27.5 二次函数的简单应用（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的简单应用，通过校园花圃围栏设计、气温变化分析、商品定价与利润等生活实例导入，引导学生从实际问题中抽象变量关系，衔接二次函数图像与性质知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于围绕抛物线轨迹、图形面积、销售利润三类问题，结合解题步骤归纳，培养学生抽象能力、模型意识和推理能力。如铅球轨迹问题通过建立坐标系求函数表达式，体现数学思维；融入中考真题提升应用意识。学生能掌握建模方法，教师可直接应用于教学提升效率。

27.5 二次函数的简单应用 第二十七章 二次函数 沪教版九年级上册 学习目标 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； 一 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹 等实际问题。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 二次函数的简单应用 用函数建模解决实际最值问题 以校园花圃围栏设计为例，引导学生将“围最大面积矩形”转化为二次函数求最值问题，掌握顶点式在实际场景的应用逻辑。 依托图像解析生活变化规律 结合气温随时间变化的实例，通过绘制二次函数图像，让学生理解函数增减性、对称轴在分析生活动态变化中的直观作用。 关联方程与函数的实际解法 以商品定价与利润的关系为载体，讲解如何通过二次函数与一元二次方程的关联，求解“利润达标时的定价”这类实际问题。 合作探究 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线.已知铅球刚出手时在离地面高度为1.6 m的位置A; 铅球出手后，飞出水平距离3m 时到达离地面高度3m 的位置 B; 飞出水平距离6 m 时到达离地面高度3.2m的位置，求铅球飞行距离 ? 抛物线轨迹与造型问题 【分析】设过位置A 的铅垂线为y 轴 ，地面直线为x 轴建立如图所示的平面 直角坐标系.则已知A、B、C三点坐标，求落地点D的横坐标，即可解题。 【详解】设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0), 由题意得解之得 ∴这个二次函数的表达式为y=x²+x+. 令y=0,则x²+x+ 解得 x=12 或 x=-2 (不符合实际意义，舍去). 所以，飞出的水平距离OD 为12m. 典例分析 例1 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央竖一根垂直于水面 的水管，水管顶端A处安装一个喷头向外喷水.水流在各个方向上沿抛物线路径落下.在图(2)所示的平面直角坐标系中， 水流APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流，其上的水珠高度 y ( 单位：m) 关于水平距离x ( 单位：m) 的函数表达式为y=-x²+4x+ (1)水流APB上的水珠离水面的最大高度是多少? (2)如果不考虑其他因素，那么圆形水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落到水池外? 【解析】 (1)∵y=-x²+4x+=-(x-2 ∴水珠离地面最大高度是 m. (2)令y=0，-x²+4x+=0，解之得,(舍) ∴水池半径至少为4.5m . 抛物线轨迹与造型问题 归纳总结 【解题步骤】 抛物线轨迹与造型问题 1.建立合理的直角坐标系 （选择好原点，x轴、y轴） 2.求抛物线的表达式 （选择合理的模型：一般式、顶点式、交点式） 3.利用方程解函数 （计算顶点坐标、与x轴交点坐标） 4.解答实际问题 巩固练习 1. 已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 解：(1)由题意可知顶点为（4，4），设y=a(x-4)2+4 ∵抛物线过原点，∴a(x-4)2+4=0,解之得a=- ∴y=-(x-4)2+4 (2)令y=3,-(x-4)2+4=3,解之得x=2或x=6. ∴此时水面宽为（6-2=4)米， ∴水面宽度减少（8-4=4)米． 抛物线轨迹与造型问题 典例分析 例2 如图，有一块等腰直角三角形铁皮ABC, 底边AB 长20 cm. 在其上截一块矩形铁皮EFGD, 边 FG 在AB 上，顶点E、D 分别在CA 、CB 上 . 设 EF 的长为x cm, 矩形 EFGD 的面积为y cm², 试写出y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围，并求当EF 的长为4cm 时所截得矩形的面积. 【详解】(1)由矩形及等腰直角三角形的性质可知，AB=BG=EF=x，所以FG=20-2x 所以，y=x(20-2x) 即y=-2x2+20x (0<x<10) (2)当x=4时，y=48 m2. 图形面积问题 x x x x 20-2x 【分析】(1)由矩形及等腰直角三角形的性质可知AB=BG=EF=x，所以FG=20-2x 利用矩形面积公式即可求解. 巩固练习 2. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长BC为x米． (1)AB=______米（用含x的代数式表示）； (2)矩形鸡舍ABCD的面积的最大值是多少？说明理由． 【详解】(1)AB=___________ (2)由题意得，S=x(45-3x)=-3x2+45. 图形面积问题 x x x (43-3x+2) m (45-3x) (43-3x+2) m ∵S=-3x2+45x=∴函数图像对称轴为x=, ∵0<AB，即0<45-3x∴ ∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧S随x的增大而减小∴当x取最小值时，S取最大值= m2. 归纳总结 【解题步骤】 图形面积问题 1.根据数量关系写出函数表达式 （面积公式，其他数量关系式） 2.求自变量取值范围 （自变量的实际意义） 3.根据函数性质解题 （增减性、最值） 4.解决实际问题 典例分析 例3 某公司自主设计了一款成本为40元的儿童玩具，并投放市场进行 试销售.经过调查发现，该产品每天的销售量n (单位：件)与销售单价x ( 单 位：元)之间满足n=-10x+1200(0<x<120). (1)求出每天销售这款儿童玩具获得的利润y ( 单位：元)关于销售单价 x (单位：元)的函数表达式(利润=销售额一成本); (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大?最大利润是多少? 【详解】(1)y=n(x-40)=(-10x+1200)(x-40) ∴y=-10x²+1600x-48000(0<x<120), 销售利润问题 ∵y=-10(x-80)²+16000,且(0<x<120) 所以当销售单价定为80元时，该公司每天获得的利润最大，最大利润是16000 元. 巩固练习 3. 某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯.经过试销售后 发现，销售单价定为25元时，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少销售10个. (1)求每月销售这款新型节能灯获得的利润 y ( 单位：元)关于销售单价x ( 单位：元)的函数表达式； (2)当销售单价定为多少时，每月销售这款新型节能灯所获得的利润最大？ 【详解】(1)单价x 元时,销售量为：250-10(x-25)个 ∴销售利润y=(x-20)[250-10(x-25)]= 因为单价x>20，销售量250-10(x-25)>0，所以 20<x<50 销售利润问题 单件利润为：(x-20) 元 (2)因为y==-10(x-352250 所以，当x=35时，每月销售利润最大，最大利润是2250元. 归纳总结 【解题步骤】 销售利润问题 1.根据数量关系写出函数表达式 （总利润=销售额-销售成本，或总利润=单件利润销售量） 2.求自变量取值范围 （自变量的实际意义） 3.根据函数性质解题 （增减性、最值） 4.解决实际问题 感受中考 1.（25-26九年级上·上海浦东新·期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 6 感受中考 2.（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20米长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB，BC两边）． (1)若BC 比AB 长6 米，求AB、BC的长； (2)若在墙角处有一棵树P 与墙AD、CD的距离分别是6 米和12 米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 则BC=20-x (2)花园面积S=m(20-m)=-(m-10+100 m 6 时，S最大=96 m2. 小结梳理 二次函数的简单应用 作业 习题27.4 第1~3题 必做题 习题27.4 第4题 选做题 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $