第23章 解直角三角形 素养练习卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形单元核心，通过10道选择、4道填空及9道解答题，以单摆实验、高铁路基等真实情境和梯度设计（基础计算到综合探究），培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角函数值计算、解直角三角形、坡度|基础巩固，如第1题cos60°计算| |填空题|4/20|特殊角计算、梯形坡度、七巧板应用|文化传承，七巧板拼“企鹅”求边长| |解答题|9/90|船航行测量、塔高计算、单摆实验|创新应用，单摆实验求ED长，贴合真题趋势|

第23章解直角三角形章素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40) 1．计算－2 cos 60°的结果是(　　) A．1 B. C．－1 D．－ 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sin A＝(　　) A. B. C. D. 3．某人由水平地面沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为5 m，则这个坡面的坡度为(　　) A．12 B．1 C．30° D．60° 4．当45°＜∠A＜90°时，下列正确的是(　　) A．tan A＞cos A＞sin A B．cos A＞tan A＞sin A C．sin A＞tan A＞cos A D．tan A＞sin A＞cos A 5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则对△ABC的形状描述最准确的是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D.设∠ACD＝α，则cos α 的值为(　　) A. B. C. D. (第6题)　　(第7题) 7．某公路在BC路段限速60 km/h，管理部门在A处设置了一个速度监测点．假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于(　　) A．300 m B．(100＋100)m C．200 m D．100(＋)m 8．已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB＝(　　) A. B. C. D.2 9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sin A＋cos A的值为(　　) A. B. C. D. 10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为(　　) A．15 B．10 C．5 D．20 (第10题)　　(第12题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20) 11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2cos 30°，则∠A＝______． 12．如图，某市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC的坡角β＝45°且BC＝6 m，AD的坡角α＝30°，则AD的长为________m(结果保留根号)． 13．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具(如图①)，小明用图①中的一副七巧板拼出如图②所示的“企鹅”图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图②中EF的长为________． (第13题)　(第14题) 14．如图，O是坐标原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，已知OA＝2，∠AOB＝60°，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点B. (1)k＝________； (2)过点B作BD⊥OB交反比例函数的图象于点D，且点D位于AB右侧，连接OD，则BD2－OB2＝__________． 三、(本大题共2小题，每小题8，共16) 15．计算：cos245°－sin 30°tan 60°＋sin 60°. 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形． 四、(本大题共2小题，每小题8，共16) 17．如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为边AD上的中线． (1)求AC的长； (2)求tan∠FBD的值． 18．如图，已知船甲从A处向正北方向的岛C航行，同时，船乙在岛C正东方向80 n mile的D处向正东方向航行，此时船甲观察到船乙在北偏东45°方向，1.5 h后船甲在B处观察到船乙在北偏东70°方向的E处，若船甲的航行速度为20 n mile/h，求船乙的速度．(精确到0.1 n mile/h，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75) 五、(本大题共2小题，每小题10，共20) 19．某校数学综合实践社团的同学们为了测量金寨南路桥主塔(如图①)的高OA，在地面上选取点B放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角为45°，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10 m至点C处(点O，C，B在同一水平线上)，测得主塔顶端A的仰角为47.7°，测量示意图如图②所示．已知测倾仪的高度BM＝1.5 m，求金寨南路桥主塔的高OA.(精确到1 m．参考数据： sin 47.7°≈0.74，cos 47.7°≈0.67，tan 47.7°≈1.10) 20．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法： ∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝.∴＝. 根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角三角形ABC中，探究，，之间的关系，并说明理由． 六、(本题共12) 21．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图，观景平台斜坡DE的长是20 m，坡角为37°，斜坡DE的底部D与大楼底端C的距离CD为74 m，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3 m，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.求大楼BC的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92 ) 七、(本题共12) 22．【问题呈现】如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值． 【方法提示】利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE. 　【问题解决】 (1)图①中tan∠BPD的值为__________； (2)如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，则cos∠BPD的值为__________； 　【思维拓展】 (3)如图③，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD. 八、(本题共14) 23．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下： 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计) 如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内) 实验图示 解决问题：根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05) 答案 一、1.C　2.C　3.B　4.D　5.C　6.A　7.B　8.D 9．B　10.C 二、11.60°　12.6　13.　14.(1)4　(2) 三、15.解：原式＝×－ ×＋× ＝－＋＝. 16．解：∵a＝2，b＝6，∠C＝90°， ∴c＝＝＝＝4， tan A＝＝＝， ∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 四、17.解：(1)∵在Rt△ACB中，cos∠ABC＝＝， BC＝8，∴AB＝10. 由勾股定理，得AC＝＝＝6. (2) 如图，连接CF，过点F作BD的垂线，垂足为E. ∵BF为边AD上的中线，∴F为AD 的中点． ∵AC⊥BD，∴CF＝AD＝FD，∴CE＝DE＝CD＝2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝＝＝2，∴CF＝AD＝，∴在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝. 18．解：由题意可得，CD＝80 n mile，∠CAD＝45°， ∠CBE＝70°，∠ACE＝90°. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan 45°＝＝1， ∴AC＝CD＝80 n mile. ∵AB＝20×1.5＝30(n mile)， ∴BC＝AC－AB＝80－30＝50(n mile)． 在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan 70°＝≈2.75， ∴CE≈2.75×BC＝137.5(n mile)， ∴DE＝CE－CD≈137.5－80＝57.5(n mile)， ∴船乙的速度为57.5÷1.5≈38.3(n mile/h)． 答：船乙的速度约为38.3 n mile/h. 五、19.解：如图，过点M作MF⊥OA于点F，易知M，N，F在同一水平线上．由题意易得OF＝BM＝1.5 m，MN＝10 m．设FN＝a m， 在Rt△AMF中，∠AMF＝45°， ∴AF＝MF＝(10＋a) m. 在Rt△AFN中，tan∠ANF＝， ∴AF＝FN·tan∠ANF＝a·tan47.7°≈1.10a m， ∴10＋a≈1.10a，解得a≈100，∴AF≈110 m， ∴OA＝AF＋OF≈110＋1.5＝111.5≈112(m)． 答：金寨南路桥主塔的高OA约为112 m. 20．解：＝＝.理由如下： 如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E.在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝ ，即AD＝csin ∠ABD. 在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝bsinC. ∴csin∠ABD＝bsin C，即＝. 同理可得＝. ∴＝＝. 六、21.解：延长AE交CD的延长线于点M， 过点A作AN⊥BC于点N，则易得四边形AMCN是矩形．∴NC＝AM，AN＝MC. 在Rt△EMD中，∠EDM＝37°， ∴EM＝DE×sin 37°≈20×0.60＝12(m)， DM＝DE×cos 37°≈20×0.80＝16(m)， ∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(m)， CN＝AM＝AE＋EM≈3＋12＝15(m)． 在Rt△ANB中，易知∠BAN＝42.6°， ∴BN＝AN×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(m)， ∴BC＝BN＋CN≈82.8＋15≈98(m)． 答：大楼BC的高度约为98 m. 七、22.解：(1)2　(2) (3)设BC＝1，则AB＝4，BD＝2，AE＝1. 如图，根据题意构造网格，其中每个小正方形的边长均为1，过点A作AN∥PC，连接DN，则∠CPD＝∠NAD.易知N点在格点上，且∠AND＝90°， 由勾股定理可得DN＝＝，AD＝＝2， ∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝＝＝. 八、23.解：∵BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm， ∴OD＝≈＝10(cm)， OB＝≈≈22.78(cm)， ∴OC＝OB≈22.78 cm. ∵∠COA＝37°，CE⊥OA， ∴OE＝OC·cos 37°≈22.78×0.80≈18.22(cm)， ∴DE＝OE－OD≈18.22－10≈8.2(cm)， 即ED的长约为8.2 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $