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)或或 (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据锐角三角形三条高的交点在三角形内部、直角三角形三条高的交点是直角顶点、钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，可知是钝角三角形，分三种情况讨论； （3）根据点、、的坐标可知，若点和点、、构成直角梯形，则有三种情况，一种情况是，另一种情况是，根据梯形的面积是分情况求解，第三种情况为，，验证面积等于13.2即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：的三条高所在直线交于三角形外一点， 是钝角三角形， 如下图所示，当点在点的左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， 点的坐标为， 当点在点右侧，点左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作交轴于点，作轴于点， 则， 又， ， ， 由点和点可知点的坐标为， ，，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 当点在点右侧， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当的三条高所在直线交于三角形外一点时，的取值范围为或或； （3）解：由点、点、点的坐标， 可知，，， ， ， 是直角三角形，，且，； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 整理可得：， 解得：， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 则直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合条件，舍去）， ， 点的坐标为； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 当，时，如下图所示， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为，     ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入直线解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴, ∴， 整理得， 解得： ∵，当的横坐标为时，与不平行，舍去， ∴    , ∴，即， ，即， ∴，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数解析式，特殊四边形的面积计算等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 34．【定义】若点与平面内的，两点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于点，的斜方点． 如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图1，若函数上存在一点是关于点，的斜方点，则的值为_____． (2)如图2，过点作交抛物线于点，点是抛物线上，之间的一个动点，设，当最大时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，连接交于点，点是直线上的一个动点，点在线段上，且点是关于点，的斜方点，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）先令，根据解析式求得点的坐标，进而根据新定义得出或，代入反比例函数解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，表示出，根据平行线间的距离相等，得出，结合已知可得，根据二次函数的性质求得最大值，进而求得点的坐标，即可求解； （3）先求得，过点作轴于点，过点作垂足为，根据新定义得出，证明，进而求得点的坐标，求得直线的解析式，联立直线的解析式，即可求解；当在的上方时，同理可得． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∴，，对称轴为直线， ∴， ∵是关于点，的斜方点， ∴，且， ∴在直线上，且到的距离为， ∴或， ∵点在函数图象上， 当时，代入得： ； 当时，代入得： ， ； ∴或； （2）令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值， 此时， ∴； （3）解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作垂足为， ∴， ∵点是关于点，的斜方点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴； 当在的上方时，作点关于的对称点， ∴都是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， 由向下平移1个单位，向右平移2个单位得到， ∴向下平移1个单位，向右平移2个单位得到， 同理可得的解析式为， 联立 解得： ∴； 综上所述，或． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线F的函数表达式； (2)点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ (3)设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或或 【分析】(1) 将，代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点坐标和直线表达式，用表示和的长度，列方程求解． (3) 先求顶点坐标，设，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，． （3）解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ，， ， ①当为斜边时， 解得或， 或； ②当为斜边时， 解得， ； ③当为斜边时， 解得， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 36．如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)①②或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）连接，过点作轴，交于点，待定系数法求出直线的解析式，假设点P的坐标为，则，根据面积列出方程求解； （3）①分两种情况进行讨论，利用得出的关系，然后表示出点的坐标，即可求解； ②借助①的结论表示出各点的坐标，根据点的坐标情况，列出不等式求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作轴，交于点， 当时，， ∴； 假设直线的解析式为，将和代入得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 假设点P的坐标为，，则， ∴， ∴， 解得或， 当时，， ∴点P的坐标为（与顶点重合，舍去）； 当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的横坐标为， ①如图所示， 由（2）得：， 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 综上，； ②如图所示，过点作于点， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ，，， ∵直角的直角顶点不在二次函数图象内部， ∴， 令， 则， 整理得， 解得（舍去）或， 即， ∵ ∴解得， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，m的取值范围为或． 37．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，此时抛物线的解析式为 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得A、B两点坐标； （2）由、的长可求得，用t可表示出，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用t表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知，又，由（2）可知，，由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令，得，解得， 令，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵运动时间为t秒， ∴， ∵轴， ∴在中，，， 在中，，， ∴， ∴． （3）解：存在， ∵轴， ∴， ∵点G不能在抛物线的对称轴上， ∴， ∴当为直角三角形时，则有， 又∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， 解得， 即当t的值为秒时，为直角三角形， 此时， ∴点E的坐标为， ∵抛物线的顶点为A， ∴可设抛物线解析式为， 将点E的坐标代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $