第06讲 二次函数的简单应用 暑假预习讲义-2026--2027学年沪教版五四制九年级数学上册

学科网 第06讲 二次函数的简单应用（知识详解+4典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数应用通用解题六步法 知识点02：三大必考应用模型 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：几何面积最值问题（基础必考） 题型02：销售利润最值问题（高频大题） 题型03：抛物线实物轨迹问题 题型04：图形运动问题（培优难点） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数应用通用解题六步法 二次函数简单应用的核心是实际问题数学建模，所有题型通用固定解题步骤，是考试答题规范核心： 1. 审题分析：区分题目中的常量与变量，梳理几何、经济、运动等场景中的数量关系、约束条件。 2. 合理设元：根据题意设置自变量（长度、单价、时间、调价幅度等）和因变量（面积、利润、高度、距离等），优先简化计算。 3. 建立模型：根据等量关系列出二次函数解析式，必须标注自变量取值范围（结合实际意义：边长为正、销量非负、长度受限等）。 4. 分析函数性质：将一般式配方为顶点式，确定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，明确函数增减性。 5. 求解最值/对应数值：顶点横坐标在自变量取值范围内，直接取顶点纵坐标为最值；顶点横坐标不在取值范围内，根据函数增减性，取区间端点计算最值。 6. 检验作答：舍去负数、超范围等不符合实际意义的解，规范书写答句。 【知识点02】三大必考应用模型 1. 几何面积模型：依托矩形、三角形、靠墙围栏等图形，利用边长关系列面积二次函数，求解最大面积。 2. 销售利润模型：总利润=单件利润×销售量，根据涨价、降价带来的销量变化，建立利润二次函数，求解最大利润。 3. 抛物线轨迹模型：针对拱桥、投篮、喷泉、抛射物体等场景，自建平面直角坐标系，将实际长度转化为坐标，求解解析式、高度、宽度等问题。 【题型01】几何面积最值问题（基础必考） 【典例1-1】学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 【典例1-2】已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 【典例1-3】如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 【变式1-1】已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 【变式1-2】如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：当米时，米，， 平方米， 故答案为：40，400； （2）解：由题意得：， ，， ，， 解得：， S与x之间的函数表达式为； （3）解：， ， 当时，S取得最大值，最大值为450， 即围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15． 【变式1-3】如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 【详解】（1）解： ， ，且，，， ， 函数表达式是； （2）解：为的中点， ， ； （3）解：， 由于不在的取值范围内，而也取不到， 则面积的最小值不存在； 【题型02】销售利润最值问题（期中期末高频大题） 【典例2-1】某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 【典例2-2】某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，， 将，代入得， 解得， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意知，利润， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴每件消毒用品的售价为13元； 【典例2-3】某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 【详解】（1）解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）解：设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件， 依题意得，， 解得，，， ∴每件产品涨价或元，即定价为或元时，每日盈利可达到； （3）解：设每日盈利元，每件产品涨价元， 依题意得，， ∵， ∴当时，盈利最大， ∴每件商品定价为元时，每日盈利可达到最大值元． 【变式2-1】在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 【变式2-2】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 已知日销售量y是售价x的一次函数． (1)直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？若日销售利润低于元且不亏本，请直接写出售价的取值范围． 【详解】（1）解：设此一次函数关系式为， 则，解得， 答：一次函数的关系式为． （2）解：设所获利润为元， 则， 所以当每日的销售利润最大时，产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225 元； 若日销售利润低于125元且不亏本，则， 解得：或， 所以售价的取值范围为或． 【变式2-3】暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 【题型03】抛物线实物轨迹问题（图像应用压轴题型） 【典例3-1】某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 【典例3-2】有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 （2）解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【典例3-3】如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 【变式3-1】广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？ 【详解】解：由题意得，， 又因为， 所以当时，， 答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米． 【变式3-2】某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点A旋转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点P的坐标为． (1)求出抛物线的解析式； (2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.75米，外壁高为1米的目标箱(其中、垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范围都不取端点） ①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围； ②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入可得， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：①设垫高后的抛物线为， 把代入可得， 把代入可得， 所以， ②设水平平移的解析式为， 把代入可得，， 把代入可得，， ∵， ∴m的取值范围是或． 【变式3-3】【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； （3）解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 【题型04】图形运动问题（培优难点） 【典例4-1】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 【典例4-2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 【典例4-3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【变式4-1】如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 【变式4-2】如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 【详解】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 【变式4-3】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， （2）解：由题意得：， 与四边形的面积相等，即 ，即， 此方程无解 不存在与四边形的面积相等的时刻 （3）解：由题意可得： 其中： ． 当时，有最小值为108． （一）本节课核心知识 1. 二次函数简单应用的本质是数学建模，将几何、经济、运动等实际问题，转化为二次函数数学模型求解。 2. 所有应用题统一解题流程：审题→设元→建模（标注自变量范围）→性质分析→求最值/求值→检验作答。 3. 三大核心必考模型：几何面积最值模型、销售利润最值模型、抛物线轨迹模型，对应固定解题思路与等量关系。 （二）核心数学思想 1. 建模思想：实际问题数字化、数学化，通过函数求解，最终回归实际场景验证； 2. 数形结合思想：依托抛物线图像的开口、对称轴、顶点、增减性，快速分析最值与取值规律； 3. 分类讨论思想：根据顶点是否在自变量取值区间，分两种情况求解最值，避免解题漏洞。 （三）易错避错核心要点 1. 建模必先标注自变量取值范围，无实际范围的最值求解无意义； 2. 顶点不在取值区间时，绝对不能直接用顶点最值，必须取区间端点计算； 3. 所有计算结果必须结合实际意义检验，舍去不合理的解。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海·单元复习）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心时，水柱的最高点为，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】A 【详解】解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，则， 解得（舍去）或， ∴水柱落地的位置与喷水池中心的距离为， 故选A． 3．（25-26九年级上·上海·期末）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意可得， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，（不符合题意舍去）， 故选：A； 4．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设运动时间为，则，， 根据题意， ， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 6．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在中，．动点D从点A出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为x秒，正方形与重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积， ∴， ∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线； 当时，与相交于M，与相交于N，如图所示： 此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海·单元复习）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 8．（2025九年级上·上海·专题练习）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 【答案】 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 9．（2026·上海·一模）烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为________米． 【答案】51 【详解】解：二次函数，顶点横坐标为， 代入得：． 故答案为：51． 10．（25-26九年级上·上海·单元复习）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降_______元． 【答案】5 【详解】解；设利润为W元，销售单价降价x元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大， ∴为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元， 故答案为：5． 11．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣x2+8（单位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为___米． 【答案】6 【详解】解：设DE＝3a，EF＝2a， 则点D的坐标为（﹣a，3a）， ∵点D在抛物线y＝﹣x2+8上， ∴3a＝﹣a2+8， 解得：a1＝2，a2＝﹣8（舍去）， ∴DE＝3a＝6（米）， 故答案为：6． 12．（2025·上海徐汇·模拟预测）某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在___________米内，才能确保隧道内行车安全． 【答案】 【详解】解：建立如图所示的坐标系，虚线矩形为车辆最大通行时的位置， 设抛物线的顶点为D，由题意得，点顶点， 设抛物线的表达式为， 将点点入上式得：，解得， 故抛物线的表达式为， 设车辆的最右端为点， 将点A的横坐标代入抛物线的表达式得：（米）， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 14．（24-25九年级上·上海·单元测试）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 【答案】1 【详解】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点； 设抛物线形水柱解析式为， 则①， 喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移， 这时抛物线形水柱解析式为， 则②， 联立①②解得，， 设喷头高应调整为米， 调整后抛物线形水柱解析式为， 要使水柱落点距O点， 过点， 即， 解得， 故答案为：． 15．（2025九年级上·上海·专题练习）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 16．（2025·上海浦东新·一模）某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少8间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到___________元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【详解】解：设房价提高x个10元，则房价为元，日均入住数为间， 日营业收入， 该二次函数，开口向下，对称轴为， ∵，且为整数， 当时，； 当时，， ∵， ∴当时y最大，此时房价为元，且在元范围内． 故答案为：150． 17．（2026·上海·一模）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 【答案】4 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 三、解答题 18．（25-26九年级上·上海·单元测试）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ． （2）能， 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙． 19．（25-26九年级下·上海长宁·期中）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 20．（25-26九年级上·上海·单元测试）某超市购入一批进价为20元/盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x（元） … 22 24 26 28 30 … 日销售量y（盒） … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？ 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 将代入得： ． 解得： ∴； （2）解：设日销售利润为元． 可得， ∵销售该绿色食品的日利润为400元， ∴ 整理得 解得：，， 答：销售单价定为30元或40元． 21．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 22．（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 【详解】（1）解：设纸盒的高为， 由题意得，， 解得， 则纸盒的容积为：； （2）解：由题意得，， ∵长方体的底面正方形边长为， ∴ ∴， ，对称轴为直线， ∴当时， 随的增大而减小． 23．（25-26九年级上·上海·单元复习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 24．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴（米），， ∴点，点， 根据题意和图象可得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当时，，解得， （米）， ∴两根支撑柱之间的水平距离为9米； ②设N点坐标为，则，， ∴， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 第06讲 二次函数的简单应用（知识详解+4典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数应用通用解题六步法 知识点02：三大必考应用模型 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：几何面积最值问题（基础必考） 题型02：销售利润最值问题（高频大题） 题型03：抛物线实物轨迹问题 题型04：图形运动问题（培优难点） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数应用通用解题六步法 二次函数简单应用的核心是实际问题数学建模，所有题型通用固定解题步骤，是考试答题规范核心： 1. 审题分析：区分题目中的常量与变量，梳理几何、经济、运动等场景中的数量关系、约束条件。 2. 合理设元：根据题意设置自变量（长度、单价、时间、调价幅度等）和因变量（面积、利润、高度、距离等），优先简化计算。 3. 建立模型：根据等量关系列出二次函数解析式，必须标注自变量取值范围（结合实际意义：边长为正、销量非负、长度受限等）。 4. 分析函数性质：将一般式配方为顶点式，确定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，明确函数增减性。 5. 求解最值/对应数值：顶点横坐标在自变量取值范围内，直接取顶点纵坐标为最值；顶点横坐标不在取值范围内，根据函数增减性，取区间端点计算最值。 6. 检验作答：舍去负数、超范围等不符合实际意义的解，规范书写答句。 【知识点02】三大必考应用模型 1. 几何面积模型：依托矩形、三角形、靠墙围栏等图形，利用边长关系列面积二次函数，求解最大面积。 2. 销售利润模型：总利润=单件利润×销售量，根据涨价、降价带来的销量变化，建立利润二次函数，求解最大利润。 3. 抛物线轨迹模型：针对拱桥、投篮、喷泉、抛射物体等场景，自建平面直角坐标系，将实际长度转化为坐标，求解解析式、高度、宽度等问题。 【题型01】几何面积最值问题（基础必考） 【典例1-1】学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【典例1-2】已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【典例1-3】如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【变式1-1】已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【变式1-2】如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【变式1-3】如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 【题型02】销售利润最值问题（期中期末高频大题） 【典例2-1】某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【典例2-2】某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 【典例2-3】某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 【变式2-1】在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【变式2-2】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 已知日销售量y是售价x的一次函数． (1)直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？若日销售利润低于元且不亏本，请直接写出售价的取值范围． 【变式2-3】暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【题型03】抛物线实物轨迹问题（图像应用压轴题型） 【典例3-1】某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【典例3-2】有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【典例3-3】如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【变式3-1】广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？ 【变式3-2】某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点A旋转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点P的坐标为． (1)求出抛物线的解析式； (2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.75米，外壁高为1米的目标箱(其中、垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范围都不取端点） ①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围； ②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围． 【变式3-3】【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【题型04】图形运动问题（培优难点） 【典例4-1】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【典例4-2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【典例4-3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【变式4-1】如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【变式4-2】如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 【变式4-3】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． （一）本节课核心知识 1. 二次函数简单应用的本质是数学建模，将几何、经济、运动等实际问题，转化为二次函数数学模型求解。 2. 所有应用题统一解题流程：审题→设元→建模（标注自变量范围）→性质分析→求最值/求值→检验作答。 3. 三大核心必考模型：几何面积最值模型、销售利润最值模型、抛物线轨迹模型，对应固定解题思路与等量关系。 （二）核心数学思想 1. 建模思想：实际问题数字化、数学化，通过函数求解，最终回归实际场景验证； 2. 数形结合思想：依托抛物线图像的开口、对称轴、顶点、增减性，快速分析最值与取值规律； 3. 分类讨论思想：根据顶点是否在自变量取值区间，分两种情况求解最值，避免解题漏洞。 （三）易错避错核心要点 1. 建模必先标注自变量取值范围，无实际范围的最值求解无意义； 2. 顶点不在取值区间时，绝对不能直接用顶点最值，必须取区间端点计算； 3. 所有计算结果必须结合实际意义检验，舍去不合理的解。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海·单元复习）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心时，水柱的最高点为，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 3．（25-26九年级上·上海·期末）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 6．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在中，．动点D从点A出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为x秒，正方形与重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海·单元复习）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 8．（2025九年级上·上海·专题练习）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 9．（2026·上海·一模）烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为________米． 10．（25-26九年级上·上海·单元复习）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降_______元． 11．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣x2+8（单位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为___米． 12．（2025·上海徐汇·模拟预测）某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在___________米内，才能确保隧道内行车安全． 13．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 14．（24-25九年级上·上海·单元测试）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 15．（2025九年级上·上海·专题练习）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 16．（2025·上海浦东新·一模）某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少8间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到___________元时，客房的日营业收入最大． 17．（2026·上海·一模）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 三、解答题 18．（25-26九年级上·上海·单元测试）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 19．（25-26九年级下·上海长宁·期中）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 20．（25-26九年级上·上海·单元测试）某超市购入一批进价为20元/盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x（元） … 22 24 26 28 30 … 日销售量y（盒） … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？ 21．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 22．（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 23．（25-26九年级上·上海·单元复习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 24．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 1 学科网（北京）股份有限公司 $