23.2.1解直角三角形教学设计2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形核心知识，通过观察三角板回顾边角关系，引出直角三角形五个元素（三边、两锐角）的关系问题，搭建从勾股定理、锐角三角函数等旧知到新知的学习支架。 资料以探究活动归纳元素关系，结合例题分层教学（基础计算到拓展分类讨论），培养学生推理意识与创新意识，如例4通过分类画图解决动态问题。助力学生掌握解题策略，为教师提供清晰教学流程与分层练习资源。

第1课时　解直角三角形 课题 第1课时　解直角三角形 授课人 教 学 目 标 1.使学生理解直角三角形中除直角外其他五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 3.通过实际问题情境,让学生感受到在生活、学习中解直角三角形知识的实际意义. 4.通过学习解直角三角形,归纳出解直角三角形的两种类型. 5.发展学生的数学应用意识,提高归纳能力,感受解直角三角形的策略. 教学 重点 　　解直角三角形的有关知识. 教学 难点 　　选择恰当的边角关系解直角三角形. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 师:直角三角形随处可见,请同学们观察老师手中的这副三角板(如图23-2-6),谁来说说它们的每个内角分别是多少度?它们的各边之间有什么关系? 图23-2-6 一起来观察,如图23-2-7,在Rt△ABC中,一共有几个元素?请分别写出来. 图23-2-7 (1)△ABC的三条边分别是　AB,BC,CA　;  (2)△ABC的三个角分别是　∠A,∠B,∠C　.  师:因此,一个直角三角形中共有6个元素,那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢? 接下来我们就一起来研究与直角三角形有关的问题. 　　通过学生回答一副三角板的边角关系,比较自然地过渡,从而较好地引出本节课的研究内容,并巩固学生对直角三角形的边角关系的记忆. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】解直角三角形 【观察思考】 如图23-2-8,Rt△ABC共有六个元素(三条边,三个角),其中∠C=90°,那么其余五个元素(三边a,b,c,两锐角A,B)之间有怎样的关系呢? 图23-2-8 (1)三边之间的关系:a2+b2=　　　　　;  (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=　　　　　　　　;  (3)边角之间的关系: sinA=　　　　,cosA=　　　　,tanA=　　　　　.  (对于锐角B,也有类似的边角关系吗?) 师生活动:引导学生回顾直角三角形的三边关系、锐角之间的关系、边与角之间的关系,然后再进行小组内交流. 有了以上关系,如果知道了五个元素中的两个元素(至少有一个元素是边),就可以求出其余的三个元素. 【概括新知】在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形. 说明:一般地,在△ABC中,我们把∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c. 　　通过回顾旧知,达到学以致用的目的,再通过一道例题,真正把学到的知识用到实处,通过解题,归纳出解直角三角形的定义. 【应用举例】 例1　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',c=287.4.解这个直角三角形(边长精确到0.1). 处理方式:出示问题,小组研讨后,找学生书写板书过程,教师进行针对性地讲评,学生个别加以纠正. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°, 由cosB=,得a=ccosB≈287.4×0.7419≈213.2. 由sinB=,得b=csinB≈287.4×0.6704≈192.7. ∠A=90°-42°6'=47°54'. 所以在Rt△ABC中,a的长约为213.2,b的长约为192.7,∠A为47°54'. 归纳总结:已知一边和一锐角解直角三角形的步骤 已知直角三角形的一边和一锐角,解直角三角形时,若已知一直角边(对边)a和一锐角A: ①∠B=90°-∠A;②c=;③b=. 若已知斜边c和一个锐角A: ①∠B=90°-∠A;②a=c·sinA;③b=c·cosA. 说明:已知一条直角边和一个锐角解直角三角形时,为防止误差变大,要尽量选可以直接应用原始数据的关系式.可简记: 有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除,取原避中. 小试牛刀:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=30,∠B=80°.解这个直角三角形(长度精确到0.1). [答案:∠A=10°,c≈172.8,b≈170.1] 例2　在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,b=,解这个直角三角形. 处理方式:出示问题,小组研讨后,找学生书写板书过程,教师进行针对性地讲评,学生个别加以纠正. 解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=, ∴c===2. 在Rt△ABC中,sinB===, ∴∠B=30°,∴∠A=60°. 归纳总结:已知两边解直角三角形的步骤 已知两直角边: 1.应用勾股定理求斜边; 2.应用角的正切值求出一锐角; 3.利用直角三角形的两锐角互余,求出另一锐角. 已知斜边和直角边: 1.利用勾股定理求出另一直角边; 2.应用正弦值或余弦值,求出一锐角; 3.利用直角三角形的两锐角互余,求出另一锐角. 图23-2-9 小试牛刀: 如图23-2-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形. [答案:∠A=60°,∠B=30°,AB=2] 总结:解直角三角形有下面两种情况(其中至少有一边): (1)已知两条边(一直角边和斜边或两直角边); (2)已知一条边和一个锐角(一直角边一锐角或斜边和一锐角). 例3　在△ABC中,∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm.求△ABC的面积(精确到0.1 cm2). 处理方式:先让学生根据题意绘制图形,寻找缺失条件,引导学生作辅助线构造直角三角形,再解决问题. 解:如图23-2-10,作AB上的高CD.记△ABC的面积为S△ABC. 图23-2-10 在Rt△ACD中, ∵CD=AC·sinA=bsinA, ∴S△ABC=AB·CD=bcsinA. 当∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm时, 有S△ABC=bcsinA =×20×30sin55° ≈×20×30×0.8191 ≈245.7(cm2). 总结:当给出的三角形是非直角三角形时,涉及求边或角的问题,常常作高线构造出直角三角形,将所求边或角转化到直角三角形中去解决. 充分调动学生的学习积极性,参与讨论,从而归纳总结出结论,并通过例题进一步培养学生运用知识灵活解题的能力. 通过例题训练学生解直角三角形的思路和方法,提高学生分析和解决问题的能力. 探究解直角三角形的条件是这节课的重点,让学生归纳和讨论,能让他们深刻理解解直角三角形的几种情况,掌握必须满足什么条件才能解出直角三角形,给学生展示的平台,增强学生的自信心. 【拓展提升】 例4　在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为2,4或6. [解析] (1)如图23-2-11①,∠ABC=60°,∠ABP=30°. ∴∠ACB=30°. ∵BC=6,∴AB=3,∴AC=3. 在Rt△BAP中,tan30°=, ∴AP=AB·tan30°=3×=, ∴CP=3-=2. (2)如图②,∠ABC=60°,由图①知AB=3,AC=3, 又∠ABP=30°,∴AP=, ∴CP=3+=4. (3)如图③,∠C=60°,∴∠ABC=∠ABP=30°. 又∵∠BAC=90°, ∴∠C=∠P,∴BC=BP. ∵∠C=60°,∴△CBP是等边三角形,∴CP=BC=6. 图23-2-11 　　例4是需要自己画图后解直角三角形的问题,画图时需要分类讨论,注意解答时不要漏解. 知识的综合与拓展提高应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.根据下列条件,解直角三角形: (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=30,∠B=80°; (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,b=3; (3)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,∠A=40°. [答案:(1)∠A=10°,b≈170.1,c≈172.8 (2)∠A≈68.0°,∠B≈22.0°,a≈7.4 (3)a≈6.4,b≈7.7,∠B=50°]2.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件,解直角三角形: (1)∠A=30°,c=8;　(2)a=35,c=35; (3)a=14,∠A=36°;　(4)a=30,b=15. [答案:(1)∠B=60°,a=4,b=4 (2)∠A=45°,∠B=45°,b=35 (3)∠B=54°,c≈23.8,b≈19.3 (4)c=15,∠B≈26.6°,∠A≈63.4°] 3.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=8,AD=6,∠D=43°.求四边形的面积(精确到0.01). [答案:24.55] 4.如图23-2-12,在Rt△ABC中,CA=CB,AB=9,点D在BC边上,连接AD,若tan∠CAD=,则BD的长为　6　.  图23-2-12 　 5.如图23-2-13,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,若CD=1,则AB的长为 +1　.  图23-2-13 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【课堂总结】 1.解直角三角形的概念是什么? 2.解直角三角形的基本类型有哪些?解法步骤呢? 3.解直角三角形选择边角关系策略有哪些? 　　引导学生总结自己的收获,厘清解直角三角形的条件、方法,提升综合运用知识的能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 为了使学生熟练掌握解直角三角形的方法,利用一副三角板创设学习情境回顾各边的关系和各角的关系,从而抛出问题,引起学生思考,从而调动学生的学习热情,积极投身本节课的学习之中. ②[讲授效果反思] 解直角三角形是重点,而选择恰当的边角关系式则是难点,为了突破此难点,本节课选择了几个例题让学生探究、讨论、总结出选择边角关系式的策略:涉“斜”选“弦”,无“斜”选“切”;避“除”就“乘”.由于有这些例题的引导,学生对于解直角三角形的两个类型的掌握应该没有问题,建议把例3安排给成绩中等及以上的学生探究. ③[师生互动反思] 　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　   　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　   ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　  　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $