专题04 二次函数的代数几何综合问题（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，按线段周长、面积、角度等5类题型系统编排，以题载法构建数形结合解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|3题|含动点最值、等腰直角三角形构造|二次函数解析式求解→坐标表示线段→函数最值推理| |面积问题|3题|涉及动点面积和、定值探究|几何图形面积公式→代数化表达→二次函数最值计算| |角度问题|3题|含互余、等角存在性|角度关系转化→三角函数/斜率计算→方程求解| |特殊三角形存在性|3题|直角、等腰三角形判定|三角形性质→坐标关系建立→分类讨论验证| |特殊平行四边形存在性|5题|菱形、矩形存在性探究|平行四边形性质→中点坐标公式→参数方程求解|

专题04 二次函数的代数几何综合问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数线段、周长问题 题型2 二次函数面积问题 题型3 二次函数角度问题 题型4 二次函数与特殊三角形的存在性问题 题型5 二次函数与特殊平行四边形存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数线段、周长问题 1．如图，已知抛物线与x轴的两个交点分别为，，与y轴交于点C，直线过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值； (3)当时，y的取值范围是，且，求m的值． 2．如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），对称轴为，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)过点作交轴于点，交于点．在第一象限内，抛物线上有一点，使得，求点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为M，交于点．试探究在点运动的过程中，是否存在最大值，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ◆题型2 二次函数面积问题 4．已知二次函数过点．如图是该函数的图像． (1)求二次函数的解析式． (2)线段所在直线的函数解析式是．是该抛物线上在下方的动点，为其上下方动点，为其上下方动点．在的面积和的面积均取得最大值时，记．则的值会随点运动而改变吗？若是，求出该定值；若不是，则求出的取值范围． 5．如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点； (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），请证明：若，则； (3)如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值． 6．如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． ◆题型3 二次函数角度问题 7．如图，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与均不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)若与互余，求点坐标； 8．如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点，是抛物线上的两个点，．若，求的值； (3)如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，，在第二象限内的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． ◆题型4 二次函数与特殊三角形的存在性问题 10．我们约定：在平面直角坐标系中，对于两条抛物线和，若这两条抛物线有公共顶点，则称这两条抛物线互为“同源”抛物线． (1)下列选项中，与抛物线互为“同源”抛物线的是___________； ①；②；③ (2)若点不在抛物线上，也不在其任意一条“同源”抛物线上，求出所有符合题意的点坐标； (3)已知抛物线及其“同源”抛物线．若抛物线，与直线各有两个公共点，从左到右依次记为点，，，，且以，，为边的三角形是等腰直角三角形，求的值． 11．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． ◆题型5 二次函数与特殊平行四边形存在性问题 13．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、y轴分别交于点A和点，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式； (2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为．轴交直线于点E，点F在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值； (3)M是平面内一点，将绕点M沿逆时针方向旋转后，得到，点A、、B的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点的横坐标． 15．如图1，抛物线的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，动点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，以为边作矩形（点E在x轴上），设运动的时间为t秒． (1)求抛物线的表达式； (2)过点D作轴于点N，交抛物线于点M，当时，求点M的坐标； (3)如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向运动，以为边作等腰直角三角形，与交于点G．给出如下定义：在四边形中，，且，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形和等腰直角三角形重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积． 16．如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为． (1)直接写出，，，四点的坐标． (2)顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标． (3)将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标． 17．已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 18．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 19．如图①，在 中， 于点，点E是 上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在 上，点G，H在 上，设，连接 ． (1)求 的长； (2)设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） (3)如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为y轴上一点，当周长最小时，求点Q的坐标及周长的最小值； (3)若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； 21．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线：与x，y轴分别相交于点D，E． ①设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．若的面积为4．求点Q的坐标． 22．《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数． (1)求函数的“镜花缘对”函数； (2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围； (3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积． 23．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线上第三象限内一动点，连接．面积记为，面积记为，求的最大值； (3)如图，将直线沿轴翻折交轴于点，过点的直线交轴、抛物线分别于点．若，求点的坐标． 24．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，抛物线与轴交于（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点． (1)关于的不等式组有解，求的最大值； (2)直线与直线交于点分别为的中点，若长为8，求的面积； (3)当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 26．（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为．当为何值时，是以为直角边的直角三角形； (3)如图2，过定点的任意直线与抛物线相交于点、（点、不与点重合），连接交轴于点，连接交轴于点，是否存在的值使得为定值．若存在，试求出直线所过定点坐标，若不存在，请说明理由． 28．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 29．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 30．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 31．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知关于的二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于，两点（在左侧），顶点为点，直线． (1)若点，求的值． (2)对于二次函数，无论为何值，和时的函数值都相等，点为轴下方一定点，且点到直线的距离的最大值为，函数的图象是否经过定点？若是，请求出定点的坐标；否则，请说明理由． (3)过点作轴交直线于点，交轴于点，若四边形为菱形，且三条长度分别与，，相等的线段能组成一个含有的三角形，且，求的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的代数几何综合问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数线段、周长问题 题型2 二次函数面积问题 题型3 二次函数角度问题 题型4 二次函数与特殊三角形的存在性问题 题型5 二次函数与特殊平行四边形存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数线段、周长问题 1．如图，已知抛物线与x轴的两个交点分别为，，与y轴交于点C，直线过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值； (3)当时，y的取值范围是，且，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作于点D，交BC于点H， 将代入得，，解得， ∴直线BC的解析式为． ∵点P的横坐标为m， ，， ． ∴当时，PH有最大值为． ，，． ，，． ，， ，， ∵抛物线与y轴交于点C， 当时，，，， ，， ， ，即， ∴当PH有最大值时，PQ取到最大值， 的最大值为． （3）解：由得， ∴抛物线的顶点为，即当时，y有最大值4， ∵抛物线的对称轴为，∴当或时，y值相等， 即， ①当时，则在时，时，取最大值；时，取最小值， 即，， ， ， 解得（舍去），； ②当时，则在时， 时，取最大值，时，取最小值， 即，， ，不符合题意； ③当时，则在时，时，取最大值，时，取最小值， 即，， ， ，解得， ， 都不符合，舍去． 综上所述，． 2．如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），对称轴为，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)过点作交轴于点，交于点．在第一象限内，抛物线上有一点，使得，求点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为M，交于点．试探究在点运动的过程中，是否存在最大值，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与角度的问题，二次函数与线段的问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，综合性比较强，解题的关键是表示出线段长度与点的横坐标为的函数关系． （1）根据二次函数的对称性求得点的坐标为，根据待定系数法求解即可； （2）由题意得，点关于轴对称的点，求得直线与抛物线的交点，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点作于点，由题意可得为等腰直角三角形，，由题意可得，得到，从而得到，，根据点的横坐标为可得，，从而得到，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：点在点左侧，且对称轴为， 点的坐标为． 又抛物线过点， 将点，，代入， 得，解得 此抛物线的表达式为． （2）解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为， 设直线的表达式为． 把点，代入， 得解得 直线的表达式为． 当时，解得，（不合题意，舍去）． 当时，，即点的坐标为． ， ． ， ， 点即为所求点，其坐标为． （3）解：存在． 如图，过点作于点，则轴， 点，， 直线的表达式为． ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ． 轴， ，，， ， ，即， ， ， ． 轴，点的横坐标为，， ，， ， ． ， 有最大值， 当时，有最大值． ◆题型2 二次函数面积问题 4．已知二次函数过点．如图是该函数的图像． (1)求二次函数的解析式． (2)线段所在直线的函数解析式是．是该抛物线上在下方的动点，为其上下方动点，为其上下方动点．在的面积和的面积均取得最大值时，记．则的值会随点运动而改变吗？若是，求出该定值；若不是，则求出的取值范围． 【答案】(1) (2)是； 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式； （2）设，联立，得到，根据根与系数的关系，结合完全平方公式得到，设直线的解析式为，待定系数法求出，对于定线段，面积最大时，到直线的距离最大，此时过点且平行于的直线与抛物线有且只有一个交点，设过点且平行于的直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，根据求出的横坐标，同理求出的横坐标，即可得出结果. 【详解】（1）解：将代入，得． ∴二次函数解析式为．   （2）解：是定值； 设， 联立，整理，得． ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， 对于定线段，面积最大时，到直线的距离最大， 此时过点且平行于的直线与抛物线有且只有一个交点， 设过点且平行于的直线的解析式为， 令，整理，得， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当的面积最大时，； ． 5．如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点； (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），请证明：若，则； (3)如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据顶点式直接得到顶点，把代入求出b的值即可； （2）先求出，，，，从而求得，，则，再根据，则，所以，由，可得，从而得出结论； （3）先求出直线解析式为，当时，则，则，再求出直线的解析式为，联立，解得：，得到，过点作交x轴于点，得到，得到，，，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴其顶点， 把代入得， ∴ ∴抛物线的函数表达式为． （2）证明：∵点与点，且，轴，轴， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即． （3）解：设直线解析式为， 把代入，得， ∴直线解析式为， ∵， 当时，则， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 如图，过点作交x轴于点 ∵直线解析式为， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得：． 经检验，是方程的解，也符合题意． ∴的值为． 6．如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）①设 ，则，可得，，，得到直线的表达式为，即得，得到，同理得到直线的表达式为，进而求得，即得到，即可求证； ②设的表达式为，可得直线的表达式为，得到，同理可得，即得 ，，进而得到 ，，即得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①设，则，， ∴，，， 设直线的表达式为，把点和代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， 同理可得直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∴， ②设的表达式为，把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 由于直线的表达式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的值最大，． ◆题型3 二次函数角度问题 7．如图，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与均不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)若与互余，求点坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）分两种情况：①当点D在下方时，②当点D在上方时，分别 求出点D坐标即可． 【详解】（1）解：因为抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 当时，，解得： 当时， 所以，，， 因为， 所以即， 所以抛物线的解析式为． （2）解：①当点D在下方时，过点C作x轴的平行线，分别过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是抛物线上的一个动点， 设 ， ∴ 解得， 则， ∴ ②当点D在上方时，连接交x轴于H， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程，解得， 所以 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数图象交点问题等，综合性强，难度适中． 8．如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点，是抛物线上的两个点，．若，求的值； (3)如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，，在第二象限内的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)存在， 【分析】（1）结合抛物线经过点，且对称轴为直线，列式求解，即可解题； （2）将点代入抛物线的表达式，并结合表示出，，再根据建立等式求解，即可解题； （3）在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，导角得到，进而求出，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，联立抛物线的表达式求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，即， 对称轴为直线， ，即， 抛物线的表达式为； （2）解：点是抛物线上的两个点， ， ， ， ， ， ，解得或， 的值为或； （3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使． 直线与轴分别相交于点， 时，， ， 设直线的表达式为， 且经过两点， 则，解得， 直线表达式为． ， ． ， ， 即， ， ，即， 解得， 设直线的表达式为， 且经过两点， 则， 解得， 直线的表达式为， 与抛物线 联立方程得 解得，或， 点在第二象限， 点的坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：把点代入，得， ， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点； (2) (3)存在，点或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答； （2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求解，再两种情况讨论即可； （3）过点作于点，作交于点，可得，求得点，再将沿翻折得到，延长交与点，求出另一个点即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得或， 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意； ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在， 令， 解得， ， ， ∴直线l为直线， 作点关于直线l的对称点B， ， 如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点， 根据翻折可得， 过点作于点，延长交于点， 根据翻折可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，，， 可得， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点或时，． ◆题型4 二次函数与特殊三角形的存在性问题 10．我们约定：在平面直角坐标系中，对于两条抛物线和，若这两条抛物线有公共顶点，则称这两条抛物线互为“同源”抛物线． (1)下列选项中，与抛物线互为“同源”抛物线的是___________； ①；②；③ (2)若点不在抛物线上，也不在其任意一条“同源”抛物线上，求出所有符合题意的点坐标； (3)已知抛物线及其“同源”抛物线．若抛物线，与直线各有两个公共点，从左到右依次记为点，，，，且以，，为边的三角形是等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1)①② (2)符合题意的点坐标为，， (3) 【分析】（1）根据题中所给的新定义进行验证即可； （2）根据题意易得抛物线的顶点坐标为，然后可得要使点既不在此抛物线上，也不在此抛物线的“同源”抛物线上，则需满足：且或且，进而求解即可； （3）由题意可设点，是抛物线与直线的交点，则点，是抛物线与直线的交点，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，，则根据等腰直角三角形的性质及抛物线的对称性可知，进而可得，最后化简即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：顶点坐标为，根据“同源”抛物线的定义逐一验证： ①由可知：顶点坐标为，是抛物线的“同源”抛物线； ②由可知：顶点坐标为，是抛物线的“同源”抛物线； ③由可知：顶点坐标为，不是抛物线的“同源”抛物线； （2）解：由抛物线可知：顶点坐标为，则与此抛物线的“同源”抛物线的顶点坐标也为， ∴要使点既不在此抛物线上，也不在此抛物线的“同源”抛物线上，则需满足：且或且， 解得：或， 当时，点；当时，点；当时，点； 综上所述：符合题意的点坐标为，，； （3）解：由题意可知：抛物线M，N顶点坐标相同，对称轴相同，且， ∴，即抛物线N比抛物线M的开口窄， 设点，是抛物线与直线的交点，则点，是抛物线与直线的交点， ∴联立抛物线与直线，消去y得：， ∴，且是该方程的两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 同理可得：， ∴， ， ∵抛物线，是“同源”抛物线，且抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵以，，为边的三角形是等腰直角三角形，且抛物线，是“同源”抛物线，即抛物线，的对称轴都为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， ∵， ∴． 11．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 12．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或． ◆题型5 二次函数与特殊平行四边形存在性问题 13．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，或 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． （2）解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． （3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、y轴分别交于点A和点，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式； (2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为．轴交直线于点E，点F在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值； (3)M是平面内一点，将绕点M沿逆时针方向旋转后，得到，点A、、B的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点的横坐标． 【答案】(1)， (2)，且， (3)或 【分析】（1）把点的坐标代入直线解析式求出的值，再把点的坐标代入直线求解即可得到的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）令求出点的坐标，从而得到、的长度，利用勾股定理列式求出的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得，再解直角三角形用表示出、，根据矩形的周长公式表示出，利用直线和抛物线的解析式表示的长，整理即可得到与的关系式，再利用二次函数的最值问题解答； （3）根据将绕点M沿逆时针方向旋转后，与x轴平行，与y轴平行，然后分①当、在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；当、在抛物线上时，表示出、坐标，再根据两点的纵坐标相差的长度列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点，∴． ∴直线的解析式为． ∵直线：经过点，∴， 解得． ∵抛物线经过点和点， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）∵直线：与x轴交于点A，∴点A的坐标为（2，0）．∴． 在中，，∴， ∵轴，∴． ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∵，，且， ∴． ∴． ∵，且， ∴当时，有最大值； （3）∵将绕点沿逆时针方向旋转后， ∴与x轴平行，与y轴平行． ①如图1，当、在抛物线上时，根据条件可设，， 则， 解得； ②当、在抛物线上时，如图2，根据条件可设，， 则，解得． 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出与x轴平行，与y轴平行．注意要分情况讨论． 15．如图1，抛物线的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，动点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，以为边作矩形（点E在x轴上），设运动的时间为t秒． (1)求抛物线的表达式； (2)过点D作轴于点N，交抛物线于点M，当时，求点M的坐标； (3)如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向运动，以为边作等腰直角三角形，与交于点G．给出如下定义：在四边形中，，且，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形和等腰直角三角形重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法将A、B两点坐标代入抛物线求解即可． （2）当时求得长度，并且利用三角函数关系求得M点横坐标，代入抛物线解析式即可求解． （3）依题意画图，确定长度，进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过，两点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， 当时，． ∵， ∴． ∴． ∴当，． ∴． （3）解：如图，连接， 由题意得：，， 而， ∴ ， ∵矩形， ∴． 当时， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴矩形和等腰三角形重叠的四边形是“筝形”， ． 16．如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为． (1)直接写出，，，四点的坐标． (2)顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标． (3)将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)2或或 (3)或 【分析】（1）分别令和即可求出，，，然后配方成顶点式即可求出； （2）首先求出直线解析式为，根据题意得到点到直线的距离等于点到直线的距离，然后分两种情况讨论求解即可； （3）首先求出新抛物线的解析式，设，，然后根据平行四边形的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵A在B的左侧， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴顶点； （2）解：设直线的表达式为， 代入，得，， 解得，， ∴直线解析式为， ∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， 当点P在直线上方时，此时点在过点且平行于的直线上，直线与y轴交于点F，如图， 设直线为， 将，代入得， 解得， ∴直线为， 联立直线与抛物线得，， 解得，， 当时，对应的是点，题目要求不与重合，舍去； ∴此时点的横坐标为； 当点P在直线下方时，设此时点在直线上，直线与y轴交于点E， ∴与关于直线对称， ∴， ∵直线表达式为， ∴当时，，即， ∵， ∴， ∴， ∴可得直线的解析式为， 联立直线与抛物线得，， 解得，， 综上所述，点的横坐标为2或或； （3）解：由（1）可知，， ∵抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设，， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， ∵平行四边形对角线中点重合，即中点与中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线时， 同理可得，， 解得，， ∴； 当为对角线时， 同理可得，， 解得，， ∴， 综上所述，点的坐标或． 17．已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；理由： 令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）略 （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 综合攻坚·知能拔高 18．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 19．如图①，在 中， 于点，点E是 上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在 上，点G，H在 上，设，连接 ． (1)求 的长； (2)设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） (3)如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最小值为 ，理由如下： 过作于点，于点， 则，， ， 设， ，即， ，解得， ∴ ， 所以，当时，面积取得最小值，最小值为 【分析】（1）利用勾股定理计算边长即可； （2）先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出，，代入化简即可； （3）设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，列出面积的表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴， （2）解：由（1）知，则为等腰直角三角形， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为y轴上一点，当周长最小时，求点Q的坐标及周长的最小值； (3)若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； 【答案】(1)； (2)当点Q坐标为，此时周长的最小，最小值为； (3)点C的坐标为或； 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点代入即可求解； （2）作点P关于y轴的对称点，连接，交y轴于点Q，点Q即为所求点，周长，当点A，，Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，得到点Q的坐标，求出，，得到周长的最小值； （3）求得或，分两种情况讨论，①当点B的坐标为时，过点B作交抛物线于点C，利用待定系数法求得直线的解析式为，解方程组即可求解；②点B的坐标为时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得，同①可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点O，即经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，作点P关于y轴的对称点，连接，交y轴于点Q，点Q即为所求点， ∵， ∴的周长， ∴当点A，，Q三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， 此时周长的最小值为； （3）解：在中，令， 得：， 解得或， ∴或， ①当点B的坐标为时，过点B作交抛物线于点C， 此时，如图： 在中，令， 得：， 解得：或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 由， 得：(此点为点O，舍去)或， ∴点C的坐标为； ②点B的坐标为时，过点P作轴于点Q，过点B作轴于点H，作H关于的对称点M，作直线交抛物线于C，连接，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∵H关于的对称点为M， ∴， ∴，即C为满足条件的点， 设， ∵H关于的对称点为M， ∴，， ∴ 两式相减得：，代入即可解得： (此点为点H，舍去)或， ∴， 同理求得的解析式为：， 解得：(此点为点B，舍去)或， ∴点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或； 21．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线：与x，y轴分别相交于点D，E． ①设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．若的面积为4．求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①存在，；②或 【分析】（1）先解得到A、B两点坐标，再将A、B坐标代入抛物线，利用待定系数法求出函数表达式． （2）①先求出点、，，进而得出则有设，据此列出关系式，求解出t的值即可． ②先求出直线的表达式，设，根据直线与平行，表示出直线的解析式，联立抛物线方程得到M、N两点坐标的关系；再分别求出直线、的表达式，联立得到点Q的坐标表达式；最后利用三角形面积公式，结合的面积为4，求出点Q的坐标． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， 由题意得，， 将、代入抛物线 ，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为： ； （2）①存在，理由如下： 如图， 直线与x、y轴分别交于点D、E， ∴当时，， 当时，，， ∴点、， ∴ ∴ 由抛物线可知：当时，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵是的外角， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∴ 整理得， 解得（舍去）或， ∴， ∴； ②∵，， ∴直线的解析式为， 设， ∵直线与平行， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得． ∴直线的解析式为， 与抛物线联立得， ∴，即， 解得， 把代入直线的解析式，得， ∴点． ∵点，， ∴直线的解析式为， ∵点，， ∴直线的解析式为， ， 解得 ， ∴ ∴． ∴的顶点为，，， ∴， 解得或． 当时，； 当时，． 因此点的坐标为或． 【点睛】寻找满足角相等的点P时，要注意点P在第三象限的限制条件，避免多解；计算三角形面积时，要正确选择底和高，或利用割补法计算面积，方便求解． 22．《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数． (1)求函数的“镜花缘对”函数； (2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围； (3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先确定函数与、轴的交点坐标，再确定两交点坐标关于直线对称的点坐标，利用待定系数法即可求得“镜花缘对”函数的解析式； （2）先根据“镜花缘对”函数的定义确定的解析式，进而确定点的坐标，联立和的解析式，表示出、两点的坐标，根据，可知点是的中点，根据中点坐标公式列式计算可确定、两点的坐标，再结合函数图象，即可确定当时，的取值范围； （3）先根据“镜花缘对”函数的定义表示出点、的坐标，从而可表示出，，根据菱形的性质可知，，根据列方程即可求得点、的坐标，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， 当时，即，解得， 函数经过点，， 点关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， 设函数的“镜花缘对”函数为， 将点，代入得， ，解得， 函数的“镜花缘对”函数为； （2）解：对于函数， 当时，， 当时，即，解得， 函数经过点，， 点关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， 设函数的“镜花缘对”函数为， 将点，代入得， ，解得， 函数的“镜花缘对”函数为； 两个函数图象关于直线对称，当时，， ， 联立， 即， 整理得， ， 解得， ，， ， 点是的中点， ，解得， ，，， 观察图象可知，当时，的取值范围为或； （3）解：二次函数的顶点为，则与它的“镜花缘对”函数的顶点为， ，且轴， 两个函数图象关于直线对称，当时，， ， ， 要使以，，，为顶点的四边形是菱形，则有， ， 即， 整理得，， 即， 解得或， 当时，、重合，故舍去， ， 当时，，， ，， 此菱形的面积为：； 当时，，， ，， 此菱形的面积为：； 综上，此菱形的面积． 23．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线上第三象限内一动点，连接．面积记为，面积记为，求的最大值； (3)如图，将直线沿轴翻折交轴于点，过点的直线交轴、抛物线分别于点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的表达式为，设点，同理可得直线的表达式为，过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，即得 ，，得到 ，，即得到 ，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）由对称可得，再分点在点的上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵当时， ， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点， 同理可得直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，， ∴ ，， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵点与点关于轴对称， ∴， 当点在点的上方时，如图， ∵在中，， 在中，， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴直线轴，此时与轴无交点，该种情况不符合题意； 当点在点的下方时，如图， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∴由，解得或， ∴． 24．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，抛物线与轴交于（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点． (1)关于的不等式组有解，求的最大值； (2)直线与直线交于点分别为的中点，若长为8，求的面积； (3)当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）设，根据的取值范围化简函数，求出函数的最大值为，由此确定的最大值， （2）过点P作轴，过点E作轴，、交于点．证明是等腰直角三角形，由此求出，点坐标，则，代入解析式即可求出点坐标为，点坐标为，进而求出点、坐标，根据直线与直线交于点求出其坐标，进而利用割补法求出三角形． （3）先求出点的坐标，得出是等腰直角三角形，然后分两种情况讨论：把绕顶点F逆时针旋转，得到，经过分析发现以，，为顶点的四边形为菱形， 不可能为边，只能以为邻边构成菱形，然后利用菱形的性质即可求解；把绕顶点F顺时针旋转，得到，以O，，K为顶点的四边形为菱形，只能为对角线，从而求出K的坐标即可． 【详解】（1）解：设， 当时，，，即点，， ∴当或时，，当时，， ①当时，， 当时，，时，， ②当时，，当时，取最大值，， ∵关于的不等式组有解， 即， 的最大值为． （2）∵时，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 过点P作轴，过点E作轴，、交于点 ∴， ∴， 又∵， ∴， 设点坐标，则，代入解析式得： ， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为 将，，代入解析式中得 解得 ∴直线解析式为， 同法可求：， 联立直线、得： ，解得： ∴点， 过点G作轴，垂足为，连接， ∵点分别为的中点， ∴点，，即：点，， ∴． （3）∵轴，，当时，，， ∴点坐标为， 由（2）可知：，是等腰直角三角形， ∴，即，， ∴直线解析式为， 又∵， ∴， 如图2-1，把绕顶点逆时针旋转，得到， ∴， 再把沿直线平移至，连接 ，显然 ∴以O，，K为顶点的四边形为菱形， 不可能为边，只能以为邻边构成菱形 ∴ ， ∵， ∴点向右个单位，向下个单位，可得 ， 如图2-2，把绕顶点顺时针旋转，得到，， ∴， 把沿直线平移至，连接 ，， 显然，，，易求，， ，， ∴以O，，K为顶点的四边形为菱形，只能为对角线， ∴点向右个单位，向下个单位，得． 综上所述，点K的坐标为：，． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，综合性强，难度大，涉及的知识面广，有二次函数的图象及性质，二次函数最值，线段和的最小值问题，待定系数法求函数的解析式，平移，旋转等几何变换，等腰直角三角形的性质，菱形的性质等，要求学生能够熟练掌握这些数学知识能灵活应用． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 26．（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为．当为何值时，是以为直角边的直角三角形； (3)如图2，过定点的任意直线与抛物线相交于点、（点、不与点重合），连接交轴于点，连接交轴于点，是否存在的值使得为定值．若存在，试求出直线所过定点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，过定点 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由题意易得，然后根据两点间距离公式可得，，进而可分以点A为直角顶点，即以为斜边，以点C为直角顶点，即以为斜边，最后分类进行求解即可； （3）过点M作轴于点H，过点N作轴于点G，设点，由题意及韦达定理可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线，得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意可知：， ∴，， 当是以为直角边的直角三角形，则有： ①以点A为直角顶点，即以为斜边，则由勾股定理可得： ，化简得， 解得：（不符合题意，舍去）， ②以点C为直角顶点，即以为斜边，则由勾股定理可得： ，化简得， 解得（舍去）； ∴综上所述：当或时，是以为直角边的直角三角形； （3）解：存在m的值使得为定值， 设点，由题意得： ，即， 故由根与系数的关系得：①， 如图，过点M作轴于点H，过点N作轴于点G， ∴， ∵， ∴， ，，即，， 即，， 解得：， ②， 把①代入②可得，， 要使为定值． 则，即， 由， 当代入上式得：， ∴直线 ∴当时，则有， ∴直线过定点． 28．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 29．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 30．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 31．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知关于的二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于，两点（在左侧），顶点为点，直线． (1)若点，求的值． (2)对于二次函数，无论为何值，和时的函数值都相等，点为轴下方一定点，且点到直线的距离的最大值为，函数的图象是否经过定点？若是，请求出定点的坐标；否则，请说明理由． (3)过点作轴交直线于点，交轴于点，若四边形为菱形，且三条长度分别与，，相等的线段能组成一个含有的三角形，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)图象过定点和 (3) 【分析】（1）根据顶点公式求解即可； （2）根据题意可得，函数的对称轴为直线，从而得到，进一步计算出直线过定点．根据垂线段最短可知，点到直线的距离的最大值即为点到点的距离，从而求出，代入二次函数的解析式即可得出定点坐标； （3）作一个的等腰三角形，容易得出．由菱形的性质可得，结合顶点公式和直线解析式可得，化简得．根据求出点，代入解析式可得，进一步可得，则．由可计算出，结合二次函数的增减性可知，当时，取得最大值． 【详解】（1）解：∵点是二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意可知，二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴， 当时，为定值， ∴直线过定点， 设点为点，点到直线的距离为， 由勾股定理可得，， 根据垂线段最短可知，， ∴的最大值为，即， ∴， 解得， ∵点在轴下方，即 ∴，即 ∴， 当或，为定值， ∴二次函数的图象过定点和； （3）解：∵四边形是菱形， 又∵与交于点， ∴，， 如图，以、为边构造，且，作于点， 由题意可知，， ∵，， ∴，， 在直角中，， ∴， ∴， 如图， ∴顶点的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点在直线， ∴点的坐标为， ∵函数图象与轴有两个交点， ∴判别式， ∴点在轴下方，点在轴上方， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∵， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 化简，得， ∵， ∴， 化简，得， 将代入，得， ， 化简，得， ∵， ∴，即 ∵， ∴，解得， ， ∵， 又∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值为． 【点睛】本题二次函数与四边形的综合题，考查二次函数与坐标轴的交点问题，顶点公式与二次函数的增减性，运用数形结合思想是解题关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $