第二十三章解直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦解直角三角形，通过10道单选、6道填空、8道解答题（总分120分），全面覆盖锐角三角函数定义、解直角三角形及实际应用，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|锐角三角函数定义、格点图形应用|结合网格情境考查三角函数概念，基础巩固| |填空题|6/18|梯子问题、中线计算、翻折变换|设置动态问题（梯子移动）和几何变换，提升空间观念| |解答题|8/72|实际测量（天幕、信号塔、广州塔）、综合计算|以露营、建筑测量等真实情境构建模型，强化应用意识与运算能力|

第二十三章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 2．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 3．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的定义，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．将特殊角的三角函数值计算出来即可得到答案． 【详解】解：是无限不循环小数，不是有理数，故选项A错误； ，是有理数，故选项B正确； 是无限不循环小数，不是有理数，故选项C错误； 是无限不循环小数，不是有理数，故选项D错误； 故选B． 5．如图，点C是线段的中点，，若则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，过点D作，交的延长线于点M，根据正切和勾股定理计算即可． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点M， ∵点C是线段的中点， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选D． 6．如图，D为边上一点，且，，，，于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，根据等腰三角形的判定得出，根据三角函数得出，求出x的值即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角函数的应用，解题的关键是根据三角函数列出方程，准确解方程． 7．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 8．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 9．如图，为方便市民休闲，某公园管理处计划对坡角为，坡长为120米的迎坡登山步道进行改造，在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线的平台．在距离坡角A点30米远的G处是一个信号塔，小明在D点测得信号塔顶部H的俯角为，那么信号塔的高约为多少米？（结果保留一位小数，参考数据：，，，）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形． 过作于，判定，四边形是矩形，得到，由，求出米，得到米，由含30度角的直角三角形的性质得到米，因此（米），得到米，由，求出（米），于是米． 【详解】解：过作于， ， 四边形是矩形， ， 米，是中点， 米， ， ， 米， 米， ， 米， 米， 米， ， ， 米， 米， 故选：C． 10．某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，延长交直线于点F，利用坡度的定义求得，进而求出，利用三角函数求得，进而求得． 【详解】解：延长交直线于点F， ， ， ， ， ， (米)， ， (米)， 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12．在中，，若，则________． 【答案】 【分析】根据三角函数的性质一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值可求． 【详解】解：，， ∴， , 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的性质，解题关键是正确理解三角函数的意义，得出一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值． 13．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米． 【答案】2 【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可． 【详解】解：标字母C、D、E如图 ∵AB= 10米， ∴EB=ABsin=10×=6， ∵CD=10米，， ∴DE=CD， 在Rt△CDE中，CE=， ∴BC=CE-BE=8-6=2， ∴梯子顶端上升了2米． 故答案为2． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键． 14．如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 15．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯A离地面的距离为a米，则该车大灯照亮地面的宽度是_______米．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，解直角三角形分别求得、的长，从而可以求得的长． 【详解】解：作于点D，如图所示， 由题意可得，米，，，， ∴米，米， ∴米． 16．如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共 72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，在中，，，．求长及的值． 【答案】；． 【分析】本题考查了解直角三角形．根据余弦函数的定义求出，再结合勾股定理即可求得的长；根据正弦函数的定义计算即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∵在中，，，， ∴． 19．如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)2 【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到； （2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示： 设， 在中，，则， 即，解得， ， ，解得， ∴， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， ∴， ∴； （2）解：∵为中线，， ∴， ， ∴， 在中，，，则． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键． 20．图1是意大利比萨斜塔，图2是从中抽象出的表示塔顶中心点，表示塔身中心线表示塔基中心垂直线，表示塔顶中心点到塔基中心垂直线的距离． (1)1972年，当地相关部门测得，求的度数； (2)当地从1990年起对斜塔维修纠偏，工程竣工后，测得塔身中心线与垂直中心线的夹角约为，问此时塔顶中心点到塔基中心垂直线的距离与1972年的相比，约减少了多少厘米？（参考数据：，结果精确到小数点后两位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，即可求出答案； （2）根据题意得到1990年，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：1990年， ． 答：此时塔顶中心点到塔基中心垂直线的距离与1972年的相比，约减少了厘米． 21．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 22．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 23．如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，根据勾股定理求初始顶端高度 ，根据勾股定理求下滑后顶端高度 ，最后用即可． 【详解】由题意可知，墙与地面垂直， ∴ 、都是直角三角形， ∵梯子长度不变， ∴ 在 中， ， 梯子底端外移后，， ∴在 中，： ， ∴顶端下滑的距离为： ． 24．在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点到地面的距离．如图②，已知，，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好能照射到石桌中心点处，此时太阳光与桌面的夹角为．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度为为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】凉亭顶点到地面的距离约为． 【分析】连接交于点，在中，解直角三角形求得的长，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 则，， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 答：凉亭顶点到地面的距离约为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十三章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图所示，每个小正方形的边长均为l,若点A,B,C都在格点上，则tan∠BAC= () B 2 5 2V5 1 A.2 B. c.5 D.5 2.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sinA的值是() B 1 5 25 A.2 B.5 C.5 D.5 3.在△ABC中，A、B都是锐角， sinA=3 ,tanB=V5,下列说法正确的是() A.∠A=30° B.∠B=30° C.△ABC是等边三角形 D.△ABC是直角三角形 4.下列实数是有理数的是() A.π B.sin30° C.c0s45° D.tan60° 5.如图，点C是线段AB的中点，∠A=30°，∠DCB=45°，若AB=10,则BD的长是 () 试卷第1页，共3页 A.2vò B 3V5 C.45 D.5V2 6.如图，D为△ABC边AB上一点，且BD=2,AD=1,∠A=45°，∠CDB=60°， CE⊥AB于点E,则线段BE的长为() D E B 1+5 3-V5 A.6 B.2 C.2 D.3+1 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分线交BC于点D, 交AC于点E,则DE的长为() A. B.3 c.25 D.4V5 8.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图 ②)，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为1.8 米，∠CAD的度数为l50°，则此时“天幕”的宽度CD是() A ----- BI ① ② 试卷第2页，共3页 A.1.8sinl5°米 B.3.6cos75°米 C.3.6sin75°米 D.1.8tanl5°米 9.如图，为方便市民休闲，某公园管理处计划对坡角为60°，坡长为120米的迎坡登山步 道AB进行改造，在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA 的平台DE.在距离坡角A点30米远的G处是一个信号塔，小明在D点测得信号塔顶部H 的俯角为15°，那么信号塔GH的高约为多少米？（结果保留一位小数，参考数据： 5≈1.73sinl5°≈0.26cosl5°≈0.97.tanl5°≈0.27)() B E G A.51.9 B.38.4 C.35.7 D.16.2 10.某班的同学想测量一教学楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长 i=1:v3 ,在离C点30米的D处，测得教学楼顶端4的仰角为37°，则 370 为8米，它的坡 教学楼AB的高度约为（结果精确到0.1米）（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，V3≈1.73 )() B C A.27.7米 B.23.7米 C.24.2米 D.20.2米 二、填空题（每题3分，共18分） 11.若a=sin48°，b=cos48°，c=tan48°，则a,b,c由小到大的顺序为. 试卷第3页，共3页 12,在a1BC中，∠C=90,者sinB 13,则cosA= 13.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子 顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使 3 梯子与地面所成角为B,且sina=cosB=,则梯子顶端上升了米」 墙面 梯子 B 梯子 4 14如周，在C中，B-5,BC=3,mC-则中线4D的长为 15.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN所夹的 锐角分别是8°和10°.大灯A离地面的距离为a米，则该车大灯照亮地面的宽度BC是 米。不专共他园（套考数：m-若，m-,m0动 1 50, tanl0°= 5 28）. MB 4 16.如图，AMBC中，amC=3,D是边BC上一点，将AACD沿4D翻折得到。ABD使 线段AE、BC相交于点F,若CF=10,EF=4,则AC=一. 试卷第4页，共3页 D 三、解答题（每题9分，共72分） 17.计算： (1)sin30°.cos45°-tan45°+tan30°.tan60° (22+(sin60°-1°-2cos30°-(1-tan60) 1) 18,如图，在R△ABC中，∠C=90,4C=2,cos1= 3,求BC长及sinA的值. ◇ B 19.如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠A和∠B都是锐角且 sin B=5 5, tan4=1 =3,BC=V5 (I)求AB的长： (2)求tan∠CDB的值. 20.图1是意大利比萨斜塔，图2是从中抽象出的Rt△ABC,B表示塔顶中心点，BA表示 （AB=54.5m),AC 塔身中心线 表示塔基中心垂直线， BC表示塔顶中心点到塔基中心垂直 试卷第5页，共3页 线的距离。 CB 图1 图2 (1)1972年，当地相关部门测得BC=5.2m,求∠A的度数： (2)当地从1990年起对斜塔维修纠偏，工程竣工后，测得塔身中心线与垂直中心线的夹角 ∠A约为5.01°，问此时塔顶中心点B到塔基中心垂直线AC的距离与1972年的相比，约减 少了多少厘米？（参考数据： sin5.45≈0.095，cos5.45≈0.995，sin5.01≈0.087，cos5.01≈0.996，结果精确到小数点后两 位) 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. b ()求sin2A+sin2B的值： sin2u+sin2(90°-a）= (2)(填空)当“为锐角时， (3)利用上述规律，求式子sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值， 22.广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔。如图，广 州塔BD附近有一大厦AC高150m,状状在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶 C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高.（结果精确到lm,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 试卷第6页，共3页 D .370 田 145° A B 23.如图，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7米.当梯子底端沿OB向外移动 0.8米时，设梯子的底端由点B移动到点D,顶端由点A下滑到点C,此时梯子顶端沿墙下 滑多少米？ 到 0 24.在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线 与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离.如图②，已知∠BAC=120°，AB=AC, 且B,C两点到地面的距离相等，B,C两点间的距离为4m,当太阳光恰好能照射到石桌 中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°.己知石桌位于凉亭正中心（即A,E,D三 点共线)，高度DE为0.5m,M,N为凉亭柱子与地面的交点(A,B,C,D,E,M,N在 同一竖直平面内)，求凉亭顶点A到地面的距离.（结果精确到0.lm,参考数据： sin53°≈0.80cos53°≈0.60tan53°≈1.33V3≈1.73 试卷第7页，共3页 C B 太阳光 E N地面 777777777777777 图① 图② 试卷第8页，共3页